И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 101
Текст из файла (страница 101)
1.,Х,„(х) = — е*х-е — (е-"х"+ар а 1 У~ и! ее= в 2. Х~(х)=Х„(х). 8.971 Функциональные соотношения: 1. — [Х,"„(х) — Х,~+! (х)] =. Х.„(х). 2. — Х,"„(х) = — Х„,+', (х). 3. х — Х,„(х) = пХ (х) — (и+ а) Х,„! (х); = (и+ 1) Х „,+ ! (х) — (и -(- а (- 1 — х) Х„(х). ВТФ П 189 (12), МО 109 4. хХ~' (х) (и+ а+ 1) Х„",(х) — (п+ 1) Х,~ ! (х); = (и+ а) Х„", ! (х) - п- х) Х„, х). См П1575(43) и, ВТФ П 190(23) Ха ' (х) Х„,(х) — Хе (х). См П1575(44) и, ВТФ П 190(24) 6.,п-)-1)Х,~ !(х) — (2п-)-а+1 — х)Х;,(х) ( (п+а)Х,(х)=0 [п=1, 2,...]. МО109, ВТФП190(25),(24) ВТФП188(5), МО108 МО 109, ВТФ П 188 (7) ИП 1369 ВТФ П 189(15), См И)575!42) и 8.972 Свяаь с другими функциями: 1.
Х.„(х)=( + )Ф! — и, а-(-1; х), 1 2. Н (х) ( — 1)" 2™п) Х „т (хв). 3. Н „(х)=( — 1)а2$" ! п| хХ2(хз) МО 109, Ф П 189(14) ВТФ П 193(2], См П1 576(47) ВТФ П 193 (3), См П1 577 ',48) 8.966 Предельное соотношение: Ьзп '[ и Р„(сов — ) ] = ( — ) Х (в). ВТФП 173(41) 8.967 Если а ) — 1, [) > — 1, то все нули полинома Р,'~' в! (х) простые 1053 9.! ГИПЕРГяомвтРичвснив юунндии а ! Р (!+-а+ в) ч! (2в — 2А.)! (2в)! в! (2в! в! У ! Г (!+а — и) (а — Л)! А 0 4 г.
(х)У, ( ) Р(!+а+а) ~~~~~ -а (*+и~ ( ) г +тьж а! !' (!+а+ в! в! Мо 110 МО 110, ВТФ П 192 (42) МО 110 ВТФ П 191(36) 9.1 ГИПКРГКОМКТРИЧКСКИК ФУНКЦИИ 9.10 Определение 9.!00 !'ов вв ом твичгскям рядом называется ряд Р(а р,у, в)=ь+ — з ! ( + 0)+ )в!+ т (т+!) 1-2 а (а+ ! ) ! а.д-2 ! (! (3+ О (()+ 2) т(т+!!(у+2! !.2 З 9.101 Гипергеометричсский ряд обрывается, если а или )) равно отрицательному целому шслу или пуп!о Если ~ = — и !и =О, 1, 2, ), то гинергеометрический ряд неопределен, если нн а, ян )) не равны — я! (л! ( л, и — натуральное число). Однако В р (а, !); т, в! Р (т! (а+!!...
(а+в)в(6+!) ... (3+в! "'!Р( +и+1 ф+и+1 е- 2 з\ (а+ !1! )т'1'!р 1 о2 '18) 8.977 Теоремы сложения: 1. Е„"!! в+"'+аь+ (х!+х +... 4-т!) Е"!!(х )Ьа!(х)... Х,,ь(х ). МО110 !! +э -1-..-1-! е1 ! ! Ь ОР 2. Б~(х+у)=ее»~ — „" у~~ь+"(х). !=в 8.978 Предельные соотношения и асимптотическое поведение: 1. Ь"„(х) = Пп! Р'„"' "' (1 — — ) . ВТФ П 191 (35) ! 2. Ита~) и- ЙЯ~ х 9 у (2)l,!) 1 Ф'2О 1„ 1„ 1 1 1 з 3. Ь„(х)==ей х 9 !яу !сов ! 2~их — —,— и )+0(яр ) в 41 !1ша=О, х>0!. ВТФП199(1)! 8.979 Полиномы Лагерра удовлетворяют следую!цену дифференциальному уравнению. х — +(а — х+1) — +пи Л. ВТФ П 188(10), См П1 574(34) [054 о — о специальныв Функции 9.102 Исключая указанные значения параметров а, р, у, гяпергеометрический ряд сходится в единичном круге [«[е-,1 При етом имеют место следующие условия сходимости: 1 1 > Ке (а+ 6 — у) > 0 Ряд сходится во всем единичном круге, исключая точку «1 2.
Ве (а+ () — у) < О. Ряд сходится (абсолютно1 во всем единичном круге, включая точку «=1. 3. Ве(а+[) — у)>1. Ряд сходится во всем единичном круге, исключая точки «= 1 и «= — 1 ФП 410, УВ1134, УВП76 9Л1 Интегральные представления 1 9.111 р(а, [3; у; «) = ~ Гв-~ (1 «)~-в-~ (1 1«)~11« о [Веу > Вер > О]. УВП79 9.112 р(р, я+р; я+1; «1='— яВ(р, я) [я=О, 1, 2, ...; Кер > О). ВТФ181(10), М016 в( Г1о) Г(61 ~ж З Г(т+О причем [агб( — «)[ < я и путь интегрирования выбран так, чтобы каповы функции Г1а+ «), Г (р+ «) лежали слева от пути, а полюсы функции Г1 — «в справа от него. УВП 71 — 72 и 9Л14 г' ( — т, — —; 1 — —; — '1~~ = р+пю р+ш ~ ( 2)п~ (р+т) г 9 сов рф Йр У В ' Б1вря о [т + 1 †натуральн число; р -ь О, ь 1, ...).
ВТФ180(8), М016 См, также 3.194 1, 2., 5„, 3.196 1., ЗЛ 97 6., 9,, 3.259 3., 3.3123., 3.5184.— 6., 3.6652., 3.6711., 2., 3.681 1., 3.9847, 9Л2 Представление алементарных функций с помощью гипергеометрячсской функции 9Л21 1. г" ( — я, [); р1 — «)=1 в в — 1 1 2. Р'( — —, 2* «г 3. Вга г" ( — я, Ф; 2о1", в — 1 о — 2 4. Р( — —. 1 л ) 1+«)" [[) произвольно) ВТФ1 101(4), Га 127? и « -) (1+«)в+(à — «1" Га 127 П ~Л / 21п -И=('+М . Га127П1и З ~з'~ (1 ) «У Р--«)в 2 ' го,/ дом" ~ 1055 93 РипеРгпомжтоиянсппк Фг'нкдии (г + з)л гл Р(1 — п,1;2 > ггзга г ф (1 1.
2. в) )и(1+з) )+з )и— Р( —. 1; —,; зз) = !1пгl (1, й; 1;-*1 =1+в !!шР( 1, й: 2; — ' ) = в ° рр 5 6 7 6 Га 127 У Га 127 У! Га 127 УП Га 127 1Х Га 127 Х Га 127 ХП Га 127 ХП1 Га 127 Х1У Га 127 ХУ1 Га 127 ХУП Га 127 ХУП! Га 127 Х1Х 1+в+ — !!шР! 1, й; 3; -'1) =... =в. 3 зг ''г гг — е г воз 10. !пп Р'! й, й', 2 г' о 11. Ь К.(й, й.; '; **,)=з) *. 4вв' ~ з ! гг г 12.
!ип Р! й, й', —; — —,) =огиз. в ~ 2 аз' Г! ! 3 12 с ( —, — ' —; н!пав) ~.2 ' 2 ' 2 ' .) вгпз 14 !с(1, 1; —; в)пзв~- . 3 . ~ г 2 ' ./ в)азсовз' 15. Р( —, 1; —; — Ьбзз~= —. /1 3 ° ! 2 1 !вз ./л+1 а — ! 3 .
з г в)паз 16. Р'( —, — —; — н!паз~! = 2 ! /=авгог /л+2 а — 2 3 . г вгп аг 17. Р'( —., — —; —; впРв ! =— 2 ' ,г а вгп з ~ов г ' л — 2 л — ! 3 гп лз 18. Р( — —, — —; —; $цзв~ = 2 " 2 ' 2 ' ,г авгогсова 'з' ~,/а+2 а+1 3 з ~ вшагсова 'з 2 ' / авпгз 20, Р( —, — —; —; н!пзз)=сонлв. ВТФ!101г11, Га127ХХ 21. Р'(+, -":; —; в!пвв) —. ВТФ!101,'11), Га127ХХ1 л а — 1 ! 'з ~ совлз 22, Г( — — — — — — !д «~ = —.
2 г 2 ! 2 г .l сов" з ' ВТФ!101;11), Га 127ХХП 2:!. Р' (л+, л; —; — !6з в) = сов их сон" з. Га 127 ХХП! 24. 7г(2 ' 1; 2; 4в(1- )) =:1 ~~ з( < 2, ) в(1 — в ) < 4 ~ . ,/! г 1 ) 25. Р~ —, 1; 1; в!пзв~ =посв. /! в 9. специАлънын Функции 16. Р~ —, —; —; зз~ = Г 1 1 3 ~ агсвгпз \з' 2' 2' (сравни 9Л21 13.). 27. Г( —,', 1; — '.; — )= '"""* 28. й'~ —, —; —; — зз~ = — (сравнн РЛ21 268. /1 1 3 з~ Азваз ~З' г' 3' .) . Г 1+-л 1 — л 3 в~ мп(л агсмп з) 30. Р(1+ — ", 1 — —.; —; аз~ =' ,гл л ! 31.
г'~ — — —; — ° з ~ =сов нагое(пз) 2 1 (сравни 9.121 15.). зсравнв 9.121 16.). ,сравни 9.121 17,). ,'сравни 9Л21 20.). Представление специальных функцкй черве гипергеометри че скую функцию см.: для полных эллиптических интегралов 8.1Г3 1., 8.114 1.; для кп~е~ рз.ап ог цилиндрических функций 6.574 1., 3,, 6.576 2. — 5., 6.621 1 — 3.; для полвномов Лежандра 8.911, 8.916 (все этв гннергсометрнческие ряды обрываются, т. е. эти 1яды обращатотся в конечные суммы', для функций Лежандра 8.840, 8.837, для шаровых функций 8.702, 8.703, 8 751, 8.77, 8.852, 8.853; для полкномов Чебышева 8.942 1.; для полккомов Якоби 8.962; для полияомов Гегенбауэра С„(х) 8.932; для интегралов от функций параболического цилиндра 7.726 6.
9.122 Частные еначения. г(у)г(т- -й = Г1т — ) г(т — Р) [Ке у > Ке (а + 6), Ке у > Ке 3 > 0). Га 147 (48), Ф 11 793 2. г'(а, [); у; 1) У( — а, — р; у — а-(); 1) [Иеу > О); Га 148(49) [Ке(у — [)) > О); Га 148(50) [Ке (у — и) > О). Га 148 (51) 9ЛЗ Формулы ареобравования и аналитическое продолжение для функций, оцредг ~немых гипоргеометрическимм рядами 9.130 Ряд г'(а, 6; у; в) определяет аналитическую функцию, кото'рая имеег, вообще говоря, в точках з=0, 1, со особенности (в общем случае то чк н ее т пленяя). Разрежем з-плоскость вдоль действительной э г Гине РРеометРнческие Функции 1057 оси от точки г = 1 до точки г= со, т.
е. потребуем, чтобы дри [г~ >1 имело мнсто неравенство ~ агд ( — г)) ( н. Тогда ряд Р~а, р; у; г) в разрезанной плоскости судет давать однозначное акали»нческое продолвгение, которое (если только у + 1 не является па»урааьным числом, а а — р н у — а — () ке являются целыми числами) осуществляв~си с помощью нижеприведенных формул Зтн формулы дают возвшжность вычислигь значения Р в заданное области также и в том случае, когда ~ г) > 1.
К ним примыкают еще некоторые дальнейшие формулы преобразования, которые в случае наличия соответствующих соогношений между а, )), у могут служить также для аналитического продолжения. МО 12 Формулы преобразования 9,131 1. Р(а, )); у; г) =(1 — г) Р(а, у — р; у;— Га 218(91) =(1 — г) Р(р, у — а; у; — ); = (1 — г)» гР(у а, у (); у; г). 2. Р(а,3;у;г»=г 1Г 61Р(а, нР; а+() — у+1; 1 — г) 1- -Г(1 — ) г г Р(у- у-6; у — — 0+1; 1 — ) з Г (»1 Г [ол й — у) ВТФ194, МО13 Га 218 (92) 9 132 Р(а' Р' у' ')=(1 ') г ~й>г~ — о~Р(а, у — 3; а — 1+1;, г)+ +(1 — г) — Р(р, у — а; )) — а+1; — ). МО13 зг~»1г(н — В г 1 Г (а) Г (у — р) * $ — в,/ 2.
Р(а, )); у; г)= г~у1 ГФ вЂ” а1 =гу1г~т — а) ( — 1) г Р(а, а+1-у; а+1 — (); — )+ $ ~ * ° ) + Г~у)Г1о — й), 6 Г 1» Г ~о) Г ~»вЂ Р) ( — 1) г ЭР ~ )) () + 1 — у; р + 1 - а. — ) . ~* ") Га 220(93) 9.133 Р(2а, 2~); а+()+ —,; г) =Р ~а, )); а+р+ —; 4г(1-г) ~ ~~г~ч.—, ~г(1 — г))< — ~ . УВП35 6т твзлиии интегралов 9.134 1 Р(а ))' 2))' г)=(1 — 2) Р[с ° з ))+ г ' (2 —,) ) . МО 13, ВТФ1111(4) 2. Р(2а, 2а+1 — у; у; з)=(1+ г) Р(а, а+ —; у; —,).
Га 225 (100) 3 Р(а, а+ —,— р; ()+ —,; гэ) =(1+г) Р(а, р; 2р; ',). Га 225 (101) 1058 в — в спвциллънык етнкции 9 136 Положии г(а+9+Д г( —,') г( +-') г(р+-) г (а+9+К г(', — Я тогда Р (2а, 2(); а+р+ —; ) = 1 г' 1 1 3 =АР(а, 1); —., "г)+В в'вР(а+ д, 6+ —, —; в) Га 227(106) 2, Р(2а, 26; а+(1+ —.; в) = 1 з =АР(а, г; —; г 7 — В )/вР(а+ —, р+ —; —; в) . Га 228(107) .)( .), „(,,) 2 =Р(2а — 1, 26 — 1; а+() — 2 , '2 )— 1. 1+1/ . -Р(2а — 1,26 — 1; а+() — —;, ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
