И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 104
Текст из файла (страница 104)
(28(, 111' 81П и — натуральное число, 9 =Е ( — ), а косинус или синус берутся [ смотря по тому, будет ли и числом четным или нечетным ] ееВ11162 9.244 1 Р р 1 [ ( 1 + 1 ) 8 ] р -ехссс р е х 1+9 (1+хе) [Вер > — 1, Ве 188>0].
М0 122 р-1 (х+1) х (х — 1) [Ве в< 0; Ке 188>0]. М0122 3.966 5., б. р-)-1 2 Р [(1+1)з]= ~ е См. также 3.383 б., 7., 3.384 2., б 9.245 СО ! 1 Р+8 1 ) . х 8)11+,ра — — С с)с 2 81П о [х действительно, Вер < О]. М0 122 ) ОО ~( — р) 9 с, 2 .~ 8)се ]Г с()1ртехр ( — — ЯЬ2г~— о '[ [ат68 [ < —; Ве Р < 01 МО 122 1 Рр (х) Р р 1 ( 2. Р„(881 ) Рр(88 1 См также 6.613.
9.246 Асимптотические разложения Если [8[ ь 1, [8[ р~ р то 1. Р„(8) 8 8 ~ 1,' )- рс' Р(Р— )) Р)Р— 1)(Р— 2)(р — 3) ) '[ [ аг6 8 [ < —, л ] МО 121 ал выгоягдкннья гипвггвомвтвичкская егнкция 1981 Связь с другими функциями в гг 9,253 д (г)=2 -'е "Ы ( — ). в п у- 9.254 МО 123 и 1 Ю,(г1=е' $/ ~ ~1 — Ф( — )~ 2. Ю„г(х)=е' )/ — (а~1 — ФЯ вЂ” - )/ 2 е г~ МО 123 МО 123 9.255 Дифференциальные уравнения, приводящие к функциям параболиче- ского цилиндра: вгв Г 1 гг 1 — +( р+ — — — )и=О, вгг ~. Е 4 и=О (з), О„( — з), Р ~, ((х), О и, ( — (г' (вежду этими четырьмя решениями существуют линейные зависимости, см 9.248).
2 — + (зг+ Х) и = О, и =.0 г+гь(~ (1+ гч г). 2 ВТФ П 118 (12), (13)и, МО 123 е1 и=е '0 (г) МО 123 р1 3. —, + г — „+ (р+ 1) и вв О, лги ди 9.28 Вырожденные гипергеометрические ряды двух переменных эв, в=О Цх((1]. ВТФ1225(20) (() рг ) ~ч~~ (5)т (з п)в па и 7 ив*в . — е * ВТФ1225(21)и, ИП1385 ВТФ1 225 (22) в 3 Ф ((), у, х, у) = ,'~~ , х у . (5) ю » п1, в=е 1. з=Ф,(а, Д, у, х, у). д д г дгг дг дг х(1 — х) д в+у(1 — х) д — д+(у — (а+ ()+1)х) д — ))уд — агх=О, у — '+х — +(у — у) — — х — — аз=О. дпг дх дд ду де ВТФ 1235 (23) Функции Фы Ф„Фг удовлетворяют следующим системам дифференциальных уравнений с частными производными: 9.262 1082 з — а спкциальпык вункпив 2 х =Фа(р, Р', у, х, у) даг газ д.
х — + у — + (у — х) — — !)з = О, дга деду дз даг даз дг у — + х —, -+ (у — у) — — р' г = О ду д ду ду ) ТФ!235(24) 3 к=Фа((), у, х, у) д г даг дг г — + у — -)- (у — х) — — рз = О, д ду дз дзг даг дг ( у — +х — +у — — з=О. ду* дз ду ду ВТФ ! 235 (25) 9.3 аг-ФУНКЦИЯ МЕЙЕРА 9.30 Определение 9.301 б"",'" ~ ~ "' " ) = Й Ц у=т+ а Г(Ьа — з) П Г(1 — а,+8) х Ыг Г (1 — Ь +г) (Г) Г (з — г) а в +а (О<ая<(), 0<л<р, полюсы Г(Ь,— г) не доюкны совпадать с полюсами Г(1-а„+г) ни при каких ! и й (7=1,, ~и, Й= 1, ..., и)). Нроме 9.301 приняты еще следующие обозначения' ВТФ 1 207 (1) 9.302 Можно указать три различных типа путей ввтегрирования Ь в правой части 9.301 1) Путь Ь идет от — оо к + со так, что полюсы функций Г(1 — а„+г) лежат слева, а полюсы функций Г(Ь,— г справа от 7;, )=1, 2, ..., ю, Ь=1, 2, ..., и Условия сходимости интеграла 9.301 имеют в этом случае зид: Р>1 и либо Р>о, либо р=р в )х) 1 ВТФ(207(4) Р+ 9<2(т+л), )агах) '( т+л — 2 Р 2 Д ) я ВТФ1207(2 1 1 2) Е представляет собой петлю, начинающуюся и кончающуюся в + ос и охва~ывающую один раз в отрицательном направлении полюсы функций Г(Ь,— г), ) =1, 2,, ла, все полюсы функции Г(1 — а„+г) должны оставаться вне зтои петли.
Тогда условия сходимости интеграла 9.301. д>1 и либо р< д, либо р=й и (х~< 1. ВТФ!207(3) 3) Б представляет собой петлю, начинающуюся и копчающун ся в — со и охватывающуз> один раз в положительном яаправлонви полюсы функций Г(1 — а -) г), 1с=1, 2, ..., я„все полюсы фушсцня Г(Ь вЂ” г), 7 = 1, 2,, ал, должны оставаться вне этой петли Условия сходвмости интеграла 9.301 е з о ьтнкпия мвиигл Функция Све (х(»„") — аналитическая по х; она симметрична по парамет(ам а„..., а„, а также по а„,, ..., ар, Ь„..., Ь; Ь ..., Ь. ВТФ 1 208 !.303 Если никакая пара Ь„у = 1, 2, ..., л, не отличается на целое число, то при условиях либо р «у, либо р= !у и (х~ < 1 т Ц Г(Ь! — Ьл) Д Г((+Ь» — и!) ю=! П Г(1+ЬЛ вЂ” Ь ) П Г(в — ЬЛ) у=т+! ! в+1 Х „Ре ! [1+Ьл — ан ..., 1+ Ьл — а; 1+Ь» — Ь», ...
.1+Ь„Ь„( 1) -- х')е). х»Х ВТФ 1 208 (5) !).ЗОУ! Если никакая пара а„, У = 1, 2, ..., и, не отличается на целое число, о при условиях у < р либо <увв р и )х( > 1 ВТФ 1 208 (6) 9.31 Функциональные соотношения Если один из параметров а,(у=1, 2, ..., и) совпадает с одним из параметров Ь, (у =и!+1, и+2, ..., !у), то порядок С-функции умень!пается Напрймер, См (х ~~ Ь ) =Сил — '!,ч-т(х ~~ Ь ) (к, р, !у>1). Аналогичное соотношение возникает в случае, когда один из параметров Ь, (у = 1, 2, ..., и!) совпадает с одним из а, (у = и-(- 1, ..., р) В этом случае на единицу уменьшается не п, а и! ВТФ1209 (7) С-функция с р > !у может быть преобразована в С-функцию с р< !у с помощью соотно!пения! 2 С"„"(х- !'")=С""(х~' — ') 3 х,— 'С"„-(х~ь )=С"'"( ~'~ — ';* "- ")+ +(а — 1)С"'"(х~ ') (п>1).
ВТФ 1 209 (9) ВТФ 1 210 (13) *) Штрих у виана проиаведеиие о»качает пропуск соипо,иитеии дли у =й. )иезлочк» поД епаьои фУкькии рдч т означает пРопУск Ь го п»Р»чстР». в Ц С!ч (х)» )= "-' Ц 1 в+! Х Р'а,(1+6! — а„, з в1 . э 1+ар Г('» '!) П Г(Ь,— л+() "л-! Х Ю х Г (а,— ел+О Ц Г (вл — Ь!) у=1в.!-! ., 1+ Ь вЂ” а„; 1+а, — ал, а„; (-1)е- "х-!)е). 8 — 9 спкпилльные 'Функции ~ ( 1) х Ц (х у.
ау+1) П (х га о!)~ У=0 1Р<!71 ! ! >=! ВТФ 1210(1) 9.33 Ряды О-функций "С .1;" -;")= Ки,~ ',,1 .) С.-,-Я;" '," -о (~Х вЂ” 1~ < 1, т>1, если т=1 и р «Х, может быть произвольным); ВТФ 1213(1! сЮ =К" Х вЂ” ', () -1) С-(.~", т=о (т ( !7, ~ Х вЂ” 1 ~ ( 1], "ВТФ1 213(2) ) а ! ~~~~ 1 ! 1 1 )гС~~ ~ ~О! Г аа аа) — о 1 и > 1, Ве )!. > — (если я = 1 и р > !7, то 1!, может быть произвольным',), ВТФ 1 213 (3) а — ! ~! 1 ~ 1 '~' таа~ ~а!.... ар !, ар — г) с г=о ~п(р, Ке)!,> —, ) . ВТФ 1 213 (4) Интегралы от С-функции см 7.8 9.34 Скязь с другимн специальными функциями 1..У (х) х!" = 2аСоз ( — х' ~ — т+ — р, —. р — — т) (,4 ~г ВТФ 1 219 (44) 1 — е — —,У— г 1 1 — р — — М 1 2 1 1 1 1 — р+ — т, —, !а — —, г г * г г г 2.
й„(х) ха = 2"С~!," — т' ВТФ 1 219 (46) ВТФ 1 219 (47) 3. Х (х)хв=2к Сот~ — ха~-р+ — т, —,р — — т) . — зо/1 а!1 1 1 1 ~4 ~г г ' 2 2 9.32 Дифференциальное уравнение длн С!-функции С" ( х ~ ') удовлетворяет следующему линейному дифференциальному уравнению !7 го поридьа 11.185 о ! А Фрнкннн РАн-РОБРРРА ВТФ 1219 (49) 1 1 1 — +- т+ — р 2 2 2 1 1 1 — + — т+ — р~ 2 5. Н„(х)ха = 2РС!ад — ха 4 1 1 ! — — в, — !а-! — -в 2 и ' 2 2 В Г1Р 1 220 (51) 6 о, (х)=2 —,, — х р — 1 1 р,в( /1 — Р— Р х /! — В+о 1 1 2+2)Ь 1 1 1 1 + — )а, —,Р, — —,Р Х С!о .,~1, 4 ВТФ1 220 (55) 1'(е)а 1а е ! — а, — Ь -р'в Ь' " — х)=Г(.)Г(Ь) -~,*~ 1' е).
а ВТФ1 222 (74) и 8..(е 1а„ Ц г (ь,) 1=1 Ц Г(а!) > ! й Г(Ь,) 1 1 р П '1') 1=! а„; Ь,„..., Ьо, х)= ВТФ 1 215 (1) з — — ь,— — — ь 4 2 '4 2 1 1 1 1 —,+ — иа, — — аа, — ва, 2 2 '2 2 '2 1 2" Реве! аО аа 9, И(о,ю(х)= Сво 4 У'2х ВТФ 1 221 (70) 9.4 К-ФУНКЦИЯ МАК-РОБЕРТА 9.41 Представление с немощью вративгх интегралов ао твбввва1 ввеаервввв Г(оа — ой Г (оа — аа) ... Г (Ро — ао) О «в Р-О-! ва х)! (1„" '" '(1еаГ" еа, Ц ~."~ а.с" 'а„х ,— !о а ~л Г -Ар еар — 1 Г )аа а)ар+в - )ер ) «ао+! „Г е 1 Г1+ ),1)„ о (( агйх(( И, Р>9+1, а, и ()а огРаиичены Условием сходимости интегРалов в иравой части). ВТФ1 204(о) Э Ь ЦЗКТА-ФУНКЦИИ РИМАНА 1 (- и) В (г) ФУНКЦИИ Ф (г, в ю) И г (в) 1087 2г в 2 ГГ1 Ф 5 ь(г)иг ~, 1 — 1+ аг — 1 ] [ 4+1 ~ а(п(загс(62() О УВП62 См также 3.411 1., 3.523 1., 3.527 1, 3, 4.271 8 9.52 Представление в киде ряда или бесконечна)о проиааедевик ').521 УВ1144 0 2Г<1 — в) ( ИЛ Ч) Сог2ЛЧи Ь(2г т(= (2 )г г ] а1П вЂ”.
и=1 УВ 11 49 1 Х <у+и) <1 — ) (М+т) 1 '3 ри(к), и+1 1 — и ~ <и+1+у)- (и+Ч)*-~ / (и+1+Ч) ',] 'Р+т)ии [Вез > 1, Л( — натуральное число]. УВ1155 9.522 вв 1 (,(з)= (гг —, [Вез Ц. и=) 2 ~(з)= —,, ~~~ ( — 1)"'1 —. [Вез > О]. и=1 УВ11 44 УВ 11 46 9.523 Умножение и суммирование производится по всем про- стым числам р.
и И=( 9.524 г",' <в) и-г Ь (й) 1 (з) 2( йг А=( (де Ь<й)=0, когда й не есть степень простого числа, н А(й) = 1п р, когда й — степекь простого числа р [Вез > Ц УВ 11 64 9.53 Фувкциональвыс постнов)ения 9.531 ~( — и, д)= — < " < [а †натуральн число вли куль]. В„+2 (ч) ( Г 1)(и-)-4 УВ 1147 ОЬ 1 ь(з, у)= Я „[Вез>Ц. и=а вл ч) ыв 2лии + сов — г и=1 [Ве з > О] УВ1153 УВ1163 а ЗлнктЗФгНКПИИ гии>«Наг««. д> ~1«>, Фгипинн д> 1«.«, д>нг««> 1069 9.55 Фупяиия «Р >л, «, о) 9,550 О и р е д е л е н и е. ОО Ф(г, «, ц)= ~ (о-)-и) 'гз — з Цг$< 1, оные, — 1...
]. ВТФ127(1) Функциональные соотношения «л — 1 Ф(г, г, о)=г Ф(г, г, т+о)+ ~ (о-)-и) 'г" з 0 (т=1,2,3,, цчьО, — 1, — 2, . 1 ВТФ127(2) Ф(г, г, о) = >г '(2я)' 1Г(1 — г)(е зФ(е-г««««, 1 — г, зп> / — е г Ф~егл«з 1 — г 1 — — )~. ч«( — >-гд) г 1>х з '~ 2««« 9.552 ВТФ129(7) Представление н виде ряда ОЪ Ф(г, г,о)=г нГ(1 — г) ~ ( — 1пг+2яв«)'хгг" 10 < о< 1, Вез < О, ! атп( — 1пг+2юии))<Я] ВТФ128(6) 9.553 Ф(г, и, ц)=г "ф ь(т — и, о) —,+ ()п з)" ').554 са щ' «1 «-«з — > 1 ч«В,з,«,>(д)(!аз)" Ф (г, — и, ) = — „1 )п — ) — —, р„'"*" « з«г! (л«+ «+ 1) з ]]1пг~ < 2я] 9.555 ВТФ130(11) Интегральные представления 1 «.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
