И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Р™(2)= „, Р~ т — т,и+ Р+1;и+1; — ). 1» Г(»+и+1) (вв — 1) 2 Г 1 — в~ Л и ) 1 (» + 1 ) 2 .) МО 84 1022  — В СПГБИАЛЬПЫИ ФУН1(ЦИИ Ваа(Г ( ((+а+ — ) С~" „г(г) =, ' х 2 г(а+1)! 5 3 — га-а+ — 1 ! +2 1+ +2 Х(гг-1)гг 1Р ' 2 ' в+2' — 8 МО 84 8.752 18 сО са 5. (~„(г)=( — 1)~(гг — 1) г ~ ... ~ ()а(г) фг) . М085, ВТФ1149(9) Частные вначения индексов 8.753 Ра(СОВ(р)аа Г 1 Сгф ВРВ (аоа (р) 2. Р„'(сов(р) = —— а (а+ 1) 8)(р 3.
Р„(г)жО, Ра(х)анО при и- п. 8.754 МО 84 МО 84 МО 85 ! Р 1(сЬ а) = У вЂ” сЬ ма. 2 У !)а г 1 2 Р ! (сов(р) = У вЂ” сое т(р. а-— г аауо(р 2 2 В!в ар Р 1(сое(р)= у — —. х —— г У аг!а(р а ! () ! (сЬа) =1 11 — е— 1 2ВЬа 2 МО 85 МО 85 МО 85 8.755 1 Р„,'(сое(р)= Г((+а) ( 2 ) 2 р (с) а)= 11 ) Гь2 У ° МО 85 МО 85 89 1. Р„(х) =( — 1) (1 — хг) г — Р (х). УВ11119и, М084, ВТФ1148(6) а( =!1 — хг) ~ ... ~ Р„(х)(дх)).
Х99и, М085, ВТФ1149(10)и х х (а 8 8 8. а() (91 — 1) ( ... ~В ()(8 ). М088. Вха(119(8) 1 4. ДГ (г) (28-1) г — (',р~(г) УВ11119и, МО85, ВТФ1148(5) 1623 8 7 — 8.8 ШАРОВЫВ (СфКРИЧВСКИВ) ЮЪ'НКЦНИ Частные значения шаровых функций 8.756 „+1 . 1 ~»+р д)эв(о) 2"+ вш — (т+)А) яг ( —,+1) дх —, (Р— )8+1 ) '("'~+'1 3. Я„(0) = — 2" )~ изгп -(е+)8)н Г ( — +1~ МО 84 МО 84 МО 84 4. ах — — 2" г исоа 2 (~+)8)~ — 1 МО 84 8.76 Производные по индексу 8.761 а Г-„к (*) 1 — «~ 8 ~ ( — и) (1 — т)... (п — 1 — и)(о+1) (т+2)...(и+и) ( 3 х 1+х~ ~Э (р+1)(р+2) ...
(р+и) 1.Л... и и 8 )( 1т(т+ '+ 1) — т'( — + 1)1 (1 — -) [т чь О, +. 1, + 2, ...; Ве)А > — 11. МО 94 Г (р+1) 8.762 ~' .( "Ч =21 дг )и о 2 ' МО 94 2. ~ ~ = — $д — — 2 с19 — 1п соз— Гдг" '(сооф) 1 ф ф ф а 2 2 МО 94 гдР '(со ф) ч ф 3.
ао ) -1 2 2 = — — 1я — з(пг — + з(п ф 1п соз— 2 МО 94 Связь с полиномами Сь(х) см. 8.936. Связь с гипергеометркческой функцией см. 8.77. 8.77 Представление в виде ряда 8.771 1. Р'„'(х) = ( — ) (8 — 1) Г(1 — р) ~, ' ' ' 2 )' Р~-т, Р+1; 1 — )8; —,) . МО 15 Представление в виде ряда см. 8.721. Представление шаровых функций в виде ряда можно также дать, выражая их через гиаергеометрнческую функцию. !А  — 9 специлльнын Функции г1~ <~н(,) "~ Г(»+в+1) (.2/ 2«+е, 2 г га!-! Г («+ — ) 2) х Р'( —,+1, —; »+ —,; — ) . ) 2 ' 2 2 ° ) См.
также 8.702, 8.703, 8.704, 8.723, 8.751, 8.772 МО 15 8.773 «+! да( ) „ае )~к ( +)е+!) ( е 1) г 2*'+ Г(»-+ — ) Р(»+а+!» — а+! 3 2 ' 2 " Т' ! — ее/ ')е+ —, — / [»+ )е ча — 1, — 2, — 3, ...; ~ агу(г ~ 1) ~ < и; ! 1 — ге ! > 1]. МО 86 2. ф(г)= —,еа"']Г()е)( + ) Р( — », »-(-1; 1 — )е, —,)-(- +Г(-д) ~<»+К+!) (е — !У„,( [[ а гк г -!- 1) ( < н, ( 1 — г ( < 2].
МО 86 Аналитическое продолжение для (г(Ъ1 Иа теорем об аналитическом продолжении пшергеометриаескнх рядов (см. 9.15/е и 9.155) вытекают следующие формулы: 8.772 Ра зеа(»+а) яГ(«-Ф-)е+!) «(г)— 2«+! )I а еоь «иГ (»+ — ' ) 2 8 1 е,, ~ »-)-)е + «+!е+! а ! ~ 2 ' Т' гк/ 2Г»+ — ) а « ! ( е 1) гс — «Р( ( ), 2 е е « ~р,— «+! )е — » ! ! )/'л Г (» — )е+!] 2 [2»Ф ~ 1, )- 3, ~ 5, ...; [г! > 1; ~аг8(г ~ ц(< и]. М085 1«-!-! ! '~ Г ( — » — ) (зе — !) 2 Р,"(г)— Х 2'+'у'л Г( — — а) ( -д+! +д «! з е/! + 2«Г «+,1 1! « (-. -г 2./ е г /')е †» д+« ! ! + (г' — 1) Р( —, — —. — — »; — ) )/йГ(» — (е+!] ~, 2 ' 2 / ' ! — ее ) [2» те + 1, !- 3, )-5; ..., (1 — ге(> 1; (агк(г -!- 1)] < а]. М085 хР( —, — — )е; 1-)е;,— ) ~~':~<11 М086 1025 8 7 — 8 8 ЖАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ вЂ” -"'(- -~) ( Л »+— — ((»+1) — / (о ~ 8 /'1 1 3 .
е Х хе з~ 1И вЂ” ) Р( — +)а, — — р; »+ —; ешз — )+ 2,) (.2 ' 2 ' 2' 2) г 1 2Я Г(» — )(+1) ( 2./ (,2 '2 '2 ' 2( <2»Ф+1з ~3, +5, ° ° *э 0<ф( 21. МО86 8.775 1 1» (х)— Р 2" ооа — (»+р) ХГ ( ) Х Р' а Г ~ — + 1) Х(1 Х) Р~ 1 ю 1 Х )+ с'»+)(+1 р — » . 1, 81в — (»+(а) ХГ ( — +1) й Г»+)а Г»+)(» — р+1 3 (' " » р+1) Х(1 — Х) а''( 2 +1~ —; —; Х), 26+ ( + / МО 87 1 (»+(а+1» 2 (('» (х) — — —, 81а — (»+р) ХГ ( Х "("=."+') Х (1 — а з Р ~ +(а+, ~~,, —; ха) + — х 6 —, (»+р) ЯГ ( —,+1 й 1 ~'»+ р +2ву н а ~' ~ )х(1-ха)зр/ »+в+1 )а — »+1 3 . 6) (' "+') МО 87 8.776 Прн (г~ Ъ 1 26 Г (»+ — ) Г ( — » — — ) 12» чь -(- 1, (- 3, (- 5, ..., ~ ат88 ~ ( и). МО 87 р ~- авае Г((а+»+1) ( ~ ( 1 )) (2»~ — 3, — 5, — 7, ...; ~атйз<(и).
МО87 63 таелааы вата»разов 8.777 Пусть ь = 8+ у' 88 — 1. Этим равенством неременная ~ определяется однозначно во всей плоскости 8, в Которой сделан разрез от — со до + 1; 1026 8 — 9 спвцизльнык Ф.»нкции при этом рассматривается та вегвь переиенной ~, для которой действитель- ным значениям з, ббльшим 1, соо»зстствуют значения»"„также ббльшие 1.
В таком случае заг ~ — — — '1) »»»г» яг ( т р) р+»»+1» х 1'~ й хм г ("'+ 2 ./( ' — т)й + ~ +р»»з т) г(»» и+а) гв», ( 2»» з г» ~ (2т ть ~- 1, )- 3, -)-5, ...; )агй(г — 1)~ < и). МО85 дв(з) 2» зюу г( +и+ ) (з' — 1) г(+ — ) ь ХР(2 +Р» т+(а+ 1' т+ ' » ) (~ агК(з 1)~ < и)» $ 3 1 МО 86 8.78 Нули »паровых функций 8.781 Р, з (соз»р), рассматриваемая как функция от т, имеет при р > О бесконечное множество ну лев; все онн просты я действнтельцы.
Если число т является нулем функции Р„"~'(сезар), то число — тр — 1 также является нулем этой функции МО 91 8.783 Если т > — — и т+)а+1 > О, то функция ~®(г) не имеет действи- 3 тельных нулей, ббльших 1. МО 91 8.784 Функция Р ~ (з) при Х действительном имеет бесчисленное мно--+й. жество нулей; все ее нули действительны и больше единицы. 8.785 Функция Р„(я) (и — натуральное число) имеет ровно и действительных нулей, которые лежат в промежутке — 1, +1. I 8.786 Функция ~„(з), где и — натуральное число, не имеет нулей, для которых ~агд(з — 1)~ < и, функция О (соз»р) имеет ровно и+ 1 н у л е в, лежащих в н р о м е ж у т к е 0 <»р < и. МО 91 8.787 Вычисление значений т, при которых для заданных малых значений 1р имеет место равенство Р~"в(соз»р) =О, моя~ет быть выполнено по следующей 8.782 Если т н р оба действительны я р<О или если т и р являются целыми числами, то функция Р» (1) ке имеет д е й с т в и т е л ь н ы х нулей, ббльших 1.
Если т и )з оба действительны, но р < О, то функция Р" (») при р > т ве имеет действительных нулей, ббльших 1, з том случае, ко»дэ зшриз»в,р — т)и >О, я имеет один такой нуль з том случае, когда зшришв(р — т)и<0; наконец, если р<т, то функция Рв(~) при Ец») четном не имеет указанных нулей, а прн Е()ь) нечетном имеет один нуль 1028  — 9. специ»льныв Фъ нкции 2. Я,(со ф,совф,+зшф,з1~~р,с~ау)= СО =Р (совф ) Я„(сов~> ~+ 2 ~~~ ~( — 1)» Р,"(совф ) ()" (сов») )сов)ир В=! ~О < фь < 2, О < т»< и, О <~у, +~у» < н; <р действительно~ (сравни 8.844 3.), МО 90 8.795 1. Р»(к»зз — ~Я вЂ” 1 у з — 1сов~р)= ОР = Р»(з»)Р»(з»)+ 2 ~'„( — 1)" р»„х,)Р "(з,) сов )др »-1 (Вез» > О, Йе 3,) О, ~ агй(х, — 1) ~ < н, ~ аги(зь — 1) ) <н). МО91 2.
ф,(х,х» — )/х» — 1~ х',— 1 сов~у) = = р»(х»)Я»(х )+ 2 ~~~ ( — Ц" р,,~~х,)Щ (х )соей(р »=1 11<х,<х„»чь — 1, — 2, — 3, ...; ~р действительно). МО91 3. Д„(х х + )/х»-(-1ф~х,'+ 1сйа)= — 1)( (й+„)(Ю (ьх») Еч (1х») е — »а [х, > О, х, > 0; а > 0). » в-~-1 МО 91 Р» ( — сов ф» сов ф» — вш ф, яп ф, соз <й = Р, ( — соз ф,) Р„(сов ф») + + 2,~' ( — 1)" . ~~ ~ Р„"( — соз1р,)Р„"(созф )созЬр » 1 (О < ~р < фь < и; «р действительно) (сравни 8.844 2.). См. также 8.9343.
МО 91 8.81. Шаровые функции (присоединенные функции Лежандра) с целочисленными индексами 8.810 Для целочисленных значений» и р дифференциальное уравнение 8.7001. (при условии, что ~ »~ > ~р() в действительнои области имеет особенно простое решение, а именно: з» -Р"„(х)-( 1)™(1 )' '~„' Р„(х). Функции Р'„"(х) называются присоединенными функциями Леэиандра или шаровыми функциями 1-го рода Число и называется степенью, а чисао т— порядком функции Р„(х).
Функции соз тдР~~~ (сов ф)в в»п т 0Р~~~ (соз ф)а зависящие от углов ~р и О, таимое называиьтся шаровыми функцилми 1-ео рода, а именно: теееракьными (т. е. клеточными) при т < и и телесными ири т= и. Эти последние функции периодвчны относительно углов <р н О, причем 1029 8 7 — 8 8 7НАРОВЫВ (СФРРИЧВСКИЕ) ФУНКЦИИ периоды их сооответственно равны л и 2л, Они однозначны и непрерывны повсюду на поверхности единичной сферы х",+ х,'+ х, '= 1(х = з!и вр соз 6, х, = 8!п вр пп 6, хп = сов вр) и являются рен7ением дифференциального уравнения 1 д (' ду~ 1 дву в!пвр д~р в, два,г 81и'~р д()в — ~з)п вр — + .
— +п(п+1) У=О. 8.811 Интегральное представление: Ри (соз р) = т ( — 1)" (и-(-т)! / 2 ° -т 1 ~ввс — )п ср Х л Г ~т+ — )(и — т)! 2 ) (в $ Х ~ (соз ( — сов вр) сов ( и+ — ) 1 ()(. 2 8 8.812 Представление в виде ряда: Рт х ( — !) (п+т)! 1 — хтз (! — (вв — т! (т+и+1) 1 — и 2твп~ (п — т)~ ( ( 1 1! (т-(. И 2 + + ( — ) (п — т 1! (т-(-и~1) (т+и+2) ( 1 — и 'в З! (т+1! (т-(-2) 2 / (и — т) ! (1 — х) 1х — х + ( — 1)т(2п — 1)!! . 8 8 ( „т (и — т)(п — т — И „т 8 2 (2п — 1! ! .и- -и (и т!(.— - 1)(.-т 2)(. т 8! п„...~; М073 2.4 (2и — 1! (2и — 8) ( — 1) (2п — 1) ! ! 88 „,и ('т — и и — т-(-1 1, 1 Ч " (1 — хв) х" Р,,; — — и; — ), (и — т! ! 2 ' 2 ' 2 ' пв)' МО 73 8.813 Частные случаи: ! 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
