И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Ло1П 185(11) (е 'е-ыеоео сов(Л Х в(а а) д(; о (е ГŠ— Ы еое о в(П (Л ( В(П а) Г1( [Л>О,х>0, — о <а< 21. 11. Г(х) совах=Л" 12. Г (х) в(п ах =Л" УВ11 36 го — Х ( — 1)"— (е( о=о е г 13 Г( — г)=~ ( о с(г (и =.Е(йе г)). М02 г-(-Г о' Г ( — г) =си " ~ ехр( — йе )1 еЮ о (йе и > О, йе о > О, йег > — Ц. Г (г) = ~ о '(* " с(( -(- ,'г' ! о=о 8.313 ЯЭ110и, М07и 8.314 М02 8.315 1. — = —, ('( — 8) *е ~г(( Г (е) га с при г, не равном целому числу. Контур указан на чертеже к формуле 8.310 2. УВ11 13 е"оЫ г 'г еев 2.
2 ( +,)ггй=~() при Ь>0, =0 при Ь<0 ~а > О, Нег > О, — — < аг8(а+В) < — ") . НГ155(8) МО7 о 3 „— — а — ~ сов(а186 — гО)сов* 898(О (йег>11. НГ157(14) о См, 'также 3.324 2., 3.326, 3.328, 3 381 4., 3.382 2., 3.389 2., 3.433, 3 434, ЗЛ178 1, 3 551 (., 2.,:( 827 1., 4.267 7., 4.272, 4.353 1., 4,369 1., 6.214, 6.223, 6.246, 6.1(1.
8.32 11редставленпе гамма-функг(нй о виде рндов и произведений 8.321 Представление э виде рнда. 1.. Г (г + 1) = ~р ~с„г" А=О с ( — 1)инемгео 8 СΠ— 1, С„„="= ( ' 82=С го=Г. (и) Прн и> 2, йвг>0 НГ 40(1) НГ 40(3) 8 8 эйлеРовы интеГРАлы иго и 2-го РодА и РодстВенные им ФУнкции 949 д — д, спвци«льныв Функции СО Г(«+1)= Х О« «=д ~ ( — 1)«д«.,1„« дд — — $, д(,д —— 1, г, = С, г„= ~(п) прн н > 2 НГ41(4), НГ41(6) - ('+В' +й [Вес > О[; 'УВ118 = 11ш —" П вЂ” й [Ие з > 0). д х+й «=1 См Ш 267(130) о «« 8.323 Г (а) = 2з'е ' П [/ В ~2" 11, —,) «1 8.324 Г(1+ а) =4* П г 1; г[ — ~ НГ 98 (12) МОЗ 8.325 «=д 4О х 2. „' Г(',+ ) =П Г(1 — А) с«1 [Вез>О Ке(е — ) >0[.
1 г( ~1 2 2 2 НГ 62(2) М02 8.326 В(х+(у, х — 01) (Г(х+ ~У) ~ ««1. (х+йр/ [х, у действительны, х > 0$ Ло Ъ", ИГ 63 (4) ( (У '~ -1Сд Дтр — „! 2 (*+'У) = х' П ' " [х, у действительны, х >0). М02 Ь~ +ю «« х+х Представление в виде бесконечного ароизведения 1 / 8.322 Г(с)=д-с* — П вЂ” [Иеа>0[; 1" К См 111 269 «-1 (+в й зйлвговы иптеггалы ото и 2-го Рода я Родствеппыв им оунвппп 951 8,327 Асимптотическое представление для больших значений ~ х(: тзе 571 Г(г)= з е ' У 2я(1+12 +288 ' 5т84о з 2488820 4+0(а )1 [~ ага г) ( я). УВИ28 Для з действительных и положительных остаток ряда меньше последнего удержанного слагаемого.
8.328 1пп 3 Г (х+ Ку) $ ей $ у$3 =)/2я [х и у действительны). Ь~ Г [з) 8.33 Функциональные соотношения для гамма-функций 8.ЗЗ1 Г(х+1)= Г(х) . 8.332 М'О 6 МОб МО3 МО 3 3. Г (1+ (х) Г (1 — ьх) = — [х действителен). Ло т" 4. Г (1 + х+ (у) Г (1 — х+ (у) Г (1+ х — ~у) Г (1 — х — ~л) = 2яо (ее+ее) ьЬ 2ея — соз ля 8.ЗЗЗ [Г(я+1)1"=С(я+1) П [х и у действительны). Ло'1г где л †натуральн число и С(з+-1)=(2я) ехр[ — .
— —,ю'~ Ц ~~1+ — ) ехр( — х+ ~~ )~ . Ф 11 782 и, УВ П 12 о Ц .„„,. = — х" Ц ~1 — ( — „') ~ [ =2,З, ...). МО2 2. Г(2 +х )Г( —,— х)=— 3 Г (1- х) Г (х) = . Ф 11 430 1-и 1о — $ 8,335 Г(ях) = (".я) я й Ц Г [ х+ — ) [теорема умпожения1. з — з снециальяые Функ ции Частные случаи Г(2х) = — Г (х) Г ~ х+ — ) (формула удвоения). l 2) 1 2. Г(3х)= „Г(х)Г( х+ — ) Г(х+ — ) . и — 1 3. П Г®Г~1-Ц= (2"„)" * . УВП17 8.337 1. (Г' (х))* < Г (х) Г'(х) (х > 0].
2. При х > 0 шш Г (1 -(- х) = 0,88560 ... достигается, когда х 0,46163 ... М01 ЯЭ 107 Частные значения 8.338 Г (1) = Г (2) = 1. 2. Г( — ) =$/я. 3. Г( — — ) = — 2)/л. г,г О> 4 ~Г~ 1~)4 6 ЗГ! Е)й — 1)2((4)+1)Я вЂ” 1! ~. 4 ~~ = " 11 !(4Ь:Ц -1! (4 +1)па=1 П Г(з3= з ~ -) М01и УВ1136 8.339 При и натуральном 1. Г (и) = (и — 1)! 2.
Г( и+ 2 )= — (2и — 1)!! Г1 3. Г(' — — ')=(-1)" (,2 ) Р— 1)!! ' ( 11 Г р+и +в 2 у (4р~ — 1п)(4р~ — Зп) ... [4рп — (2п — 1)п) Г ~р — и+ — ) В 221 СО 8336 Г( — "+"') Г(1+в)=(21)*'1уГ(1+":*' ) $ е 1*вш*(1у) й у 2у 2У (Ве(у1) > О, Ве(х-уз1) ~ О). НГ 133(10) Связь с пси-функцией см. 8.361 1. Связь с бша-функцвей см 8.384 1. Интегралы от гамма-функции см. 8.412 4., 8.414, 9,223, 9.242 3., 9.243 4 о.о эилеРОвы интегРАлы 1-го н 2-го РодА и РОдстВенные и»с мУнкцяи 953 8.34 Логарифм гамма-функции 8.341 Интегральное представление: СО с 1 Р/1 1 1 ~е™ 1. са Г (г) = ( г — 2 ~ ?а г — г + —, 1в 2и + 1 ~ — — — + — ) '— сМ 2 ,с 1) с о [Ве г > О]. а. :с»Р— 2 1ПГ(г)=г1аг — г — — ?аг+?а]/ха+2 [ с(1 2 о УВ П23 Ни йег ) О и агс18пс= [ — ваят ао Прямолинейному пути а пло- о УВП25 УВП24 [Ве г > О].
4. 1ПГ(г)= ~ [(г — 1)е '+ ++ ~ — [Вег>0]. УВП24 о (' 1 - ой('-,—.1 5 1 1 ( ) !пя — 1по)пкх+ 1 (' '., 2 с (1 2х) о с с"с 2 2 ) о ой— 2 [0<х< Ц. УВП24 УВ1? 38 НГ 187 (7) 8.342 Представление в виде ряда: скости ис ]. 3. 1в Г (г) = ~ ~ — '; + (г — 1) е '~— о 1 6. 1ПГ(г)= -[ — — с(г — 1)[ — [Вег ) 0]. с с* — с ос ?с — 1 С 11пс О о-СХ о-С 1 СС 7.
1аГ(г)= ~ ~(г — 1)е '+, ~ — [Вег> О]. 1 †о См, также 3.427 9., 3.554 5. 1. ?ВГ(г+1)= —, ~ 1а[ —. ~ — ?а — ' ~+(1 — С)г+ — 2 [ [„»1пях,] 1 — з ] ~у 1 — ~12й+1) „х, гс ( )» г» („) 2»+1 й »=1 »=г НГ 38 (16), 1 Ях х»Х" 1 2. ?в Г (1+ х) = — 1а —. — Сх — Я 2 —, (1 — ~ (2а + 1)] [[ г [ < 1]. НГ 38(12) [[*[< 1]. НГ 38 (14) 954 в — о. спгцивльныв егнкции 8.343 1. 1в Г (х) = (в ~/ 2я+ ~~~, ~ —, соз 2иях+ — (С+ 1в 2ип) зш 2иях~ а=3 (О< х< 1!. Ф1П558 2.
1вГ(г)=г1вг — г — —,1вг+ 1в~ 2я+ 1 1 и ! +2 Е ( +1)( +2)~ (+ )яв„~ (!агйг!<и), МО9 щ в а=1 8.344 Асимптотическое разложение для болыпих значений !г): а-в (вГ(г)=г)вг — г 2 1вг+1в)/2я+ ~~~~ зй Лв 1 во в+его(г)' в-! где (в ) 2в (2а — 1) ! в Р" в еовве ' ~ — агз в) ~г Интегралы от )вГ(х) см. 6.44. М05 8.35 Неполная гамма-функция 8.350 Определение: 1. 1(а,х) ~ е Ч' 'Щ (Веа>0).
о ОР 2. Г (а, х) = ~ е 'в" ' а. ВТФП 133(1), НИ 1(1) ВТФП133(2), НИ2(2),Ле339 — а 1. уе(а, х)= — у(а, х)-аналитическая функция по а н по х. Г (а) ВТФ П 133(5) 2. Другое определение у(а, х), пригодное и для случая Вен<0: у(а, х)= — е Ф(1, 1+а; х)= — Ф(а,1+а; — х). ВТФП 133(3) 3.
Г(а, х) — целая функция от а. При нецелом а Г(а, х) является многозначной функцией от х с точкой ветвления при х=0. 4. Другое определение Г(а, х): Г (а, х) = х е "'Р (1, 1-1- а; х) = е *Ч'(1-а, 1 — а; х). ВТФ П 133(4) Частные случаи: 8.352 1. Т(1+и, х)=и. '~1 — е ( ~' — )~ — о (и = О, 1, . „.!.
ВТФ П 136 (17), (16), НИ 6 (11) О З ЕИЛЬ ОВЫ ИитВГОЛЛМ 1-е«И 1-е«ГОЛА И ГОЛьтВСНПЬж ИМ ЕГНННИИ 955 [Ве а < 1). ВТФ 11 138 (5) 5. Г (а, ху) уее-*о е-со(с+ х)" ' сй [Веу>0, х О, Веа> 1]. (См. также 3.936 5., З.М4 1.— 4.) НИ 19 (10) Интегралы от неполной гамма-функции см. 6.45. 8.354 Иредставловия с помощью рядов.
( 1)-ха+а 1. у(а, х) «~ „, + ВТФ 11 135 (4) 2. Г (а, х) = Г (а) — ~ (, „+„ [аФО, — 1, — 2,...), ВТФ 11135(5). Ле340(2) 3. Г(а, х) — Г(а, х+у)=у(а, х+у) — у(а, х) А А «« А-О о ВТФ П 139 (2) [! И < [х1). 1 "' 1 а 4. у(а, х) =Г(а) е-ххо Я хв Уа«(2)с х) ~~'~— [х~О, аоьО, — 1, — 2,...]. ВТФ 11 139 (3) а 2. Г(1+п, х)=п)е '«' — [п=О, 1, ...). ВТФ11136(18), (16) а-1 3. Г( — п, х)= (:) ~Г(0, х)-е * ~~ ( — 1) о [п=1.,2, ...1. ВТФ11137(20), ПИ4(4) 8.353 Интегральные представления: 1. у(а, х)=х" совесяа ~ е" есао сов(а6+хв(п6)с(6 о [х -,ь О, Ве а > О, а ~ 1, 2..., 1. - а-1 2.
у(а. х)=хо ~ е 'с~ .7„(2 )/хс)с(с [Кеа > О). ВТФ П 138(4) «Ъ е-хха Р е 1С 3. Г (а, х) = ) — с(г Г (1 — е) е х+с [Кеа( 1, х > 01. ВТФ 11137(3), НИ 19(12) 1 1 4. «х, ) „* ~ -«е ~2г«)а 956 8 — О СПКЦНАЛЬНЫН ФУННЦНН ВТФ П 140(5) Г(, )у(а, у)= -"-'(ху) Х 1"Г~--Юя+Гьй(*) Х4(у) а=О [у) О, х>у, а~ О, — 1,...]. ВТФ11139(4) Функциональные соотношения: 8.355 ВТФ П134(2) ВТФП 134(3) ВТФ П 134 (1) у (а+ 1, х) = ау (а, х) — х"е-*. Г (а+ 1, х) = аГ (а, х) + х"е — ". Г(а, х)+у(а, х) = Г(а). е(у(а, х) еГ(а, х) ех лх 2.
3. ВТФ П 135 (8) НИ 4(3) 4. Г (а) Г (а+ и, х) — Г (а+ п) Г (а, х) = =Г(а+п)у(а, х), Г(а)Г(а+п,х). НИ5 Асимптотическое представление прн больших значениях [х[: м-1 Г(а„х) =х" — 'е — х~ ~~ +0([х[™)] [х[ — +со, — —.<агах< 2 „М=1,2, ...1, Зя Зж ВТФ П 135(6), НИ 37(7), Ле 340(3).
Представление в виде непрерывной дроби: 8.357 8.358 е "х" 1 2 — а + 2 1+ 3 — а х+— 1+ ВТФ П 136 (13), НИ 42 (9) Г(а, х) =е-"х" ~~~ " *) [х > 0]. е — О ('(а (-и, х) Г (а, х) х~у х Г (а+а) Г (а) ~.~ Г (а+8+1) е=О 8359 Связь с другими функциями: 1. Г (О, х) = — Е1( — х). 2. Г(0,1п — ) = — П (х). 3. Г( — „,', хз) -~'л ]/яФ(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
