И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Ргос. 44 (1941), 82 — 92 ИП И 422(14) 1 8 !РУИКЦИИ МИЙИРА И ИЛК-РОБЕРТА !Б И Л! ! 2. ~ хь-'(1 — х)ь 'С "~У ах~ '* ''" Р) !(х= О = 1'(') !".4-1ч+1 ( ~б,...",6,",1'", ",) 1 1 (р+ !у) < 2(т+и), ~агда ~ < (т+и — —, р — —,„!у~ л, Ве(О+ б,) > О; у = 1, .;, т; Вео > О, либо 1 1 р+!у<«2(т+и), !агиа~<(т+и — —,о — —,д)л, Ве(о+ Ь,) >; у =-1, ..., т; Вео > О, ь ч В ~ 'у', а, — ~ Ь, + (р — у) Сб — —,) 1 > либо =' ' "( ~,-"'--.'".) р+ !у < 2 (т+ и).
(агд а ) < (т+ и — — р — —., !у) л, 1 1 Ве(о — о — а,) > — 1; у =1, ..., и, Вео > О, либо 1 1 р+ д <2(т+и), ~агца~ <(т+и — —, р — — !? у л, Ке(Π— о — а,) > — 1; у = 1, ..., и; Вео > О, Р ч Ве ~ 5' а! — ~ Ь!+ (!у — р) (Π— о+ 2 у 1 > — >, !=1 г=-1 либо !у < р (или !у < р при ~ а ~ > 1), Ве (о — о — а,) > — 1; у = 1, ..., и; Ве о > О 1. ИП П 417 (2) 9й П [~ Г <8!-+ О> (( Г !1-ь, — О! у=! !=1 ч Р а-о 1) Г!1 — Ь! — О) ~~ Г1ь! ! о) у=ь!+1 ! а+! ~ р+ !у < 2 (т+ и), ~ агд а( < ( т+ и — ~ р — —. 17 у л, 1 1 ю(п ВеЬ, < Вор < 1 — п8ах Ке а, 1.
ИПП 413(3) и, ВП 1337(14) 1<!И!ь 1<зль 4 1 — Г( !ь ' ь ) Ь р < !у (или р«< !у при ) а ) < 1), Ве(р+ Ь,) > О; у = 1... „т; Вео > О ~. ИП П 417 (1) О '3. 1 — ( — )" 'С "( ~ """ у!1 = 1 И2 ь — г опевдыснныв интсггллы от спспиьльныл еункпии ~Р т+Пп.~.1 / „~1 — д, ао .... ар) -;(о, +1М- ~ Р 0 [гр+Ч< 2(т+л), ~аЧо[< (т+ --р- — д) и, ~ 88~ <и 1 1 Ве(о+Ь) > О, у=1, ..., т, Ке(О-о+а,) < 1 у=1, ..., д, либо р<О, р+Ч<2(т+в), ~агаа[<(т+и — 2 Р- ~ Д)п, ~агд8!<л 1 $ Ве(о+ Ь ) > О, у = 1, ..., т, Ве(О-о+ а ) < 1, у = 1, ..., а, р Я Ке [ ~', а, —,'5~~ Ь, — И вЂ” р) (ц — а — — ) ~ > 1 у=3 1 либо Р > '.у Р+ Ч < 2 (т+ а), ~ аг8 а ~ <( т+ в — 2 р — 2 Ч) и, ! егия <1г, 1 1 Ке(о+Ь,) > О, у ='1, ..., т, Ве(о-о+а,) < 1, у =1, ..., а, р Я Ке ~~ а,— ~, Ь,+(р — д) (д — —.)~ > 1[ .
ИПП418(4) р-~ 1=3 7.812 хг-~(1 — х)~ Е(а, ..., ае:цп ..., Π— *~) ах= 'о =Г(У вЂ” Р)тг гЕ(а, ..., ар .Оо ..., о . г), ф+й — 1 у+В вЂ а „=, о =,Уг=1, ...,т [Кеу > Ве[) > О, т=1, 2, ...]. ИП П 414 (2) СО 2 -' (1+хГ'Е[ао ...,а„:Ог...., О,:(1+х)г)4 = = Г(д)Е(а„..., ар, о-О: Оо ..., О,, о:г) [Вес>Вес>О). ИПП 415(3) 3 ~(1+) С ( — ~ )а= = Г ([3-г) С,.Ь' +' (а ~ ь„...,,, — е ) [ — ш1вйеЬь < Кол < Ке[), 1<Ь<т; (р+д) < 2(т+а), ~ аг8 а [ < (т+ и — — Р— — Д) и ) . ИП1 338 (19) 913 7 О ЮУЯКЦМИ МЕЙЕРА И МАК-РОБЕРТА (а и ау 7.813 со 1 ~ х ое ВаЦ"' ' ах~оп '''ит) сух=но — 1~„Д+~ ('в ~Р ав ° °" ои) о $ р+а <2(т+и), ~агна~ < (т+и — —, р — — д) и, ! агд ф ~ < — и, Ке (Ь вЂ” д) > — 1, у = 1, ..., т 1 . ИП П 419 (5) 1 о 2 1 р+ д < 2 (т+ и), 1 аг9 а~ < (т + и — — р — —.
9) и, ~агдР~< — и, йеЬ, > — —, у =1, ..., т1 . ИПП 419(6) оэ 1 ~ ха-'е *Е(а,, ..., ав д„..., ро.'хг) Нх= о =исоаес([)и) [Е(а, ..., а„:1 — [), 92, ..., 9о: еь'и 2)— — г-ВЕ(а +[), ..., а„+р 1+[), 9 +[), ..., 9,+р:е*'иг)[ [р>9+1, Ке(а,+р) > О, с=1, ..., р, ~агах~ < и. Формула верна и при р< 9+1, если только интеграл сходится). ИПП415(4) оо 2 ~ хо — ое-"Е(а, ..., а .92, ..., 9:х — '"г)дх= о 2 1 ! — — о1 в— 2 2 2 =(2и) т Е(аа, ..., ар+,а1ди °... 9о . 'т ив 2) [Ке[)>0, а, =, )о=1, ...,.и; т=1, 2, р+уо — 1 ИП П 415 (5) 7.815 о ="-'- =- (М:;.'., Ч Р+Ч< 2(т+и)' 1аг3а~< (т+и 2 Р 2 Ч) и' е>О,ПеЬ,> — 1, у=2,2, ...,ги,йеа < —,у=1, ...,и[.
ИП П 420 (7) 52 таоииии иввевраиов 914 6 — 1. ОпРеделенные интеГРАлы От' специАльных 'эгнкций (О 2. ~ СОЕ (СХ) С,„и (аХ2 ~ Ь ' ' ' ~Ь) ах = -:-- =-( ~.'-.."... "') р+ д < 2 (т+ а), ! аг8 а ~ < (т + и — 2,ю — 2 д) и, 1 1 с>, КеЬ,» — —, 1=1, ..., т, Кеа,< —, у=1, ..., и ). ИП П 420(8) 7.82 Функции С, Х и цилиндрические функции 7.821 1. ~ х-а Уи(2ЬГх)Ср,"(ах~ ' ' и) сЬ= а ь, , ь, Е 2к ~*.
- ак О+2" р+д < 2(т+и), ~ аг8а~ < (т+ п — — р — — д) и, 1 1 — 4 + шах Веа, < Ке 0 < 1+ — Кем+ ш1н Ве Ь, ) . ИП П 420(9) 1<1<и 1Н1Н и 1 * а-41'(2 ь'-х) С (ахль ьа ) сЬ= Ь 1 1 1 1 Š— 2 О+ — и. а. " Р Е+ — +-~ 1 1 ь,, ...,ь„е+ — +— 2 2 гии, и+2 Р4-2, 1+1 а р-~- д < 2 (т+ и), ~ аг8 а ! < (т+ и — — р — — д ) я, 1 1 — 4 + шах Ке а, < Ве 0 < шш Ве Ь, + — ~ Ве г ~ + 1 ) з 1 1иеки 1К1<ти ИП П 420 (10) 3 ~ Х-аК (2 ЬГХ)С~™1" ( ОХАТЬ ЬР)сии о и~. и+2 2 а —,м, е+ — а, аг, ..., а 1 = 2 СР1'.2,1 а ь ь,1 ( 1 1 р+ д < 2(т+и), 1агка~ < (т+п- — р — —, у~ к, Ке О < 1 — д ~ Ке г ~-1- ш1а Ке Ь, ) . ИП П 421(11) 1<1ат 915 1.8 Функции мжИБРА и мАХ-РОБНРтА 1б я а) 7.822 СО 1' ~ х'оУ" (ху)6 (Хх'~О ЬР)с(х о 1 1 1 1 Л= —,— 9 — —,, А= —,— Е+ —, 2 2 ' 2 2 1 1 Р+ о < 2(т+и), ~агКА! < (т+п — 2 Р— 2 Ч ) и, Ве (Ь,-(-9-(- —, у ) > — 1, у= 1, 2..., т 2 Ве(а,+д)< —...~ =1, ..., и, у > О~ .
ИП1191(20) 2. ~ х" Л~,(~у)С„,"( Х~'~"' "' 'Р ) дх= о 1 1 =(2") у г Ж. +8 Ь=.— -(- —,, о, й= — — — у, 1 1 1 1 1 1 1 2 ' 4 2 ' 4 2 ~ Р+у<2(т+и), (ага) )< (т+и — — Р—,у )и. у>О, 1 ' 3 Веа,<1, 7=1, ..., и, Ке(Ь 4- —,Р)>, ~ — 1, ИП П119(5Е) 1 1 1 1 й= — + —,о й= — — —,о 4 2 ~Веу>О, Р-)-у < 2(т-(-п), /агу)о(< ( т ( и — 1 Р 1 ) и В Ьо > —,, ~К (-,,=1...„т~, ИВП1ЬЗ(ОО) з Бзо 3 8 =2 А у 6 р+8 2 2 2 и+8 т ~ 4Л 1 — — Ь„,.„—, ЬФ 1 2 '''" 2 1 ' 1 2 1 1 о 1 1 2 о'' "2 91T !.В Функции мкннрА н мАК-РоннртА (с в ю! я 1 я я я д — — —,р, Ьд, ...,Ь, 2 2 + ° + Ср+з, е+! а (Р+Ч<2(т+™), !егда(<(т+и 2 2 7) н~ 2 я з.
шах( — — ', Ве —,)+ шах Веа < Веф< нйн КеЬя+ — Кер+ — ( . $(у(в МЖв 2 2 ( ИП П 421 (12) 7,83 Функции др', Х и другие енециальньяе функции либо р+д<2(т+и), ~аг8а~<(т+и- — р- —. у ядд, 1 я 2 2 Вен > О, Вей КеЛ > Кеа,— 1. !'=1, ..., и, р Я Ке ( ~~я~ а, — ,'я~ Ь! +(7 — р) ~й+ — )1 > — —., ~! ~! р Ю Ке [ 'Я а, — ~'„Ь, + (7 — р) (Л + — ) 1 > — — 1 ° ю=! !=! ИП П 421(13) 7.832 х!Я-'е И'в,р(х)д!(ад, ..., ар.'од, ..., Ов:х™г)с(хвв ! ! 1 1-да Я!+в — 1 =(2н) т Е(ад, ...,а, „:Од,,9~~ят з), 3+ь+яд— 2 ф — яд+ йв 2 а а р д= т р~зв+Ь Ув 3 (! — в+ в ое,„ = , й = 1, ..., т ~Ке() >(Ке(д~ — —,, т=1, 2, ...~ .
ИПП416(10) св 7.831 ~ х-р(х — 1)~ ' р(1+о — 9, Л+а — 9; а; 1 — х)Х 1 Х ~ (аж ~ "' ' " вр),(х = В (а) г ™Я,=д в (а Я 'д! ." вр а+Л+а — Е. Е~ Э 1 В р р+ д < 2 (т + и), ~ атд а ~ < (т+ и — — р — — !7~ н, 1 я 2 Кео > О, Вей>ВеЛ > Кеа,— 1, 4=1, ..., и, 8.— 9. С11ЕЦИлдЬН1ь1Н ФУНКЦИИ 8.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 8.11 Эллиптические интегралы 8,110 1.
Всякий интеграл ~ Л(х, ~'Р(х))с!х, где Р(х) — многочлен третьей или четвертой степени, может быть приведен ь лннецнои комбинации интегралов, приводящих н злемеятарным функциям, и следуя щих трех интегралов: ~/'1 ььхь Йх — ех, ~/! хт,~ (1 ! нх6 р'!Г хе!!1 ач о) ' ве у 0 — хц (! — й'х~) 1 которые называются соответственно эллиптическими интегралами первого, второго и третьего рода в леег андровои нормальной форме.
Результаты такого приведения для часто встречающихся инте~ ралов даны в формулах 3.13 — 3.17 Число и называется модулем зтпх интегралов, число й' = Р'1 — нов их дополнительным модулем, а число и-параметром интегралы третьего рода. Ф!! 97 — 106 2. Эллиптические интегралы подстановкой х= вьясь приводятся к нормальной тригонометрической форме аа — ( 3/ 1 — йо та~ (р ейр, У1 — в~ ыыч т г ~ (1-гл гнпо ~р) у'! — йе гцао~р ФП106 8.111 Обозначения". 1.
йыр=~/1 — ~сез1веф; й У'Г йо )го < 1 2. Эллиптический интеграл первого рода. ми о р(т а) = о р" à — йь ею' а р'(1 — хе) (à — йьхь) о Результаты приведения интегралов от тригонометрических функций ь нормальной форме см 2.58 в 2.62 3 Эллипгические интегралы, взятые в пределах ог 0 до †, , называются полными гл иптичееаими интегралами. о ! злпиптичвскнн иптнгеллы и эвикции 3. Эллиптический интеграл второго рода: Ф мл о Е(>р, й)= ~ )/Г1 — йоа!поао(а= ~ !йо. ГРП135 о 'о 4. Эллиптический интеграл третьего рода: да Р >)~ П(1Р> и й)= о о о ыоа (1-~а о)зо а) )> 1 — О>о>>>о а „(1+>>ах) )/ (1 — а>) )1 — йоао! . Си13 о о Ф ° 1п е ,Г(р, Г>) — ЕГ>р, й) !' юо>аНа ~ о>>та 5. П(<р, й)— )>> ) й> ыо' а Г>(1 — а>) (1 — 1>о>) о о 8Л12 Полные эллиптические интегралы: 1.
К(й)=Е( —;, й)=К (й). (2 2..К(й) = и Я, й) = ж (й ), З..К' (й) = Е ( —,, й') = Я (Г>'). 4. Х'(й) = Е ( —, й') =Ж(й'). 5. Э=В(' — ', й ~=" „~. При записи полных эллиптических интегралов модуль й, служащий иезависпмоп переменной, часто опускают и пишут таь. К(ьи К (й)), К' (ка .К' (й)), Х(= .Е(й)), Е' (ко Ж' (й)). Представление в виде ряда 8Л13 (Т) +(24) + ' ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
