И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 88
Текст из файла (страница 88)
НИ11(10) [х ) 0[ (сравни 8.211 1.). НИ 19 (11) НИ23(2), НИ23(3) Для определения д по данному модулю й служит ряд 2. д=)с+2Х'+15)(2+1501(2+1707112+... СО е-1 е' Е1(х)ОΠ— ~ — а= '[ —,а= И(е') [ < О[. -с СО 2. Е1(х)= — Г(ш ~ ~ '— ,(М+ ~ ' —,й~ (~ >О), е +о О 8.212 1' е ' — ( 1. Е1 ( — х) = С+ 1а х+ ( — й о 2. Е1(х)=с* [ — + ~ о 3. Е (- )=е-*~ '+~;"„',,1 [ >О) в 4.
Е1(+ х)= ~'-е [х > 0) СО 5. Е1( ь ху) ь ее"е [ — (й [Неу ) О, х > О[. ,) Р+~ о ОС б. Е1(~ х) — ее 1 (12 ~ е~сх [х >0). (сравни 8.211 1.), Ла 281 (28) (сравни 8.211 1.). 8 — 9. спжцкальнык Фкнкцни 7. Е1(ху) =е"9 ~ 1, !й; о 1 =х 'ехх [ ') " ес!1+у 11 [х>0, у>0).
Ла283(46)и о 1 8. Е1( — ху)= — е "9 ~ Й; Ла 282(45) и о 1 = х-те- [ ~,„,,)е )т — у 1~ [х > О, у > 0). Ла 283 (47)и о 9. Е1(х)=е" ~ [х > О). Ла 283 (48) Ла 282 (44) и ее хе 10. Е1( — х)= — е х ~ Е х+1и! !е ! [х > 01. Ла 283 (48) ОЭ о [х > 0]. НИ 23 (6) о [х < 0]. НИ 23 (6) 13.
Е1 ( — х) = — ) —, агой — еЮ о [йех > 0). НИ 25(13) 14. Е!( — х)= — ~ 1вт )т 2е х Г хсосе — 1ып1 и,) !'+х' [х > 0). НИ 26(7) Ряды и асимптотическое представление 8.213 1. И (х) = С+ )в ( — 1в х) + >' — „„ Оп х)А А=! 2. И (х) = С+ )в 1в х+ ~~~~~ — „",*„ [О < х 11. НИ 3(9) [х > 1). НИ 3(10) 15.
Е!(х)= 21вх- — ~ — ' — )атй 2е~ 1" х со81.1-18!п1 П Е !!+хе о е 16. Е! ( — х) = — х ~ е — !х )в 1 !11 [х > 0). НИ 32 (12) 1 См. также 3.327, 3.8818., 3.9162. и 3., 4,3261., 4.3262., 4.3312., 4.351 3, 4.425 3., 4 581. Интегралы от интегральной нокааательной Функции см, 6.22 — 6.23, 6.78. е 2 ннтвГРАльнАЯ нок»3»твльнАЯ ФУнкциЯ н Родотввн кн ФУнкциы 941 8.214 3.
Е»(х) — Е1( — х)=2х Х 2» ! ' [х > О[. НИ 39(13) 8.215 ~ до Фс! < ~е! 1 Ф 2 х = ~ х( е~~е, 1р» < д». НИ 37 (9) 8.216 где НИ 39 (15) 8.217 Функциональныв соотношения: . [х'=хз!8пйвх). НИ 24 (10), НИ 27 (10) » г, [.- —.',) 3. Е1 ! -х) — Е1 ~ — — ) = — з! — агой г)Г ) л З !+1» о [йех > О[. НИ 25(14) 1. Е1(х) =С+!и(-х)+ Я вЂ”, [х < О!. »=1 2. Е1(х)=С+!их+ '!~~~ *~,~ [х> 0[. »=1 Е! ( — х) = е Я ( — 1)» — »+ й~, !а- !)1 е» »=1 Е1 (ПХ) — Е»( — ПХ) = Е (,а. + А»е» + а» 1 ! х' = х з!Яп йо (х), 7е„= О (иа), а и велико.
1. е-'"' Е1( — х') — е-~' Е1 (х') = — 2 [ ' 1г = 1»+е' о СО = — ~ — 1пгй — 2е-"'1пх' [»'=ха 8п йох). 4 Р *'с»ис Л З 1»+е» о е ' Е1 ( — х')-1-е — *' Е»(х')= — 2 ~ гсо:1 с(Г о СО 4 Р ее!Ве = 2е — ' 1п х' — — — 1п1 с(Г Л ~ 1»+х» НИ 24(11), НИ 27 (9) 942 в — з спкцилльпыв етнкции 8.22 Интегральпый гиперболический синус зЫж и иитегральпый гиперболический косинус сЫ х 8.221 1. зЫх= ~ — !(г= — ! '( —,+з1((х) ) (см. 8.230 1.). Г ззю .Гк (2 о ВТФ П 146 (17) ВТФ Н 146 (18) 2. сЫ х = С+ 1и х+ (Р. 8.23 Интегральный синус и иитегральиый косинус: з1(х) и с!(м) 8,230 1. з! (х) *= — з! — о! = — — + !(!.
Г иаю я Г з!аю 2 г сов г Г сеет — 1 2 с!(х)= — ~ — <(!=С+ Ьх+ ~ — <й. НИ 11(3) НИ 11 (2) 8.231 (О (' ингу 1. з( (ху) = — ! — — с!!. НИ 18 (7) с! (ху) = — ~ ~ о!. 2 з! (х) = — ~ е — " '" ' соз (х з!в г) сМ. 'о НИ 18(6) НИ 13 (26) л . ( 1)мои-~ 1. з! (х) = — —,-(- ~;— 2 ~~) (2й — !) (2в — ц! ь-1 НИ 7(4) 4. Е(( — ах) рй( — рх) — !п(а6) Е! [ — (а+р) х! = к-е "+з>х ~ ( ~ ~ ) с!!.
НИ32(9) !+а+() о См. также 3.723 1. и 5., 3.742 2. и 4., 3.824 4., 4.573 2„ Связь с вырожденной гипергеометрической функцией см. 9.237. Ипзегралы от интегральной показательном функции см. 5.21, 5.22, 5.23, 6.22, 6.23. 8.218 Некоторые числовые значения: 1. Е1( — 1)= — 0,219 383 934 395 520 273 665 ... 2. Е1(1) =1,895 117 816 355 936 755 478 ...
СО 2. с1(х) = С вЂ” 1п(х)+ 'Я ( — 1)" в-$ НИ 7 (3) 8.233 1. с((х) ь 1 а( (х) = Е1 (ь 1х). 2. св(х)-с1(хеем)= г нв. 3. в1 (х) + ь1 ( — х) = — и. 8.234 НИ6и НИ 7(5) НИ 7(7) 1. Е1(-х) — с1 (х) = е — ""'е в)п (хи(п<у) еар. НИ 13 (27) г (Кех > О) (см. также 4.366). НИ 32(11) См.
также 3.341, 3.351 1. н 2., 3.354 1 и 2., 3.721 2. и 3„, 3.722 1„ 3., 5. и 7., 3.723 8. и 11., 4.338 1., 4.366 1.. 8.235 1. 11ш(хев1(х))=О, 11ш(хес1(х))=О (9<1]. Л >+О: ' *-+- 2. 11п1 ы (х) = — а, Иш с1 (х) = * гп. Х вЂ” СО Х" Ф вЂ” Ш Интегралы от интегрального синуса и интегрального косинуса см.
6.24 — 6.26, 6.781, 6.782, 6.783 Неопределенные интегралы от интегрального синуса я мнте~ рального косинуса см. 5.3. НИ 38 (6) 8.24 Интегральный логарифм 11(х) 8.240 1. П(х)= ~ — „=Е1(1пх) (х< Ц. и в ЯЭ 97 1 — в 2. 11(х)=11ш [ ~ — + ~ —,1 = Е)(1пх) (х > 11. О 1+в 3.
1в (ехр ( — хе*ж)) = К1( — хе~'") = Е1(х т 10)= Еа (х) ь 1п = =11(е*) ь вп (х) 01. ЯЭ97, НИ2(6) Интегральные представления 8.241 ы~ СО 11(х) = ~ — ', е(1=х)п)п —— -1е д в.г интпггальная показ.втильная егнкцня и гояствкн пг еункции 943 944 8 — е специальные 'Руннссяя 2. !1(х) = х ! )пп 1 (1пх+1пс)с' Ла 280 (22) Ла 280 (29) с ~й !их — 1п с сс с (х 11. Ла 280 (30) 3.
11(а )= —,, ~ — >Ф 8.250 Определения: 1. Ф(х) = е — '" й. 2 2. 8(х)== в1псес)с. 2 г )2 — ~ 3. С(х)== 1 совгсйС. У'З~ с) Интегральные представления 8.251 1. Ф(х)= — 1 =й 2. Я(х) = ~ =Ж Г есдс (см. также 3.361 1.). 8.252 1. Ф(ху) =- —" ~ е-"песа. 2я )ссс 2. Я(ху) = В ~ в1п(Ссус)сВ. Г' 2я ° 3. С(ху) = я [ сов(сву')с)с. Интегралы от интегрального логарифма см. 6.21 8.25 Интеграл вероятности и интегралы Френеля". Ф(ж), З[х) и С(х) 2 е е '*" (а а 4. Ф(Ху) = 1- — Е-аав' ~ У л К 22+«2 О НИ 19(11) и =1 — — е-"в' ~ 2 и о е ~ 222<! НИ 19 (13) и 5, Ф( —," ) — Ф~ У )= ~ е в'е1в(еу)(12 о [Иеха > О). НИ 28(З) и 2« 6 Ф < "~) =1 — хе ааа ~ е-еаза-12«< [Вето >О).
НИ27(1)и См. также 3.322, 3.362 2., 3.363, 3.468, 3.897, 6.511 4. и 5. 8.253 Представление в виде ряда 2 1, аей-2 (х)= у„Я ( 1) '<2й — И(~ — 0! 21 НИ 7(9) и 2 „2 2 "хай'2 = — е-'х "~~~ + а=о НИ 10 (11) и ОО 2 < — 1)"хаа'2 (Х) у2 О ! (2й+1)1<4й+1) ' " й-о ае ОО 2 ( — 1)й 22ааае'2 <4й-<-1)1! — 4щПХЕ",'Р— — — сов хо 'Я л=о НИ 8(14) в ( — 1)а 22«мхай'а 1 (4й+- а) 11 НИ 10(13) и ОЭ 1)й «айаг 3. С(х)==,Я < „...й+1): НИ8(13) и й=о ОО ОЪ 2 ( 1)й 2айаахай+2 ( — 1)е 2*2, 2221 1 (,;.. т. †,„' „ „ ~ * т, =.-22 -,--„., †! .
в«х ($21 У 222 < й=о Рааложение по функциям Бесселя см. 8.515 2., 8.515 3. Ь Асимптотические представления < — 1)й Г ( й+ —,' ) + — Л„, й+1 и «2 х ОО 8.254 Ф О/ х) = 1 — — е — * ~~~~ "('."+В где ~Л«[< 2 <р ооэ— 2 х = ~х[еев в (ра< яг. НИ 37 (10) и <(О табаева ивтеграаев в г интвгглльнля поклелтвльнля (авнкция и аодстввн вп Финикии 945 о — о спвциллъныи фэ нкции 8.255 1. Я(х) ° ~ — сов хо+ 0( —,) 2. С(х) = — + в$пхг+О( — ) 2 ~'2йе (, гг) 8.256 Функци альные соотношении: г. С (г) + юЯ(г) = ]/ — Ф ( ~- ) = ~— [х — + со]. со]. МО 127 и МО 127 и 1 г 2 2. С (г) — $Я (г) = = Ф (г ~ 1) = — е-'" сй.
)г2в ф Б 3. [сов игС(и)+ в1п игЯ(и)] = О) = — [совиг+ыпиг] — ~ — ~ е г" в1пггШ 1 2 п о [Веи >О). НИ28(6)и 4. [сов иг Я (и) — в)п агС (и)] = СО = — [сов и - ип и-] — у — ] е г сов Р Ф г г Г2г -ы 2 У и2 о [Веи~О]. НИ28(5)и 8.257 1. Иш (хо [ГЯ(х) — ' — ~) =О [е( 1]. 2. 11ш (хо ~С(х) — — ~~ =О [9(1]. НИ 38 (11) НИ 38 (11) 3. Иш Я(х)= —.
а + 2 ' 4. 11ш С (х) = — . 1 + 2 Интегралы от интеграла вероятностей см 6.28 — 6.31. Интегралы от синус-интеграла н косинус-интеграла Френеля см. 6.32. НИ 38 (12) и о См. также 6.322. НИЗЗ(18) и Свяоь с вырожденной гипергеометрической функцией см. 9.236. Свяаь с функцией параболического цилиндра см.
9.254. в.з ОйлВРОВы интвгРАлы 1-оо и 2-оо РОДА и РОдстВВнныв им Фгнкции 047 8.26 Функция Лобачевского Х(ю) 8.260 Определение: х Ь(х) = — 1в сов ге!з. Ло П! 184(10) Интегральное представление функции Ь(х) см. также 3.531 8., 3.532 2., 3.533, 4.224 ~1 8.262 Функциональные соотношенвя1 1. Ь( — х) — Ь(х) ~ — — ~х~ — ) . 2 21* 2.
Ь(я — х) = я!в 2 — А.(х). 3. Г.(я+х)=я1в 2+А(х). 4. Ь (х)- Ь ( 2 — х) = (х - 4 ) 1и 2 — 2 Ь (( — 2з) ~0<х< —" [. Ло П1186(14) Ло П! 185 (13) ло 1П 286 ло П1 286 8.3 ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ 02УНКЦИИ 8.31 Гамма-фупвция (эйлеров ивтеграа 2-го рода): Г(з) 8.310 Определение: со 1.
Г(з)= е '$* 'Ж ' Обобщение: [Не з > О). (Эйлер). Ф П 777(6) 2. Г(з)= — —, $ ( — Ф)' 2е ~1)! с при з, ве равном целому числу. Контур С указан на чертеже. УВ П18 Г(з) является дробной аналитической функциейзс простыми полюсаин ь точках з= — ! (1=О, 1,2, .',.), Иоторым соответствуюе вычеты,; Г(з) удовлетворяет соотношению Г(1) =1. УВ П 18, МО 1 ( — 1)Я 8.261 Представление в виде ряда: оо Ь(х) х1в2 — — 'Я ( — 1)" ' — ~2 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
