И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 86
Текст из файла (страница 86)
~"~! .1 +''') г'1.3.5 о> 4 2 2 2 ~),> +( —.. ) )п —,— —.— —,— — )й' + ... Д(773.3) 1. ', ./! См. также 8Л97 1., 8.137 2. 8.114 1. Л= — 11 — — й — —,' й— и Г 1 1мЗ г1 ~' 2 4 = — й ( — — > — ', 1, й*). ГРП 487 920 8 — р. сппцилльные Фгнкцни 1 Г 4 1 Ч ,и 1*.3 / 4 2 1 3. Х = 1+ —, ! 1п —, — —. ) й' + —, ( 1п —, — — — — ) й' + 2 (, М 12 ) вв-4(, 4' 12 3.4 183".5 Г 4 2 2 ! '~,в йв'о-! + ...). Ж43(158) 1 7 ! агссор —, 0 гдеИ= и Р+2) —,р+ 18 ~ 1+(Р+4 !„,8 11+ — „8)1+ 155' Г 37 21 1 255 ( 144 4О„Р с,в + р=1п — „',, й'=4е ", й" =1 — йс, и'*=1 — и'.
Ж44(163') Тригонометрические ряды 8.117 При малых значениях й и «р можно пользоваться рядами 2 г' 2 . р, 2.4 — — !2 — 81пЧ! сов !г ( ар+ 3 ага!пв ~Р+ 3 5 ар в!пв Ч!'+ ' ' ') ' где а,= — „.К вЂ” 1; а„=а„— ~ „," 1 й'". Ж10(19) 2 Г 2 . 24 2. Е (Ф, й) = — ХЧ! — 8!в!рсоа!р ~ Ьр+ 3 Ьгв)п вг+ 3 5 Ьрвш 'р+ ... ), где Ж 27 (86) 8 118 При й, блиеком к 1, можно пользоваться рядами: 1.
Р(Ч, й)= — „Х )п58(,— +4)— 1КЧв /, 2, р 2.4 — — ( а — — а 188!р+ — а' 18 !у — ...) сов~р(, в 3 ' 35 где а,'= — „.К' — 1; а'„=а„' ! — !г, " ~ й' . Ж10(23) 921 а ~ эллинтичвскив интвггйлы и фтнкпии 2. Е (ф, й) = — Ж' 1п 18 ( — + — ) + г, Гф я. я 2 4 +, б бв8 ф+з.Ьб'18 ф ° . ) ° где Ь;= — Е' — 1, б„'=б„', — ~ „, 1 . Ж27(90) Разложение полных эллиптических интегралов по полиномам Лежандра см.
8.928. 8,119 Представление в виде бесконечного произведения. ~(~) 2 Ц (1 + й~з)~ я=1 где й„ = ' ' "",-' , й, = й а + ©11166 См. также 8.197. 8.12 Функциональные соотношении между эллиптическими интеграяами Е(й) йг'(й)+ Е'(й)К(й) —.К(Ц К'(7~) = —" . ФП691, ФЯ791 8.122 8.123 аР й 1К вЂ” й'Йг й вф иф 1 дй " ' ~ " У1 — й1ьш'ф/ МО 138, БФ(710.07) ФИ 691 МО 138 Ф 11 690 1. Функции Х и К' удовлетворяют уравнению УВ 11 371 2. Функции Ж и Л' — МГ удовлетворяют уравнению УВ 11 371 8 121 1. 2.
3 4. Е( — ф, б) = — Р (ф, й). Е ( — ф, й) = — Е(ф. й) Р(пя ~ ф, й)=2яЯ? (й) ~ Р(ф, Й). Е (ян ~ ф, й) = 2яХ(й) + Е (ф, й). ям (й) ~ (й) й~ (й) Ий ййм й дн и — Р дй й Ш(й) Ж(Ц вЂ” И (й) й ЯЭ 151 ЯЭ 151 ЯЭ 151 ЯЭ 151 922 8 — 9 спипихльнып <пункции Формулы преобразовании МО 131 (см. 8.Ш 1.).
МО 131 8.128 В частности, МО 130 МО 130 МО 130 Интегралы от эллиптических интегралов см. 6Л1 — 6.15; неопределенные ингегралы от полных эллиптических интегралов см. 5Л1. 8Л25 1. ГСФ 1+1,) =(1+ ')Р(~р, В) 2 5'(р., ~,,) =, 1 л, (5'(~Р, 5)+л'г'(~Р, 5Н— 1 — $' — —,эшзр 1+ й' 3. Г(р, ',~)",)=(1+ц.р(р, Ь). 4. Е~ъР, ) = $2К(~р, Ус) — й'тР(ер, й)+ 8Л26 В частности, 2. Ю ( — „, ~ = 1 а, (Е(л)+ и'лх (и)). 4. Х ( ) = — „(2Ж(Ус) — й'Х(Й)).
8Л27 1. К( Ч=5 К(а). 2. '(1И= '(хх( ') — 1 (й)). 3..5Г ( — ) = МсХЯ+ юЯ' (й). МО 130 ! Нк(Р— Р)=~'г6 Р). МО 131 1 МО 130 МО 130 МО 130 МО 130 924 8 — 9. Опкциальныв Функции 9. Эллиптическая функция порядка у принимает любое значение з параллелограмме периодов у раз. См П1601, Си 301 8.14 Эллиптические функции Якоби 8 141 Рассматривая верхний предел ф интеграла и= аа «« — «'Ймй о как функцию от и, пользуются обозначением ф=апви и называют этот верхний предел амп,гитудой. Величину и называют аргу- ментом и зависимость ее от ф записывают так: зп и = ьйп ф = е1п аш и, сп и = сое ф = соа ат и, Йпи= Лф =)/1 — Йвейпвф=— в.в а«е «!И называются соответственно синусом амплитуды илн эллиптическим синусом, косинусом амплавпуды яли гллипти веским косинусом я дельтой алтлитуды.
Все эти эллиптические функции были введены Якоби-,и носят его имя. Си 16 Эллиптические функции Якоби являются дпоякопериодическими функциями, имеющими в параллелограмме периодов два простых полюса. Ж69 8.144 вз» и= ав 0 вз» ав 2. и= ~'11 — в') (й«в+й*г') 1 гз» 3. и= ав ««« — 'Г( ' — «' в Си 21 (23) 8.145 Представление в виде степенного ряда: 1+йв г 1+ 14йв+ йв в 1+ 135йв+ 135йв+ йв 3! 5! т! 1+ 1228йв+ 51«78йв+ 1228йв+ йв «! ~ Ж 81 (97) и = агу «р.
8.142 Амплитуда является бе с к о н ечн озн а ч нов функцией и, обладающея периодом, равным 4Кв Точки разве ввл ения амплитуды соответствуют значениям аргумента и = 2тлх + (2п+ 1) .К'1, Ж67-69 где т и п-произвольные целые числа (см. также 8.151). 8 143 Функции а.! еллиптичвскин интжгРАлы и Функции 2. спи = 1 — — и'+ — и!— 1 з 1+ 4йв ! 1+ 44йс+ 16й4 с 2! 4! 6! + +, + и' —... [!и) < [Я'[]. Ж81(98) йс в йс (4+ й~) с йс (16+ 44йс+й!) 2! 4! 6! + 6 и —... [)и~<!.К'(].
Ж81(99) 6! 5! 7! ! ани= си „~~ 1 ж~-~ е!Н(2п 1) 2к ° яи в ! УВ 11 358, Ж 84 (108) с ни ав-в сов(2п — 1) 2К 2. ели = — Я Ув И 358, Н(84(109) Ев яли 3. дн и = — + — ~„соа —. 2к к Л21+с к в ! УВ П 358, Ж84(110) . ни т-~ 1 дв . вни 4. вши= — +2 г,— 2К ~Г2 и 1+о!в К еш и=! О\ 5. — „= — „и +4 ~~ .,„, еш(2п — 1) —, 1 н 1 тсв-! Яи в!и— 2К в! ссв-1 яи 6. — =,—, [ +4 ~ ( — 1)",„сое(2п — 1)— [ соз— 2К Ла 369 (3) УВ Н 358 Ла 369 (3) 2й'К [ 1+4 ~ ( — 1) 1 вв сое К в ! в=! 3 О в-— 2 7.
Йл и Ла 369 (3) 8 вн и сои Ла 369 (4) 9 Ла 369 (4) ни ! ') Рввложвння 1 — 22 годны во всей полосе ~ 1ш — [ < —, к 1ш т; рав- 2 ложсння сс — 25 годны я любой консчаон части и. +, и —... [)и~ < )ев'[]. Ла380(4) 8.146 (1редставление в виде тригонометрического ряда нли произведения (д=е и )*): 926 8 — 9 СПЯЦИА1!ЪНЫВ Ф9'НКЦИИ «=! ! ,„, со»(2п- 1)— 1 — д1« 1 10. — = — ~сф — — 4 спи я Г яи апи 2К ~ 2К Ла 369 (5) «=! Ла 369 (5) — 4,Я 1~,„, 81п(2и — 1) — . Ла369(б) «=! 1 «лв-! яи — 4 ~ ( — 1)",„, со»(2л — 1)— 2К Ла 369 (6) 12, —"," =й1 81П я Г яи, ъ-! д . «яы! — ~ с18 — — сдв — ~ .
2К ~ 82К в~ 1+дв К «=1 2К 1182К+4Л1+1 11» ' К ('. в=! 4яв -! 99« 1 . яи я« -о»1п(2п — 1) к «=1 14 ьп и Ла 369 (7) впидпи сп и Ла 369 (7) »виспа да и Л» 369(7) ~1д — »+4 "Я ( — 1)" д „81п — "~ . Ла369(8) в=! 17 спидпи ~ 91П— К 2К . яи с«1 дв . пяи 20. 1ажвив«1п — +1в»1а — — 4 ~; — — 81в9 —. я 2К Ь в1+дв 2К в=! Ла 369 (8) Ла 369 (2) я« 1 дв . ияи 21. 1в са и = 1а соа — — 4 'Я вЂ” в „»1пв —, «=1 Ла 369 (2) О 99«-1 22. 1вдпи«« — 8 "~~ 2 — „,в 11а(в9(2а-1) —. «=1 Ла 369 (2) 1 — 2»зв соа — + д!в яи К 23.
»аи== 81в — Ц 2)гд . яи т у'д 2К .И Ж 86 (145) 1 — 29 1с!я Я +д ! К 2ф й' 9' у яи П ! 1+2 в !'и+,,а~ К 24. свив« соа — П П Ж 86 (146) 18. = — ! сф — — 4 У ~ „»1а — "1. Ла369(8) »аидпи 2К ! 2К' 4 1+1 — 1)" дв К,З ' «=1 927 8.1 эллинтическин интнГРАлы и Функции иэ 1+2ййи-й ооо +ййл-й к п л 11 — 2ойи ' сов — +дол й И' Ж 86 (147) — — — 1 ~+И (2л+1)й с -) 2"О " (2"+') 2И, 288 2)со 4кй ) И' (1 — дий+й) 26. вп'и= У и=о ЙЬ вЂ”,," )<1 МО 147 лии Лсйл СО8— й яи К вЂ” Ж 2и' и-й И совесй —, + — —— 2К К Кй,~~ 1 Ойл и=1 ий 27. — =— вой и 4Кй ~~1ш —,~ ( — 1шт~ .
МО 148 8.147 и 1 1. впи= — ) ~ 81и — (и — (2л — 1) йк') МО 149 2. спи=в 81и — (и — (2л — 1) сК') МО 150 ( 1)и 3. 1)аи= и „Я 2К Сд —, [и — (2л-1) ск') 2И 8.148 Разложения Вейерштрасса для функций ваи, саи, даис В С В ва и = — са и =- — дп и =— А ' А ' МО 150 где Ь 1+ йгй+ 36(йй+йсо) 5781(йо+йо) 12184йо ийл ~=Х( — ')" - —,, л=о с =1, с =1+2йй, с =1+6й'+Зйо, с =1+12й'+60йо+32йо, с = 1+ 20йй+ 348йо+ 448йо+ 128й', со 1 + 30йй+ 2372йо+ 4600йо+ 2880)со+ 512йсо 1со = 1й О и=1 [ай=2йй, ай=8(йй+йо), ай=32(йй+йо)+68йо, а =128 (йй+йо)+ + 480 (йо+ йо), а = 512 (йй+ ййо) + 3008 (йо+ йо) + 5400!со ила~ 1 ( ) л(2л+1)1 и=о (', = 1, Ь, = 1+ й', Ь, = 1+. йо+ 4йй, Ь, = 1+ й'+ 9 (й'+. йо), Ь, = 1 -(- йй -)- 16 (йй -)- й') — 6йо Ьо = 1+ й'о + 25 (йй -)- йй) — 494 (йо+ й') в — в.
спвцилльныв ез нкции м~~ — е [Не=1, в~,=йв Нв=2йв+йв Нз=8йв+6йв ) йв Ыв 32йв+60йв+12йв+йв Н 128йв+ 448йв+ 348йв+ 20йв+ йте дв = 512й'+ 2880йв+ 4600й'+ 2372й'+ 30йве + йвв Ж 82 — 83(105, 106, 107) 8.15 Свойства эллиптических функций Якоби и функциональные соотношении мыкду ними 8.151 Периоды, нули, полюсы и вычеты эллиптических функций Якоби. См П1 630, Ж 69- 72 См В)630 3. Си19, Си18(13), УВП 344, УВП352, УВП352, УВП348 929 и с т 42 ~+ 7 х и с Л ! + Ф 1.ы ~+ ~+ ЛЕ 59 Гаьпииы интеерачев 2И с с о с Р 1о о Ф О 8 2 ЗННИНТИЛЛЕСКИЕ ИИТЕГРАНЫ И ФУНКНИИ 29 И ЛС л с 9' и Ф 1 -И + 8 153 Мо 146 Мо 146 Ио 146 ' Си 16(9) Сн 16 (9) 5.
4пви+йввпви=1. 1 — па2и в вависпви 1+да 2и йпв и Мо 146 Мо 146 2. 1 — сп 2и впв иваси 1+со 2и спв и Си 46 (56) Сн 46 (57) сп и сп о (- вп и вп о дп и па о 1 — йв вав и вав о С 46(58) 1. вп((и, й)=1~<„",";) . 1 2. са(пв, й) — ( „,) . 3. дп(йи, й)= ' „,) . 4. вп(и, й)=й ввп(йи, й в). 5. сп(и, й)=с(п(йи, й в).
6. ((п(и, й)=сп(йи, й в). 1 вп(и)' 1+ йв, й(1+йв) В) уЧ+йв Еа(и)l(+йв, й(1+йв)-'>в) 1 1 8. сп(и, (й)— са(и(1+йв)в, й(1+йв) в) йп(и (1+йв)ив, й(1+йв)-ив) ' 9. ((а (и, сй) = 1 Й~(~(1+й~)~~в, й(1+йв) ив) Функциональные соотношения 1=со 2и 1' во и 1+4 2 ° са 2и+ оа 2и 1+оп 2и 3 ви = оп 2и+йв сп 2и+й 1+па 2и 4. васи+оп'и=1. 8,.156 ва и сп о йп о ~ вп о сп и дп и 1. вп(и (- о)— еа и Еп о =)- й' вп и вп о са и сп о 4п(и -ь о)— 1 — йвыРивпво Си 50 (64) Сн 50(65) Сн 50 (65) в.г эллнптичнсннв ннтегРАлы и 'Ръ'нкции 8.157 и 1 /1 — йпи /1 — ив и 1.
вп — =,* — у = -~ у —. Х ' й У 1+сии У 1+йви' Си47(61), СЬ67($5) 2. сп — = ~ = ~ — — . Си48(62), Си67(16)~ 2 1+ива й йв и — еп и ' 8.158 и ! 1. — впи=спийпи. йи 2. — спи= — впиг(пи й йи 3. — бп и = — йввп и сп и. ии Си 21 (21р 1. — вп и = )/(1 — впви) (1 — ив впв и) . йи 2.,—,и сп и = — ')l(1 — спи и) ()с'з+ й'сп'и) . 3. — дп и= — г (1 — йРи) (йРи — й'в) . йи Си 21 (22у Интегралы (неопределенные) от эллиптических функций Якоби см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
