И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 87
Текст из файла (страница 87)
иг»13 8Л6 Функция Вейерштрасса (р(и). 8Л60 Эллинишчееиал функггия Вейерштриееа ф (и) определяется равенством где знак 2.' указывает на то, что суммирование распространяется на всю комбинации целых значений т и и, за исключением коыбппацвы юи=-н=0 а 2ю, и 2ю суть периоды функцив ~>(и). Очевидно, 2. 6>(и+2тю,+2ию )=9>(и) в 1ш(~') ~0, й 1 3. — „$и(и) = — 2 У„ где суммирование распространяется на все целые значения т и в. Ряды 8.160 1.
и 8Л60 3. сходятся повсюду, за исключением полюееи„ т. е. точек 2иио,+ 2ню, (т и п — целые числа). йв» 8Л59 Эллиптические функции Якоби являются решениями следующих диф- ференциальных уравнений: з-э спкциальныь эхнкции 4. Функция ()е(и) является периодической функцией 2-го порядка, имеющеи в параллелограмме периодов один полюс второй кратности Си 306 8.161 Функция Ес(и) удовлетворяет дифференциальному уравнению 1. ~ — йс (н) 1 =- 4авз (и) — дзйс (и) — дз, Си142, Си 310, УВ П 267 где 2. 4'з= 60 ~ ( .+пюз) 4' йв=140,Я„( -, '.) ' УВ П 268, Си310 Числа д и дз называютси пнваРваитами фУнкЦии 5" (и).
8Л62 и = ! 4зв — Гвз — зв 1 )» 4 (з — в,)(з — вв)(з — ев) Р (и) Р (и) где е„е, ез суть корни уравнения 4зз — дзз — йз=О, т е. е (-е )-е =О, е„е,+езе -(-езе,= — вв, еезез — — гз Си142, Си!43, Си144 8.163 (1»(сэ,) =е, (е(ю,+ ю,) = е, (е(юз) =е, пРи Этом пРелссоссагаессЯ, что если точки гс, е, ев лежат в комплексией плоскости на однои прямой, то ез лежит между е, и е 8 164 Число сз = д,' — 276,' называется дисврсьипнантои фуняс(исс (е(и). Если Л >О, то все корни е„е„сз уравнения 4зз — дзз — уз=О (д„я й»з— действительные числа) денс таит альпы В этом случае нумерж(ию чисел е„е,„ез производят так, чтобы е, > ез > ез 1 Еслв Ь>0, то е »сз юз= с !'з +г сос = Ыз )»'4зв в з, в где юс — действительное, а юз — чисто мнимое число; прв это1с значения всс корня под анаком интеграла выбираются так, чтобы юс и — были положительны Си150(15), Си 150(16), УВП 276и 2.
Если Л < О, то коРень е, УРавнениЯ 4гв — дзз — уз=О действителен, а остачьпые два (ез в е,) комплексные сопряженные Пусть аз=а-с-с)), вз=а — с!). В таком случае в качестве основных полупериодов удобно выбрать из и ю'= Г 4вв — С(сз — Ив вв Интегрирование в первом интеграле производится по пути, целиком лея,ащему з верхней полуплоскости, а во втором — по путя. целиком лежащечу в нижнеп полуплоскости. Сп )о1(22), Си151(21) 8.165 Представление в виде ряда: С, Ивиз Гвив извив Згвг»ив — и, т 4 5 + 4 7 + 2в 2 5' + 2, 5 7 (( + .'В П 268 933 З 1 Э1>ЛИНТИЧКСКИГ ИНТЕГРАЛЫ И еЗУНКЦИИ 8.166 Функциональные соотношения: 1. йз(и)=~с( — и), (зи'(и)= — ф'( — и). 8.167 (>е(и; дз, дз)=(ззь"- (ри; ~, зз ) (формула однородности).
Си 149(13) Частный случай: р = !. 9> (ц' бз йз) = 8> ((и) бз бз) 8.169 Связь с эллиптическими функциями Якоби. При /з > 0 (см. 8.164 1,) и спз (и; Й) 1. (з = е, + (е! — ез) ° )> е„— е,./ 3 звз (и. (е) !)аз (и; (з) =е,+(е,— е ) 1 = ез+(е,— ез), з(и Ь) ' Си 145 (5), Ж 120 (197 — 199) и Си 154 (29) К 2. е>з= — з о>з= = з у е! — ез р е„— ез где 3. )е= е„— ез „, /'е,— ез / —,/' е,— ез ' е ез — ез При (1 (0 (см. 8.1642.) К вЂ” зК' „К+!К' 5.
2)/ За'+()з Р' 9аз+ РЗ Си 145 (7) Си 147 (12) Си 153 (28) где 2 )/ . 2+ Зез Си 147 )/9,,з ( еез и два из них (если азиз ~ 0) При е>=0 все корни е„е„ез действительны равны между собои. Если е, == ее ~ е, то 7. йз(и) = — — —. ЕФЬ и зз/ Зиз 9зз /' / 9е З. 2аз (, 1/ 2Г../ Если е! ~ ез=ее, то 2 2 ззз 9зз 1 2ез 2зз Если уз=де=О, то е,=ез=е =0 и 1 9. йз(и)= —,. из ' Си 148 Си 140 Си 149 8.168 Любая эллиптическая функция может быть выражена через эллипти- ческую функцшо Ь" (и), из>е!ощую те >ко яориоды, что и данная функция, и ее производную Ц ' (и): выражение это рационально отиосительио ((> (и) и лпнеяио относительно 8Р (и),  — а спкциальныв Функции Си 181 (46) ЭЛ73 азиз 2з 3.5 2. а(и) — и Д~ за,д, " Юзи Си 181 (49) 2'5-7 9.11 г (( игь 2з 5.7 2з 3.5з.7 , иг ь э 2з.3.5.7 2г.3ь.5.7 ~г.Зь,5з,7.11 Си 181 (50) ОЭ вЂ” +,— ~ (с(д ( —,.
+ ~п — ) + Г ии зьз~1 + сЬл ~ — — «ья — ьз; 2вг ззз / ЗЛ74 Ъ (и) = — и+ — с(д 1 (вп вз 7ьзз МО 154 МО 155 3 (згь) и ии 2и из азы иаи = — и + — с18 — + — 7 з„азп — . в, 2вг 2в, вь ь-) 1 — азы в, и 1 Фукклиоиалънъ)е соотиошеиия и свойства 4(и) = — ъ( — и), а(и) = — а( — и). 8.175 ЗЛ76 2.
Си 181 (,(и+2в,) =~(и)+29(вз). Г (и + 2вз) = ~ (и) + 2ь" (вз). о (и+ 2в,) = — а (и) ехр (2 (и+ в,) 9 (в,)). о(и+ 2в,) = — а(и) ехр(2(и+в ) ~(в,)). в,~( ) — в,Б( )ьи —.1. Си 184 (57) Си 184 (57) Си 185 (60) Си 185 (60) Си 186 (62) ~ (и+ о) — а (и) — 1 (о) = — — „, 1 Р' (ы) — И' (и) а (и — и) а (и+и) аз (и) а' (и) ъ(и — о)+~(и+о) — 2~ (и) = Си 182 (53) Си 183 (54) Си 182 (51) ЗЛ7 Фузьации ~(зз) и о(и) 8.171 Определения: и 1. ъ(и) — — ~ (8г(г)- — з) дг. Си 181 (45) з з.
в-. г(~(~в — ')и). В.172 Представление в виде рядов и бесконечнътх произведений: 1 ы и йл ~.и — 2азв, — 2аоь, 2вв,+2авз (2аиз,+2авз)з ) ' Си 307 (8) ь ы ыз 2ьавг+2азгз ~ р 12гав,+2ав, 2(2ьивг+2ььвз)з) 1ех 1 Си 308 (9) 4 ! еллиптичвские инткгззлы и Фкнкпии 8Л78 1. Ь(и; 4з„ы ) =»Ь" (уи; зым йз ).
МО 154 2. о(и; ы„»зз)оог »а(еи; 4ю», газ). МО 156 Интегралы (неопределенные) от эллиптических функций Вейерштрасса см. 5.14. 8.18 — 8Л 9 Тэта-функ»»ви ЙЛ80 Тета-д)ункции определяются как суммы (при ! д ~ < 1) следующих рядов: Ю» !о 1. 04 (и)= '~ ( — 1)" до»ез" =1+2'~' ( — 1)" д"'сов 2ли. УВ П 300 о! ! ( 1)о,у( 2) е!2о+ы о!— ! о -оъ =2 'Я ( — 1)" д зш(2л — 1)и, з) о ! со 142 3. йз(и)= ~~ д(" 2! е»зо+»~о»=2 ~ д(" йу соз(2п — 1)и. УВ П 300 о — со о ! УВ П 300 4. 04 (и) = Х д"' ез""' = 1+ 2 ~~„"д"' соз 2ли. УВ 11 300 Употребительпы также обозначения б(и, у), 6(и) т), где т связано с д соотношением д = ем»», 8.18) Ьесконечные произведения для тэта-функций: »о 1.
64(и)оо Ц (1 — 2дз"-'соз2и+дз<2о — 4>)(1 — дз"). Си200(9)„Ж90(9) 2. йз(и) = 11 (1+2дз" — ' сов 2и+ да<то — 0)(1-дз"). Си 200(9), Ж 90(9) о 1 !о 3. Ф,(и)=2 у'даши Ц (1 — 2дз" соз2и+д»о)(1 — дзо) Си200(9), Ж 90(9) 4, 6 (и) = 2 р' д соз и 11 (1+ 2дзо соз 2и+ д»") (1 — !уз ) Си 200(9), Ж 90(9) Функциональные соотношения и свойства 8Л82 Ква знпериодичность Пусть д=ео»4(1шт) О); тогда тзтзфункции, являющиеся периодическими функциями от и, оказываются аеаэ44- периодичесзими функциями т и и. Это ях сзоаство зытекеет нз следующих равенств.
1. б»(и+я)=64(и). 2. 04 (и+ тя) = — — е — 24" 64 (4). 1 Ч е — з спвцилльныа етнкцив 5. 8. Четкость и вечетвостьс Ю,( — и)= — 0,(и) 0 ( — и)=0,(и) Юе( — и)=0,(и) 0 ( — и) =6,,(и). УВ П 301 УВ П 301 УВ Н 301 УВП 301 2. 3. 4. 8.185 04(и)+6;(и)=6~(и)+Ф;(и). УВ П 306 8 186 Рассматривав тэта-функции как функции двух независимых переменвых и и т, будем иметь: . дЧ~~(и~ т) 4 деа(и(т) л1 — + де' [й = 1, 2, 3, 4). УВ П 308 8.187 Частвые производные от тэта-функцив по и будем отмечать штрихом и будем рассматривать их как функции одного только аргумента и; тогда о;(о) =0,(о) 0,(о) 0,(о).
УВ П 308 О~" (О) О1 (О) О" (О) О1 (О) О;<О) О,(О) О,(О)+О,(О) 6 (и)Ю,(и)де(и)0,(и)= — 0,(2и)Ф (0)6 (0)О (0). УВ П 332 8.188 Ф (и+я) = — Ю (и). О, (и + ти) = — — е-з'" 0 (и). 1 1 Юе(и+ я) = — 6,(и). б (и+тя)=-е — з*'"6,(и). 1 1 бе (и+ я) = 0 (и). Ф (и 1- ти) =- — е-з'" Ф (и).
'(и+Ти) 0~ (и + 2 и) = Оа(и). Юе (и+ — к) = — О, (и). Ю, (и + — и ~ = О, (и). 1 1 Фе (и+ — ят) = щ "е — '"Ф,(и). 1 б, (и + — Ят) = 1д е е — '" ое (и). 2 1 О, (и+ — ит ) =Ч ее-""Ф,(и). 1 1 1 0 (и+ — ит) =о 'е — *"ое(и). 2 Си 200(10) Си 200 (10) Ск 200 (10) Си 200 (10) Си 200 (10) Си 200 (10) УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 8 — 9.
спвг(иАльныв Фвнвции 2. ~(и)= 1' +)/Ъ ЕЕ (и (/ Л ) Си 234 (73) Си 234 (72) 3. и (и) = = ехр ( — ' 1 г~!(!и~ ~ Н (и $/ Л ) 1/Л ~ 2е, ) и' (О) Где Л=е,-е; 1( = ~((а)= — — —, ееЛ О" (О) ! — ! а Си 236 Си 228 (65) аъ 8.195 . л ~1+2 2', ((""] =.6( = — Ва(И) (сравни 8.1971.). Си 219 ОЪ а Х ( — 1)а 1азеа е* о . Х = еь — М? — = Яà —— е (О) и 1+2 Х ( — 1)ае а=! Си 230 (67) 1+2 ~ д»*= ~~2„"=6,(0) (сравни 8.195). УВ 11 319 и ! УВП 319 О> 3. 4 )/ д 11 (, + .„,-, ) = Е(- Си 206 (17), Си 206 (18) 4.
П(', ';,".-:)'=Л' У(~ П(1 — а ') ) л ' й ( — '')а=2 '"'-"' а ! Си206(19), Си206(20) УВ П 330 УВ П 330 и 8.194 Свяаь е эллиптичеснвми интегралами: 1. Е(и, й)=и — и +— й" (О) 9' (и) Е(О1 Н Е(и) а 2. П (и, — Еехаш*.а, Е!) = йр 1 — йи а(в! и ав! Н ЯГ ~ д-ряды н проиаведения ~д=ехр( — л — )] К,Е' 6 2 интРГРАльнАЯ покАЗАтельнАЯ Фтнкция и Родстввн. ей Фтнкции 939 8Л98 СО ъ (2сс+1) л 1+2 ~~ о~"' [ при 0 < й < 1 имеем 0 < Х < —, ~ . УВН327 УВ 11 327 8.2 ИНТЕГРАЛЬНАЯ НО1(АЗАТЕЛЬНАЯ ФУНН11ИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ 8.21 Интегральная показательная ф)вкция Е1(ж) 8.211 [х ) 0); НИ 11(1) =6'+е — х1вх+ ~ е-1)в1(12 О [ >О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
