И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 79
Текст из файла (страница 79)
ИП П 281(8), М098и, ВТФ1 177(17) 7.314 1 ~ (1 - х) (1 + х) 1Сд(х)1 !(х = А( „ ( ) Г (2 ) [Кем > — „~ . ИПП 281(9) 7.312 В нижеследующих интегралах 2 принадле!кит коиплекснов плоскости с раарезом вдоль интервала действителы!о!1 оси от — 1 до 1. ! 1 1. ~ х (2 — х) '(1 — Х2) С" (х) !(х= — 1 842 6 — 7 ОДРеделенные интеРРвлы ет снениильных ФУннций ! зр 2 [Г(2ч+ в))! Г ( 2в-+ч -!- — ) 2. ~ (1-х) (1+х)зч ' (С„(х))здх— -1 !и!)~ Г (2ч) Г (Зч+2и+ — ) (йе ч > О]. ИП П 282 (10) 1 з р 3.
~ (1 — х) "" '(1+х)" 8[С"„(х))здк= -1 ( Г( + — )1 Г( +2И+2)Г(2 +2и)Г(2ч+2и — 1) 2 + " ~ в! Г (ч+и+ —,) Г (2ч) ] Г (2ч+.2и + — ) ( йеч > — ( . ИП 11 282(11) ! 1 8 4 ~ (1 — х) 8(1-(-х) 'Сч (х)С'„'(х)Цх= -1 т 22 8 — +"ЛЗГ (2ч+и) ( — 1) + х т! (и — т)! (Г (ч))р Г ! — +и+ т) (2 Г (.
— —,,'+ —.) Г (-2 . + т .) г ( 1 — — в) г ( ! +т — и) ( йе ч > — 2 ! л >л7.3 ' ИП 11282(13) и 1 5 ~ (1 — х)зч 1(1+ х) 'С'„(х) С'(х) 1(х = -1 1 г 2 Г ( ч + —, ) Г (2ч+ т) Г (2ч + и! 1 Х тЫг(г )г(— Г(.+ —.+-+в) Г(- — +.— ) 2 ~ ( 2 Х 1 1 Г (ч + — +и — т) Г (ЗЧ + 2-+ т+и) (йе ч > О). ИП П 282 (14) 1 1 + з 6.
~ (1 — х) (1+х) С' (х)С~(х)дхвр — 1 21ч+ +" 1 ~ Г ( ч -(- — ) Г (2ч -)- т -!- в! ~ 1 ~ 1 Х Г ( ч+т+ — ) Г ( ч-!-и+ — ) Г (2ч+т! 1 ') 11 2 Г ( ч-!-из+.в+ — ) Г Ъч+т+п — ! 2) Г (Еч+и) Г (4ч+2т+2в) ~йеч > ~ 1 . ИПП282(15) 844 о — 1. опгвдвлвнныв ннтвггзлы от спвцнлльных егнкцв11 7.319 )а-1 з-1Сь ( 3) ~ ( 1)а Г (1+а) Г ((з) !' (т) Г ( Х ) Г а + ) Х Х згз( и, и+А, т, 2, )1+т, 7 з~ [Ве р > О, Ве ч > О]. 1 1 2. ~ (1 — х)" ~хм ~С~за+1(ух ) Ых= о ИП П 191 (41) и ( — 1)а 2уГ((з) Г (Х+и+1) Г ( з+ — ) и! Г (1) Г ( !з+з+ ) з )с зР ( — и, и -(- Х -)- 1, м -(- —; — „(з + т+ —; уз ) '[Кер >О, Кем > — —,1.
ИП П 191(42) 7.32 Многочлены С„"(х) в другие алемензарные функции 1 ! 7»321 ~ (1 — хз) ' езахСаа (х) 1(х -1 п2 ~ьа Г(2м+я) а! Г (з) ~+" ' ~Вез~ > — — ~ . за 1 [х(2а — х)] Са [ — — 1) е-з" 8х = ИПП281(7), М099и л! Г (з) [Кем> — — 1. ИВ)171(9) 2. Са (1 о с зР гоа 1Р' + а(д зР а1д 1Р' сов 1Р) (в(в !Р)з" ЙР = =2з -1 и! [Г (м)]з С„'(сов зР) С",, (сое зР) [Г (2ъ + и)] ' [Вот > О].
ВТФ1177(20) 7.323 1. ~ С'(соз1р)(о!дар)зао(1р=0 [п=1, 2, 3, ...]; о = 2 — за яГ (2з+ 1) [Г (1+ е)] з [п = О]. ВТФ1177(18) 845 7.3 — 7 ! ОРТОГОНА77ЬНЫК ИНОГОЧЛКНЫ 7.324 ! ! 1. ~ (1 — х ) С»2»+! (х) 31нах4(х= е Г(2л+Зм+$) У2„+„+! (а) ( 1)пи ( +!)(Г(п)(2»)" ! Вем> — —., а>01. ИП194(4) м 2 2 ) (1 — ха) С2»п (х) сов ах а(х = а ( — 1)" и Г (2л+ 2м) Х„+2» (а) ( )!Г(т)( )' ) Вем> — —,, а>0) ИП 1 38 (3) и 7.33 Многочлены С (в") и цилиндрические функции. Интегрирование по индексу функций Ге>енбауэра 7.331 = ( — 1)» 22»-»+2 у-»+3» Г (2К вЂ” 2И вЂ” 1) )( х ((2л + 1)! Г (м - 2и — 1)) ' в( ц у ~ у > О, 2и+ — < Ве т < 2и+ — 1 . ИП П 44(11) и 7,332 ОЭ ! 3 ! ! ~ х"+7(х +()3) С2+" (( +р ) Я)( о ХУ 3 ((Ха+()2)2 а)У (Ху)ЫХ»п и+ — +2» ! ! ! ! ! =( — 1)» 2 2 д 2 а в у" (ав — ув) 2 31п 1)1(аа — уа) 2] Х ХС'+ 2 ~(1 — $Ц (О < у < а1; (а<у< со) ИПП39(23) =0 (а >О, Вер > О, Век> — Ц.
и ! и-'и- — 2» . ! ~ Хв"+ — (Х вЂ” 1) Свп " ( — ) Ую (Ху) 71Х = 1 =( — 1)» 22" "'+' у-»+2»-! 1(2и)() ! Г(2т — 2и) [Г(т — 2и)( !сову ~у > О, 2и — —, < Вет < 2и+ — ~ . И111144(10)и сп 3 2 ~ хап — "+2(х! — 1) Свп+! ~ -) Уп(ху)с(х»п 346 с — н онгидилинныи интнг«««лы от снкцивльных с«внкции 1 МУ ! [(х'+(Р)ва]У,(ху)«(х= В +чч 1 1 ! 1 =( — 1)" 2 и а уч (ав — ув) сов [() (а1 — у')~] Х 1 1 хс,„' ~(1 — "',Д [О< у< а]; =О [а<у<о ] [а > «), Ке [1 > О, Ве ч > — 1]. ИП П 59 (24) 7.333 Л 1 (вш х)ч+' сов (а сов 6 сов х) С„(сов х)Уч (а вш О вш х) с(х = в 1 = (-1) [ — ~ (в«ив)чС„(соз6)У (а) ч+ -+а =О [и=О, 2,4,...]; [п=1, 3, 5,...] [Ве ч > — 1].
В 414 (2) и Я ,1 ч+'- 2. (вшх) '+' в(п (а сов б сов х) С в(созх)у„(аз!об в!их)«1х = =О [п=О, 2, 4, ...] ч-1 « 1 й /2п "в . ч+в = ( — 1) ( — ] (в!иб)чСв (сов9)У (а) [п=1, 3, 5, .„] 1 [Кеч > — 1]. В414(3)и '««ч (и) 2. (в1н х)вчСч (сов х) ч «1ж = ач кГ(2ч ««О Хч«. (М «««„+ ((«) 2ч и! Г (ч) ач («ч 1 е« = (а~+ р1 — 2а]1 сов х) ~ [ а ( < ) ф ~, Ке ч > — — [ ИП П 362(3О) Ю з 2.
~ х"+! (х'+~««) ' 'Свч ' [[)(х'+[Р) '] х о 7.334 У (ч«) 1. ~ (в(и х)зч Сч(соз х) ч «)х = а яГ (2ч+ «1) «ч.«-ч (а) 2ч «««! Г(ч) ач 1 в« = (ав х р' — 2сф сов х)в [ п = О, 1, 2, "«ч+а Ф) Вч !1 э Веч > — —,1 . 2 ИП П 362(29) т з-тл огтогонлльнын многочлвны Интегрирование по индексу функций Гегенбауэра ~ весЬ (лх)(ч — -+ !х ~К ! (а)Т, (о)С !+ ( — соа <р)!гх= т- +ы ч--,+!х 2 з г 2 "+! (вЬ)~ Г (т) 7.336 о! ]~ аг+ 5г — 2аб сов !р ВТФ П 55(45) 7.34 Многочлены Чебышева и отененная функция ! [7„(х)]тих = 1 — (4п' — 1) '. ! ! гг„[х (1 — у')г (1 — гг)г -(- уг] с(х = -! ИП 11 271 (6) 7.
341 7.342 + У„(у) У„(г) [[у[< 1, (г[< 1]. ИП П 275(34) 7.343 Т„(х) Т (х) = 0 -! [т чь и]; [и = и чь 0]; [т = и = О]. МО 104 ~ у~ — 'Уи„(х)и (х) х=Ю [и Ф и или и! =п=О]; ИП П 274 (28) — [и = и Ф 0]. 2 ИП П 274 (27), МО 105 и 7.344 ! ! 1. ~ (у — х) '(1 — уг) Т„(у)ду=лП„,(х) — ! [п=1, 2...,]. ВТФ П 187 (47) 2. ~ (у — х) '(1 — у') У„!(у)Ыу= — лТ„(х) -! [п=1, 2, . ВТФ П 187 (48) 7.335 ~ [э!н(ал)] ! !аСа(г) На — 2! (1+2гг -(-!г)-ч е-Фоо [ — 2 < Кем < с < О, ~ аги(г -!- 1) ~ < л].
ВТФ(178(25) 6 — 1. ОНРадалВнныж инРНГРАлы Ож спВцй!(льных Фуницнй 7.345 (т+ и Ф О). ИП И 272(11) ! ! з 3. ~ (1 — х)х(1+ х) в (С (х) Ув(х) с)х= в (2!в+ 2в+ 2)1 2 +' (2 +(и (2в-С-!)! ' ИП П 274 (31) )П( П 274 (ЗО) 1 1 4. ~ (1 — х)'(1-(-х) '(У (х) У„(х)с(х=О (т > и). ! 1 5 ~ (1 — х)(1+ х)хУ (х)У (х)с)х= -1 2~(в!+1) (в+ !) т+в+ — ) (!в+в+ — ) 11 — 4(вс — а)!) 2)~ 2) 1 .! ~ (1+х) в(1 — х)" ' Т (х)Т„(х)с(х= -1 ИП П 274(29) 1 1 а-— 1~ вв 2 Г (а) Г(в — а+ — ) .г Г(2а)Г(а+в+23 1 1 ! х,Р ( — т,т,а, а+ —; —, а+и+ —,, а — вФ вЂ”,; 1) (йеа > о).
ИП П 272(12) ! ~ (1+ х)2 (1 — х) ' У,„(х) У„(х) с(х ! ! в —— З~ л22 (!в+1)(в+1)Г(в)Г(в — а+-в ) Г(~ )Г(2+а+ ) 1 2 2 х с!вы(-т, т-(-2, а, а- —; —,, а+и-)- —, а — и — —; 1) (Ве а > О). ИИ И 275 (32) ( и Тв (х) „,,—, —,, 1 — в',2вВ( — + —, + —.. — + —. '1, 2 2 2 2 2 2 / [Вв г > 0). ИП1 324(2) 1 ! 3 1 ~ (1-х) 2(1+х) ХТ (х)Т„(х)Их=*0 (т > и). ИПИ272(10) 1 ! с 2. ~ (1 — х) 2(1+х) ссТ (х)Т„(х)с)х= — 1 849 1.Ъ вЂ” 1.1 ОРТОГОНАЛЫ1ЫЕ ННОГО'!ЛЕНЫ 7.347 [[е) ( 1). ИП П 275(33) 7.349 7.35 Многечлены Чебышена и другие элементарные функции ! Еа ! 1 1 ~ х 1(1 — х') ее "Т (х)дх=юдй ! (2а1)й ! (2ао) о е 1 [Ве й > О).
ИП П 272 (13) 7.351 7.352 хУ„[а(а~+хе) 3 1 а " 2 и-в ~ (хи 1 а+1 1 ( ) ! и+! 2и („ ' (ав+хе)в (ели+1) [Веа > О). ИП П 275(39) хУи [а(а*+хе) ~[ 1 1 ~( — + —, в-1-! (а!+хе) (е — 1) и-И-1 а) — — — —, 4 2а [Ве а > О). ИП П 276 (40) СО 1 1 ~ (ав+ х') е эесЬ( ~ лх) Т„[а(ах+хи) в) дх о = 2' '" [ Г (и, ' —, ) — Г (а, "— + ) [ = 21- и(11 ( 1 а+ [Веа > О). СО 1 1 ~ (ае+ Хв) Е ~ЕЬ ( —. ЛХ) ~ Т„[а (ее+ Хе) 1~ 1(Ххи о =л 'и2' ие (и+ 1, а ) [Веа 0). ИП П 273(19) ИГ! П 273(20) 54 тяелиа!е мгмгоалов ~ (1 — х)а(1+х)вт„(х) ахгх -! [Ве а > — 1, Ве[) > — 1).
ИП П 271(2) ! в 2а-РВ Раи-РЕ Ва.+11((в Г (а-(-1! Г ((1+1) (1 — х)" (1+х) П„(х) гех (2 +2)(Г( +9+2) Х вЂ” 1 х вРв( — и, и+1, а+1; —,, а-(-[1+2; 1). ИП П 273(22) ! ! ~ (1 — х') Гав„(хг)е(х = НР„(2хв — 1) 1 (1 — хе) 'е Т„(1 — хву) с(х = — н [Р„(1 — р) -(- Р„, (1 — 11)]. ИП П 272 (14) Л вЂ” 1 ОПРВДНЛЖННЫВ ИНУИРРАЛЫ ОТ СПНЦИЛЛЬНЫХ ФУННДНИ 1 1 1 $ а(п(хув) [(1 — хл)3(1 — ув)2в)Т „( ) Ь 1 =(-1)"НТ .1(у) ( .1(в).
! 1 1 в(н(хув) в(н [(1 — хв)У(1 — у1)ух) Н „. (х) 1(х ИП П 271 (4) (- 1)"я(1 — ув)в 0,1 (у) 7 (в). 1 3 1 ~ сов (хув) сов [(1 — х*)в (1 — ув)У в) Т „(х) (1х = ( — 1)"НТ,„(у) г, (в). 1 ~ сов (хув) в(н [(1 — х )у (1 — ул) у з) Н „(х) г(х *= -1 ! (- 1)"н(1 — у')3 Н (у) 7 ., (в), ИП П 274(25) ИП И 271(5) ИП П 274(24) Тв»,1(х) в1нах =(- 1)" — 2 уе, (а) [а > О).
2 Т,л(х)сдвах =( — 1)" н.)е,(а) [а >01. ИП 194(3) и ИП138(2) и 7.36 Многочлены Чебышева и циливдричеекне функции »Э 1 (хл — 1) г Т„( — ) Кгл (ах) 11х = — )у1 (а) И~ 1 (а) 1 з» л — 7».л [Кеа > О). ИП П 366(17)и 7.37 — 7.38 Полиномы Эрмита ~ Н»(у)1(у»»[2(и+ 1)1 '[Н„.,(х) — Н» 1(0)]. в ВТФ П 194(27) 1 ( — 1) и (гл)) Г ~а+ — ) К (») (1-ю') УН ()' '() (( Г (»+а+1) [ Кеа > — ~ ~ . ВТФ П 195 (34) 1 у (1 — ) УТ (х).~„(ху) 6х= 1 1СУ, ~ 1 у).У1 ~ 1 у) г' 3 ~ ы [у > О„Ке У > — п — 1). ИП П 42(1) 853 7 3 — 7 4 агтогонлсьныв мнагачлнны СО 1 хе-"'Н„„, (ху) е(х= яу ( + у(уе — 1)'~. ы 1 х "е — *'Н„(ху) дх яУ п~.Р (у) — СО ВГФ П 195 (28) ВТФ П 195 (29) а — т )ч е*Н ( .)е( 2~ — о-о У ~ ~ ~ ( + ! > О), ИП 11288(3) 7.382 х '(хе+ее) |е 'оН „,(х)Ых= м( 2) (Я)ла '(2"и! — (2п+1)!еУ 17 е (а )/ 2)1.
ИП 11288(4) и 7.383 ф\ 1 1 ~ е *"Но,1 (ф' х ) Нх = ( - 1)"2" (2п + 1) Ч я (р - 1)" р о [Кер> Я) ЭД151(26()и, ИП1172(12)и ! ОЭ ~ е — е-Ю Н „, ()Г(а — р)х)е1х= ( — 1)" ~l я Ь'о — р ( + ) (ь — р) (Ве(Ь-(1) > 01 ИП1172(15)и ОЭ вЂ” — *и С'(.-в*)~ =<-с"ч' '~' — "', у- еа (Ь вЂ” Р) (Ве(Ь вЂ” ф) > О). ИП1 172(16) и ОЪ 9 х у е ~"Н„('ЬЯе(х=2 Г(а)Ь 'оР,(- 2 и, — — —:, 1 — а; Ь) о Р 1 ! х ее ееН „Ц/ х) Их = ( — 1)"2 (2Я вЂ” 1)П яУ(р- 1)"р о М0177и о о Вес > — и, если и четное; Ива > — и — —, если и нечетное. 2 2 ' 1 ВеЬ > О Если а целое, то в ряде для,р сохраняются людь первые 1+Е( — „Я членов1 .
ИП 1172(14)и б — 1. ОПРЕДВЛЕННЫВ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУННЦИЙ ~ — '- "( .(~~)+"-( — '«))"- -у ~Ьь-ь-ь-'Ь)о„( ' ) ььь ь>Ы. ИП 1 173 (17) и ." н.ь«.ьь '-Я 1. г. ИП П 289(7)и Ий П 288 (5) и ььь 2. е-*'вш (~ 2 рх) Н,! (ах) 1)х = 1 1 1 =( — 1)"2 1ив(ае — 1) ве 1 Н „„( ~ ! ') . ИП П 290(18)и ~ф2 (ае — 1)в ь аь 1 1 е- ' сов ()/ 2 ))х) Н „(х) 1)х = ( — 1)"2" 1лвр'"е а ° ьь 1 Т е-"' сов(ф«2 ()х) Н (ах) 11х= 2 ьле (1 — а*)"е 1 Н,„~ ~ 'Уй (е — !) ИП 11 290 (19) и ИП П 289 (8) и (2 ))г(ь+ — '~ Г (а+Ь+1) ГВв Ь > — 2 ~ .
ИП 1174(23)и -ь Н ~ "1 - ~ ) ьь21„)« — в <вьь+!)! г!ь> + з 2 (Ке Ь > О). ИП1174(24)и ьь+1 ЕВ 1 ьь-1 х в е ~Н ь' ~)е Р*дх 2"пер в е-1 "Р. ~23/ж/ ьо 11 1 е-ьье в)ь ()/ 2 ~х) НФ„(х) ь)х = 2 Ъвреьь'1ев ьо 1 1 е-ее)ь()«2()х) Н1„(х) 1)х = 2" !пере"ев ььэ е-еьв)л(3/ 2()х)Н .1(х)дх=(-1)"2 !пере"*1е 1.3 — 7.4 ОРХОГОНАЛЬНЫЕ Е1НОРОЧЛННЫ а 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
