И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 78
Текст из файла (страница 78)
ч! 1Р 1 !! гч ч)Р ~ ь 1~- ч)у ( ч!и*= „.,( ) „,;(й) "'(' -'+ )'(~-"- ) (Кеа>0, У)О, — — <йе)а< — 4~. ИПП45(8) 7.188 ,ч !- у" ее аа 1. ~ х(а +ха) Р,,"! ~ ) ач(ху)еЬ= Г + а ~ йеа ) О, у > О, Кем > — 1, йе» > ИП П 45 (4) ее ! е аГ( — ч) ~ 2(2) 1 [Кеа > О, — 1 < йем < О, у> 0). ИПП45(5) О> ! — — ч 3 ~ х!-ч(ха+а!) Рч !( )Уч(ху)йх= о 2а )/Р+а! (2а) у" еч (ау) 1 (ау) (йе а > О, У > О, 0 < Ке т < 11 ИП П 45 (6) 83( 7.! 7.2 ШАРОВЫК ФУНКЦИИ .е;~(сс.~)с„1,!ю-о — 2 < Ке)2 < О, — 2 +Нор < Кеч < — 2 — Ке)7~. ИП П 366(18) 1 с =л 22» !сов(ря)Г(р+ ч+ — ) Г()2 — ч-)- — )И7, 1 (2а) 2 '7 ( ~ аг8 а ( < эа, Ке р > ~ Ке ч+ — ~ ) .
ИИ П 373 (11) сс 1 ! 4 ~ х ~ (х+а) е кр» ! (:) К„(а+х) !(х= о 2 = $/ — а г Г(р, 2а) (а > О, Кер < Ц. ИП П 374(12) ссс г — 2!А —— 5 ~ (вЬх)"+' (сЬх) Р„» с(сЬ(2х)]1 (а весЬ х) с(х о 2 ! » —— М 1 (а)М ! (а) '2 'Г(» — >Г(, +у+1) г "+ М, М 'е 2(Г(»+1))2 (Ке)! > Кем, Ке)7 > -Кеч — Ц. ИП П 378(44) 7.19 Шаровые функции и функции, родсткснныс цилиндрическим 7Л91 ссс 1 1 е+ ~ хг (хг — аг), Р» (2хга г — 1) (Н~ (х) — Ф„(х)) !1х = сс ! =2 игасовес(рж)сов(чя) ) Г7!с (2 а)1 — ( 7 Яа) ) 1 [ — 1 < Ке р < О, Ке ч < — ). ИП П 384(6) 2 ~с*с- ! 'Р (с '- — )с„1*)с*- 2» 1Г (»-(-ч-( — ) Г (» — ч — ) ее 77'1 1 (2а) г 'г — — ».
-+ сс кг Г (2»+ч+ 1) Г (2(ь — ч] Г)вгба(<л' Ке(2>~Кеч+ Й' ИПП367(ГО) в $ ис, (сс.'— .')е„! с-,!с*= 7 ! — 7 2 ШАРОВЫЕ ФЪ'НКЦИН 7.21 Интегрирование широких фуик1шй но индексу 7.211 ~ Р !(совО)!ахал —,соево( —.О) 2 ОО Р„(сов О) е(х = совес ( — 0) ОО ! х !$Ь(нх)Р ! (с)аа)!(хОО2е 2 Ще ) 2 [О < О < я). ИП П 329 (19) ИП П 329(20) [0<0< и) 7.212 [а >01. ИППЗЗО(22) (сн Ь)7(х=0 1(с)7Ь), [Кв > 0$. ИППЗ87(23) 2 ОЭ ~ вЬ(~)сшО~)Р, (Ь)8,= о -ав [а >О, (Ь! < Ц.
ИП142(27) 7.2ГЗ 7. 214 ОО ~ сов(Ьх) Р" 1 (с)аа)!12=0 ' [0< а < Ь); 2 2 ~/ —, (в)! а) й [О < Ь < а). ИП П 330 (21) /1 х »+2 Г ( — — )!) (О)7 а — с)7 Ь) ОЭ 1 сов(Ьх) Г(р+!х) Г(р — !х)Р 1 (сйа)17хОО 7.215 7. 216 1 » 2 —" Г(») (аеа) [а > О, Ь > О, Ке в > 01. ИП П ЗЗО(24) (е)! а+с(7 Ы» 7.217 2 (аа)2 ХЕл' 11! (яХ) Р 1 ( — СОВ 0) Н(~!(Ьа) 77" 2!(ЬЬ) !(Х= — ) Š— '""; е $2~ 1 % й = (а'+ Ь* — 2аЬ сов Ч) [а > О, Ь > О, 0 < 0 < ж, 1ш й < 01. ИП П 381(17) $2 таеллам латегеалеа О $ (т- —., +(х) Г( — — !х) Г [ 2 — — + !х) Х ОО ! хР„+1 !(соей)1 1 (а)К, (Ы!й ! ! = [/Зи(в!ВО) ( — ) КО(ев); е (а*+Ь*+2аЬсовО) . ИП П 383(26) 7.! — !.г !егеовыь Фъ нкции УВП 102 УВП 129 УВП131 7.224 [г ирииадле!кит комилекской алоскости с раарезом вдоль иитервала от — $ до +1].
(г -х) г Р„(х) !(х= 2(?„(г). ' -! ! ~ х(г — х) гРг(х)а(х=2Д (г). -! ИП П 277 (7) ИП П 277 (8) ИПП 277(9) ~т ~и]. ИП П 277(10) и [и! <и]. ИП П 278(18) и ИП П 278(19) [и! < и]. ИП П 278(21) ИП 11 278 (20) ВТФ П 187 (43) 4 5 6 7 8 $ (1-хг)"Р (х) (*=, „'"' „$ (1- )"- Р (х) Ц -! -! [и! ( и]. ~хР хР хг(х= п(а+1) (х) — (х)"х= (2 — !)(а +Пи +з! е х 'г(г — х) гР (х)дх=2г"'ф(~ (г)— та.! (и !)! и Я ф!!+ В! — 1 х (г — х) гР„(х)с(х=2г Д„(г) ! ~ (г-х) 'Рю(х)Р„(х)сЬ 2Р,„(г)0„(г) -! ] ( — ) ' Р„(х) Р„„(~) й= 2Р„„( ) О„( ) — —.
-! ! ~ х (г — х) ! Р (х) Р„(х) гЬ = 2гР (г) ()„(г) -! ! (г ) [Рп (х)1 ~ 2гР (г) 0 ( ) -! .с ! ! $,(х — г) Р„(г) сИ = (и -(- —, ! ($ + х) [Т„(х)+ Т„,, (х)]. -! ! ! ! !( (г — х) гР (!) сй=(п+ —.) (1 — х) [Т„(х) — Т„,,(х)]. ВТФ П 187 (44) 53" е — а опеядклвннык инткггллы от спяцнлльных екннцин 1. ~ (1 — 21) Р1 (х) 1(х= ~ ИП П 27(1(4) 2.
~ х(1 — хи) Р,!(х) с(х —,, ИП П 276(5) — ! ! 2 ! ~ (1-(- рхк) Р (х) 1(х = ( — р) (1-(- р) — ! [] р ] < 1]. МО 71 ! ! 1 х (а! -1- хи) Р„(1 — 2х~) дх =, „+ е [Ве а > О]. ИП П 278 (23) 7.227 7.23 Полнпомы Лея!андра н степенная функция ( — 1)тГ( т — —,Х) Г ( — + —,Х) х"Р „(х) !(х— е 2)(,22) ) ) [ВеХ > — 1].
ВТФП 183(51) ( — 1)™ Г (т+ —,— — а) Г ( 1+ —,Х) 2 2 ) ( 2 ) :Р„„,(.)Ь= 2Г ( — — — Х) Г (т-+2+ — Х) [Ве) > — 2]. ВТФП 183(52) 1 1. ~ (1 — х)а 1Р (х) Р„(х1йх= 1 2"Г (а) Г (и — и+1) ра( — т, т+1 а. п: ( в+я+1, п — я; 1) [Ве а > 1)]. ИП П 276 (17) 1 1 22 (1 х) ! и (х) 1~~ -1 4. ~ (сЫ 2р — х) Р„(х) 1(х = + ехр [ — (2п+ 1) р] [р > О]! УВ П 96 2 Р"2 -! 7 ! — 7 2 1ИАРОЕК!К ФУНКЦИИ г( ь Ро( "' 1+" а 1 а+Ь 1) [Ква >О, КеЬ> 0]. о [Ке/4 > 0]. ИП П 276 (6) ИП 1Т 190(37) и Г (/!) Г (ъ ) Г(/в+а) а о ( ' + [Ке /! > О, Ве У > 0]. 1 ( — ()" (Г М/а 2Г (/!+и) Г О! и) о [Ве /1 > 0]. ', 1, /+',— 2т) 1 ИП Н 190(38) 7.233 ИП П 278 (22) 7.24. Полииоиы Леекавдра и другие элемеигарные функцан ~ Ра (1- х) е !Тх = е — а" ~ — — ~ ( — ); =а" (1+Я) (-~.
) [Кеа > О]. 7.241 ИП 1 171 (2) 4О ~ Р е-*е- Их— Р „, „ / (а- $) (а — 2) ... (а — и+1] (а+и) (а+и — 2) ... (а — и+2) о [77>2, Кеа > 0]. ИП1171 (3) ОЪ Р (сй х) е — е/х— (аа — (!) (ао — 2') ... (а* — (2и — 1)а) а (а — 2!) (а! — 4!) ... /а! — (2и)а/ [Веа > 2н].
ИП1171(6) и Р~ ~! (с)!х) е — е/х о а (аа — 2а) (аа — 47) ... /а! — (2и)*) (а! — П(а! — За) ... /аа — (2и+$)а) СО Р „(сов х) е !Тх— (а!+!!) (а!+2!) ... /аа+(2и — ()!) а (а!+27) (а!+4!) ... /аа+(2и)а( [Веа > 0]. ИП 1 171 (4) 2 1 (1-х) '(1+х) ' Р„(х) Тх= — ! ~ (1 — х)" ' х" ' Р„(1 — (!х) 1Хх = о [Ква >2н+ 1]. ИП1171(7) в — 1. ОИРеделенные интиГРАлы От спкнивльных а!униции а (а" +22) (а*+ АО , (а" +(2в)2) виР'( ) (а!+1")(а!+3*) ... (а"-)-(2в+()а( [Веа > 0].
ИП 1 171 (5) Р2 <.1(совО)совО!В= —,,>( ) ( ). МО 70, ВТФ П 183 (50) в Р (совО)вши91(О = 2(в — !в+1)(в — !в+3) ... (в+и! — () (и — ю) (в — ив-+2) ... (и+и!) [и > т, и+ 1и нечетно]; *=0 [и<и! или и+т четно], МО 71 Р„(1-2ВШ2ХВ(И~О) ВШХИХаа (2в+1) ып В ! Р, (х)в!пах==( — 1)™ $/ —.1 з(у) 2 МО 11 [а > 0]. ИП 194(1) 1 1 1 (а*+ Ьа — 2аЬх) вш [Ь (а'+ Ь' — 2аЬх)2]Р (х) 1(х = 1 =я(аЬ) 2./ 1(а)!)7 1(ЬА) в+- а+- [а >О, Ь >О]. 1 1 1 ~ ' (ав+ Ьв — 2аЬх) и сов [). (а! (- Ьа — 2аЬх)2] Р„(х) !1х = — ! ИП П 277 (11) = я (аЬ) У ! (а)!)Х 1(ЬХ) [Оа,а< 6]. ИП П 277 (12) Р (1-2х')в(пах!(х= — " '[У 1(-)1 2 Р„(1 — 2ха)совах!(х= —.(-1)" l 1®У ! ® [а > О].
ИП 1 38 (1) 1 ! — ао шАРОБыа о!Рннции Р„(х) атсвцох !1х = 0 -! (и — четное); я ! (и - нечетное]. УВ П 129 (а — 2)О 2 "сж 7.25 Полииомы Лежандра и цилиндрические функции ( 2х) (*У) У ( . (У)+ ° (У)] о (и = О, 1, ...; у > О, о > 0]. ИП 11 108 (1) хР (1 — 2х') Ко(ху)ах=у '] ( — 1)"'К,„.!(У),+ —,' 8... (1У) ] (у > 0]. ИП П 134(1) Р„(1 — 2хо)А,(ху)д =у !У .,(у) 2 хРп (1 — 2х~) (уо (ах)]» ах = 2 „+ Цу„(а)] + [Уо,! (а)]о).
(у > О]. ИП П 13 (1) ИП П 338 (39) и ~ хР (1 — 2то) У„1ах)Мо(ат) !?х= о 1 =2Р„+1 Р (аФ (а)+~„.,(а)Л'„„(а)]. ИП 11 339 (48) и — а~оР (у)) !у > О] хо — ! Р„(2хо — 1)1 (ах)с)х= 2 ~ ~о" ~Г( — )!+ — ъ~)~ /1 1 Г 1м+1) Г~ —,)!+ . м~- а~-1 ) Г ~ — + —,м — а) 1.2 2 ,l ~2 2 ~ )В+о )!+и )!+о )в+о ао'~ )! Р ~ —, —. ч+ 1 — + а-)- 1 — — и' — — ) 2 2 2 ' 4 ) 1а > О, Пе(11+ «) > О]. ИП П 337 (32) и ~ х'Р„(1 — 2х')l!(ху)с(х~у !(2и-)-1) !Ни-)-1) Х .,(У)- о ПП П 20(23) 840 7.311 ~ (1 — хо) ~С„"(х)о(х=0, -1 ч— х"+оо (1 хо) Са (х) сЬ = о 2"'~ Г (2м) Г (2о+1) а! Г !л+т+ о+1) 1 1 ! Вел> — — Вет > — —, [ .
2 ' 2.1 ИП П 280(2) ~ (1 — х) ~ (1+ х)а Са (х) сЬ = -1 ИП П 280(3) 7.252 7.253 о — о. опгвдвлкнныв инткггалы от спвпиальных омнкпии ! ~ а — Р„(1 — 2х) У (ах) оЬ= —. [1„(а)+1„., (а)) о [а > О). ИП П 366 (11) и Я г ~ а(в(2х)Р„(осе 2х) Хо(а и!и х) оЬ= а 'Х,„,,(а). ИП ц 361 (20) о 3 хР (1 — 2хо) [1о(ах) — 1 о(ат)) Ыт = ( — 1)" [1~,~ (а) — 1 ~, (а)) [а > О). ИП П 385 (14) и 7.3 — 7А ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 7.31.
Мвогочлевы Гегенбауэра б"„'(х) и етепевваи функции [в>0, Вет> — —,~ . ИПП280(1) Г(2т+ )Г(2Е+ +1)Г( + — ~ Г(о — —.) 1 а+ч+- г г з г,) 2 Г ф+ 1) Г ~ т + — ) Г (2м+а) Г ( !) — т + — ) (, 2) а! Г (2т) Г (5 — т — п+ — ) Г (~В+~+а+ —,) 3 Г 3' 2,) 1 1 Вер> — 1 Вет> — т-[. 2.1 1 (1-х).(1+х)ос."(х) Ь= -! 2"+а+! Г [а+ 1! Г (()+1) Г (а+2т) а! Г (2т) Г (а+))+2! Х зР,( — а, а+2т, и+1; т+ —.2, а+(3+2; 1) [Ве а > — 1, Ве р > — 1).
ИП П 281 (4) 84( 7 2 — 7 ! ОРТОГОНАЛЬНЫК ИНОГОЧЛКНЫ 1 ! — — ч !222 — (т — '! к! — ъ' — е е ' 2' 2 (2' — 1)' '~ ' ! (2) Г (т) $Ъ+У вЂ”вЂ” [ и)м,п, Кет > — -~ . ИПП 281(5) 1 м— 2 ~ х"'(2 — х) '(1 — хе) С~(х) !1х= -1 1 Е 1 1 1 — (м — ) в~ -ч— = — е и 2 в+ 2 2 ! 2 '(2 — 1) Г (т) 1 у7 а 0„,2 !(2)- 2 к 21 2т "и( Г (2) Г (ч + и+!) [Кеч > — — ~ . 1 1 3. ~ (2-х)-!(1-х*)' 'С,".(Х)С„(х)дх= — 1 ИП П 281 (6) 11 — т ° 1, 1 1 1 к222 — (У-Я' ЯФ У 2 [Л7~;и, Вот > — —, ИП 11 283 (17) 7.313 1 1, ~ (1 ха) 'С„"(х) С„"(х) ~Ь=О -1 [и Ф и, Веч>- — ) . ИП П 282(12), М098и, ВТФ1177(16) 1 1 — 1 [Вет > — —.~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
