И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1Ь х = — = — 1(( (х. си х со»е ! сйдх= — = — = ! с1Ь гх. юи е !их 8, с(Ь г= — = — =ссФя«х. «их 1 »ие !Пе 2. сЬ'х — вЬ»х = 1. сов» х+ пи* х = 1. 10 12 1. 314 1. 7. 1.312 1.313 1 2 3 4 5 6 7 8 1.31 Осповкые функциональные соотношения юп(х+ у)=юпхсову ч- юп усовх. вЫ (х -ь у) = вЫ х сЬ у +- вЫ у сЬ х. в»п(х ~ гу) = в(ох сЬ у -~- ! вЬу сов х. вЬ(х*«у) =вЬхсову ч-(в(пусЬх.
сов (х +- у) = сов х сов у г юп х вп! у. сЬ (х ь у) = сЬ х сЬ у + вЬ х вЬ у. сов(х ч- !у) =совхсЬу+ ! в(пхвЬ у. сЬ(х+ «у)=сЬхсову ь гвЬхв1пу. !де+!иЧ »8в ' !де !Ьт 1+1Ь*»ак ' «уи ~ !ЬК 1~ ~ »ее!ЬК !ь х+ ! !кк " ( ~ у 1 1 ип х ~ вш у = 2 шп — (х ~ у) сов — (х Т у). 2 2 1 1 вЬх+ вЬу=2вЬ вЂ”,(х ч- у) сЬ вЂ”,(х г- у). 1 совх+ сову = 2сов — (х+у) сов —.(х — у].
1 1 сЬх+сЬ у = 2сЬ вЂ” (х+у)сЬ вЂ”,(х — у). !.в — !,! тгкгономктгнчвскнк н гнпнгволнчкскнк егнкции 39 1 1 сов х — сов у = 2 яп —, (х + у) в(п — (у — х). 2 2 сЬ х — сЬ у = 2 вЬ вЂ” (х+ у) вЬ вЂ”, (х — у). 1 ! 2 2 $Дх 1- ЬДУ= —, . 6. ЬЬх+ СЬУ= Ьхвй в!и (в + т) вЬ1« Х В) 1.315 ввп! х — япв у = и!и (х + у) яп (х — у) = сов! у — сов! х. 2. вЬвх — вЬву =вЬ(х+у) вЬ(х у) = сЬ х — сЬ У- 3. Соввх — япву««сов(х+у) сов(х — Ч) =сов ч — в!и 4. вЬ*х+сЬву=-сЬ(х+у)сЬ(х — у)=сЬ х+вЬву. 1.316 (осах+!в)их)" =говпх+!в!и ах. 2. (СЬх+вЬх) вйнх+СЬну (и — целое число).
значенна х. 1.32 Выражение степеней трнгоцометрическнх н гиперболических функций через функции кратных аргументов (дуг) 1.320 « — ! в1п'"х= —,„~~', ( — 1) ~2~ )соз2(ц — й)х+~ )~. Кр56(10,2) «-! ,Ь =(=,'„'"~;; ( — 1)-в2(2„') сЬ 2( — й) х+(2Д~. « — ! 3 япв" 'х= —,„, ~!2 ( — 1)" ~ 3в!п(2н — 2й — 1]х. Кр 56 (10,4) «-! 4, вЬв" 'х= 2!«! ~' ( — 1)™ м~ „)вЬ(2н — 2й-1)х.
1)«! «Й- в-о «-1 5. сов««х —,„~ Я 2(,)сов2(п — й)х+~Д. «-1 6. сЬв" х = ~„Д 2 ~ „) СЬ 2 (п — й) х+(Д . Кр 56 (10,1) « ~ /1 1„яп — = + ~/ — (1 — совх). 2 2 3. сов — * = + — (1+ сов х). 4 ''2 2 з 1 сов в вял 6 «2 ил в 1.+Сов« Знак иерей корнем в формулах 1.317 в соответствии со знаком левон части; вЬ вЂ” =+ у — (сЬх — 1).
/1 У 2 сЬ вЂ” = у — (сЬ х+ 1). в / 1 У 2 в СЫ« — 1 вЬз 2 вЫ«' СЬ«+1 1., 1.317 2., 1.317 3. выбирается знак же левой части зависит от ~ в — ~ в твигоноивтгичесник и гиннгволичкснив фтикики 41 1. сЬа х = — (сЬ 2х+ 1). 2 2. сЬ'х= — (сЬЗх+ЗсЬх). 1 3. сЬ'х= — (сЬ4х+4сЬ2х+3). 4. сЬах = — (сЬ5х+5 сЬ Зх+10сЬх). 1 1В 5. сЬ'х= — (сЬ6х+6сЬ4х+15сЬ2х+10). а2 6. сЬ' т = — (сЬ 7х+- 7 сЬ 5х+ 21 сЬ Зх+ 35 сЬ х). 64 1.33 Выра кение тригонометрических и випсрболкаескнх функций кратных аргументов (Лую) черен стенени отнх функции ! .331 1. ыв пх = асов ~ ха~ах — ( ~сов""ах вшах(-( ~1сов" аханьях 1 / =як т12" 'сов" ~х — ( ~2" 'сов" 'х+ +( )2" асов" ах — (" )2" 'сов" 7х+...~. А(3.175), '("в') 2.
аЬпх=вЬх ,'~„' ( )вЬ" хсЬ" ' +'х; '1"=') ~з ( 1)к~к — й — 1 ') 2а-вй-1 )а-2й-! к=в 3. сов пг = сов" т — ( сов хввп х+ ~ сов ха!п х —...; = 2" ' сов" х — — 2" в сов" ах+ 1 -)- — "(" ) 2" 'сов" вх — — "( ) 2" 'сов" 'х+... А(3.175) (Р 4. сЬпхаа ~ ( )вЫ~~хсЬ" ~ хаа 6) аа-~ )а ~$ ~ 1а1/к Й вЂ” 1~2а-2А 1 Ь» — Вй с х+к 1 — ) -„~~ „1 ~ с х. йа3 42 П ЭЛВМВНтАРНЫВ Ф"т НКНИИ 1.332 4вв — 2в .
(4вв — в") (4лв — 4в! 1. в!п 2пх=2п сов х)вш х — вшах+ вшв х — ...); 3~ 5~ А (3.171) = ( — 1)" ' сов х ) 2а" ' в(пал т х — — 2в" а в! птв в+ 13 (2в 3) (2в 4) зтт-в вв-э 2! 2 в1п х— 2" мп" х.+... (2л — 4) (2в — 5) (2в — 6! вв-т ° ав-т 3~ (2л 1)в — 1в в 2, в!и (2в — 1) х = (2п — 1) ! вш х — ыпв х -)- 3! ((2в — 1)в — Фв) Ц2в — 1)в — 3в) + 5! з|п'х —... 1! =( — 1)" т ) 2ав *в)пв" 'х —: 2а" вв!пв" ах-(- + (2в 1) (2в — 4) ав в ав 2! 2 81п х— (2в — 1)(2в — 5)(2в — б) 2вт-в - втт-т 3! в!и х+...
А (3.173) А (3.172) А (3.174)и 4вв 3. сов 2пх = 1 — — в!пах+ 2! + — вшвх— 4л' (4в' — 2в! в 4вв (4вв — 2в) (4вв — 4в) 4т 6! в!пв х+...; А (3.171) 2в 1! =( — 1)" 12в" 'з!пав х — — 2а" вв!пал вх+ 2в(2в — 3)2вв вв1ввл в 2в (2в 4) (2тт 5) 2ал 'т вв-в+ ) А (3. 173) ~! 3! (2в — 1)в — 1* 4. сов (2п — 1) х = сов х Й вЂ” вшв х -(- 2! + 4! в(ввх —...); А (3.172) 1( — Ц -1в) Пг.— 1)в 3) Частные случаи 1.333 1. в)в 2х = 2 ми х сов х. 2. з!и Зх= Зв)пх — 4в!пвх.
3. з!п4х=созх(4зшх — 8вшвх). = ( — 1)" ' сов х ~2ав а вша" в х — 2а" аз)пав ах-1- 2в — 3 1! (2в 4) (2в 5) 2ав-в - ав-в 2! — 2~'-вв!ва"-ах+. ) А (3 174) 3! Пользуясь формулами н замечанием 1.30, можно длк в)в 2пх, ЭЬ (2п — 1) х, сЬ 2пх, с)в (2п — 1) х написать формулы, аналогичные 1.332, подобно тому, как это было сделано а формулах 1.331. 4.
зш 5х = 5 в(п х — 20 я пв х + 16 55п« х, 5„51п бх = совх(6 ьшх — 32з(ивх+. 32 з)п« х). 6. з(п 7х = 7 вш х — 56 в5 п« х -1- 112 я О 5 — 64 55 О'т. 1.334 1. 5Ь 2х= 25Ь гсЬх. 2. 5Ь Зх = 3 зЬ х+ 4 вЬ«х. 3. вЬ4х= ОЬх(4вЬх.+8зЬ«х). 4. 5Ь 5х = 5 вЬ х + 20 вЬ«х + 16 вЬ« х. 5. 5Ь бх = сЬ х (6 вЬ х + 32 вЬ«х + 32 вЬ5 х), 6. 5Ь 7х= 75Ьх+56 вЬ" х+ 112 зЬ'х-+64«Ь'т.
!.335 1. сов 2х = 2 сов« х — 1. сов Зх = 4 созе т — 3 сов х. 2. 4. 1,336 роз 4 х = 8 сов« х — 8 сов« х+ 1. сов 5х = 16 созе х — 20 сова х + 5 сов х. соз бх = 32 соз" х — 48 сов«х.+ 18 сов' х — 1, соз 7х = 64 сов' х — 112 созе х + 56 соз' х — 7 сов х. сЬ2х=2сЬ'х — 1, сЬ Зх = 4сЬ«х — 3 сЬ х. сЬ4х=8ОЬ«х — 8сЬзх+ 1. ОЬ 5х = 16 сЬ«х — 20 сЬ"х + 5 сЬ х. сЬ 6х = 32 сЬ"х — 48 сЬ«х + 18 сЬ'х — 1. сЬ 7х = 64 сЬ' х — 112 сЬьх+ 56 сЬ' х — 7 сЬ х. 2, 3. 6. 1.34 Иекоторые суммы тригонометрических и гиперболических функций !.341 «-! е — 1 ~ . ау у 1.
~ в)п (х+ 55у~=в!п (х+ — у~ з(п, созов —. и «-! е — 1 5 аз 1 2. ,'55', вЬ(х+ /су) = вЫ (х+ — у) вЬ вЂ”. 2 ) 3 Р В-О 5Ь— « — 5 а — 1 « . «у У 3. ~ сов (х + Йу) = сов ~ х+ — у ~ вш — созес —. 2,) 2 2 «-5 4. ~ сЫ(х+йу) =сЬ (х+ — ", у1)вЬ "Р— / 2 ь-ю 5з . 2 в«-3 5. ~~~'( — 1) соз(х+lсу)=зш х+ —.у в5ппувес —. 5 Г 2е — 1 У А (361.8) А (361.9) Жл (202) 5 5 5 5 тРиГОНОмитРичискии и Гипезволичзскии юУнкш$И 45 1 ЕЛПМКНТАРНЫК ФХНКЦИИ 1.342 и и+.1 . ии х 1 «и~ в!и йх = в1п — х в1п — совес — . 2 2 2 А(361 1) 2. ~~!' соз йх = соз х зтп — совес — + 1 = соз — в!и — х совес —, и+1 ии и ии и+1 и 2 2 2 2 2 2 ' «=0 А (361.2) А (361.7) 3.
"!!'„в(п (2й — 1) х = з!пй пх совес х. «=1 и 4. ~~!' сов (2й — 1) х ии — в!о 2ах совес х. 1 2 й-1 Жл(207) и ( — 1]исая!! — х ) lЫ+! 1. ,'!' ( — 1)" совйхии — —,+ й 1 2 со«в 2 и 2. !!' ( — 1) +1ып(2й — 1)х=( — 1)~ А (361.11) А (361. 10) 3. ~~!'„сов (4й — 3) х+ ~~«~ в!п (4й — 1) х = = яп2пх(сов2пх+в!п2пх) (созх+ в!ах) совес2х. Жл (208) и«п 1. '~', в1п — =с18 2 й=! и ! 2п«й у' ип ил~ 2.
~ ип — = — (! 1+сов — — в)п — ). и 2 2 2 ) й=1 и — ! 2пйй $/и и ип . ип! 3. ~~Р соз — = — ~1+ соз — + в1п — ) . и 2 2 2). «-о А (361.19) А (361. 18) А (361. 17) 1.35 Суммы степеней кратных дуг 1.351 1. ~~ з(ай йх = — ((2п+ 1) в!и х — з(н (2п+ 1) х) совес х; й-! и сои (и+1) и ми ии 2 2ьши А (361,3) 6. «~ ( — 1) в!п(х-(-йу) =в«п~х+ — (у+И)1в!и (в, вес ~ .
2 2 2 Жл (202а) Частные случал 1.5 — 1л тригономжтричжскиж и гипжрволичжскиж фрикции 45 и сои(»+1) х яи их 2 2зшх А (361.4)и и д . »+1 . их х 3. Р в!пи йх = — я(п —,х в!и —.совес —.,— 4 2 2 и=1 и 3 и+1 . их х 4. У соззйх= — сов — хв1п — совес —,+ 1 ' 4 2 2 2 и=1 5. ~ч(, 'в(пн йх = — [Зп — 4 сов (п + 1) х в(п пх сояес х+ 1 ь н=1 и 6 ~~Р соьн йх= — [Зп+4сов(п+1) хв1п пхсояес х+ 1 б и 1 1.352 А (361.5) 1 — сон их А (361.6) х 4 з(аз— 2 и — 1 Х" ' р з(и х — ри з(и их+ ри" з(и (и — 1) х 1.
р взпйх— 1 — 2р сов х+ рз А(361 12)и 5=1 Ч1 з ) Рз~~ Р ~~~~'( Р ~~~(» — 1) 1 — 2р но и+рз * и — 1 3. р соя йхв . Х и 1 — р соз х — р" соз их+ р"" соз (и — 1) х А(361 13)и н=о Жл (396) н о и — 1 1. Х и-1 Х и — 1 1 сояз йх = — + — сов пх в1 п (п+ 1) х совес х. 2 2 Ф вЂ” — в(п я(п —, совес — .
Жл (210) 1, З(и-(-1)х . Зах Зх 2 2 2 + — сов, х в(п — совес —. Жл(211)и 1 З(и+1) . Зах Зх 4 2 2 2 + сов 2 (п+ 1) х 51 и 2пх сояес 2х]. Жл (212) + сов 2 (и -1- 1) х всп 2пх совес 2х). Жл (213) 2» — 1 и сиз и 5(и ах й я(п йх = .с 4 51оз —. 2 51о —. 2 2 2» — 1 а 51о — х 2 йсоейххх 2 з(о 2 1 — р си х — ри со их+ р"" сЬ(и — 1) х 1 — вр СВ Х-~. Рн р спйх— 46 ЗлкмкнтлРнык ФунеЕции Суммы нроизведений тригонометрических функции кратных дуг 1.36 ! .361 1.362 '!!' (2 з1ао — „) =(2" яа —,„) — яа'х.
о-! и !!! ( — „зес — „) = созес х — ( — „созес — ) . А (361. 15) 1. 2. А (361.14) 1.37 Суммы тангенсов кратных дуг !.371 Х ! х ! и — ы6 — = — сааб — — 2 сааб 2х, 2ы 2й 2 2и о=о п Х 1 с 2!" "— ! 1 Х вЂ” Вдо — = — =-+ 4 соуп 2х — — с16 — . 2ой 2й 3 2ои ! 2ои 2и ' в=о А (361.16) А (361.20) 1.38 Суммы, приводя!яке к гиперболическим тангенсам и к гинерболичсским котангенсам 1. 381 ! 2й+ ! и — ! !он!! + '+ 2о+! Ео! — х ов 1 ЕЫе и — ! и в!и!— У,, = сЕЬ 2пх — — (ВЬх+ сЫЬ х). ~и Е еы! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
