И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 3
Текст из файла (страница 3)
8.84. Фувкнии конуса (1034). 8.85. Функции тора (или кольца) (1036). 8.9. Ортогональвые нолииомы 8.90. Введение (1037). 8.91. Полнномы Лежандра (1039). 8.92. Рядьс подиномов Леясандра (1041). 8.93. Многочлевы Сь (с) (Гегенбауэра) (!043).
8.94. Полиномы Чебь~вева Т„(х) и К„(х) (1046»). 8.95. Полнномы Эрмита К„(х) (1047). 8.96. Полиномы Якоби (Ю49). 8.97. Полиномы Лагерра (1051). 9.1. Гвнерсвометрические фуввцив 9. 10. Определение (1053). 9.11. Интегральные нредставлення (1054). 9.12. Представление элементарных функций с номощью гипергеомегричесиой фущснин (1054). 9.13. Формулы преобразования и аналитическое нродолжешсе для функций, определяемых гввергоометрнческнми рядами (1056).
9.14. Обобщенный гийергсометрвческссй ряд (1059). 9.15. Гивергеомегркческое дифференциальное уравнение (1059). 9.16. Дифференциальное уравнение Римана (1063). 9.17. Запись некоторых дифференциальных уравнений зтоого порядка с номопсью схемы Римана (!066). 9И8. Гипергеометрвчсские ушщин двух всременных (1067). 9.19. Гиясрггометрвческан функция несколььих переменных (1071). 9.2.
Вырожденная пшергеометричсглая функция 9.20. Введение (1071). 9.21. Функции Ф (а, »Б а) и»Р(а, у; з) (1072). 9.22 — 9.23. срувкцин Унттевера Мь „(з) и йг „(х) (1073). 9.24 — 9.25. Функцнн параболического цилиндра Кр (с) (1078). 9.26. Вырожденные гннергеометр ические ряды двух переменных (1081). 9.3. К-фук»щня Мейера 9.30. Онределевне (1082). 9.31. Функссвовальпьк» соотношения (1083). 9 32. Дифференциальное уравнение для 0-функции (1081»). 9.33.
Ряды С.функций (1084). 9.34. Связь с другими спецнзльнымв фуакцнями (1084). 9.4. Ж-функция Мак-1'обсрта 9.41. Предсташсенве с помощью кратных интегралов (1085). 9.42. Фушсциовальяые соотнонсения (1086). 9.5. Дсюта-функции Римана ь(х, »7), ь(х), фувссции Ф(х, з, х) и 6(з) 9.51. Определение и интегральные нредстазления (1086). 9.52. Пр»дставленвс з виде ряда или бесконечного нроячзедевин (1087). 9.53. Фуккциопальиые соотзовсения (1087). 9.54. Особы стачки и нули (Ю88).
9.55. Фушсцин Ф(з, з, и) (1089). 9.56. Функция Цс) (!090). 9.6. Числа н полнвомы Бернулли, числа Эйлера, функции ч(щ), ч(св» а) рс(ш~ 1)) )ь(ю, (), а), Х(ш, у) 9.61. Числа Бернулли(1090). 9.62. Полиномы Бернулли (1091). 9.63. Числа Эйлера (1092). 9.64. Функции т(х), т(х, а), р(х, ()),)с(х, (). а), )'(х,у) (1093), 9.7. Постоянные 9.71. Числа Бернулли (1093). 9.72. Числа Эйлера П094). 9.73.
Постоянвме Эклера и Каталана (1094), Предметный указатель свсцнальных функций и их обоавачевие Список нскольаозанных обозначений Указатель литературы, на которую имеются ссыляи 1071 Ю95 1098 1099 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В существуюэцих математических справочниках как советских, так и ипостранпых количество приводимых формул по интеграла»э, суммам, рядам и произведениям безусловно нодостаточво пе тольшэ для научных работников-математкков, по и для ипжепорон, запимаюпгихся теоретической и исследовательской работой. Настоящие таблицы составлевы с целью заполнить этот пробел. Здесь собрано свьппе 5000 формул из различных источников. Книга предназначена главным образом для научных работников и инженеров-исследователей в области физико-математических наук.
Поэтому в пей пояснительная часть занимает мало места. В основном книга является сборником формул. Больпэое внимание уделено специальиым функциям, в особекпости эллиптическим, цилиндрич< ским и шаровым. В книге имеется мпого формул, относящихся к этим фуккцяям.
Пользуюсь также случаем, чтобы в»»разить искрекнэою благодарность проф. В. В. Степанову, А. И. Маркушеничу и И. Н. Брокштейну за ценные советы и указания, которые я от пих получил при выполнении этой работы. .1». Р»ажик ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ И. М. Рыжик, автор первого и второго яздапий этих таблиц, погиб во время Великой Отечественной войны. По предло>кению издательства этк таблицы мною переработаны. В отдел определенных интегралов были внесены следующие из»эепеиия. Все «факультеты» вроде 2 -»'» были заменены гамма-функцией, а там, где зто было возможно,— обыкповеппыми произведениями и факториалами, так каь мы считали, что «факультеты» мало знакомы современному читателю и вносят только излишнио затруднения. Там, где правые части формул можно было заменить какой-либо специальпой функцией или сцециальным числом — это оыло сделано.
Выл прибавлен ряд интегралов, приводящих к специальным функциям. Были опущены интегралы от внранпэпяй, содержащих комплексные величины, я некоторые другие иптегралы; кроме того, был изменен порядок следования формул. Изменен и способ нумерации формул. Все формулы, определеиия и теоремы разбиты ца раздолы, которые занумерованы. Принцип кумерацпи имеет некоторое сходство с десятичной системой классификации и легко может быть. выяснен из оглавлеяия. В оглавлении указаны только более круппыг разделы, номера которых содержат одну, две или три цифры. Самые мелкие разделы книги содержат четыре цифры. В эти разделы входят одна или несколько формул (теорем или определений), номера которых напечатаны светлым шрифтом. Цифра «пуль» забронирована за разделами, носящими общий характер: за введениями, определениями и т.
п. Первой главе книги, пРВдислоВие к чктвегтому издАнию зключа|ощей ряд теорем общего характера и носящей несколько вводный характер, таня<о присвоен нулевой номер. Нововведением в этом издании являются ссылки, сделанные в конце ФОРМУЛ И УкаЗЫВаЮЩИЕ На ЛнтЕРатУРУ, ИЗ КОтОРОй Этга фОРМУЛа ВЗЯтае).
Я старался делать ссылки, в первую очередь, па советские издания и особенно на оРпгипальвые, во втоРУю очеРРДРо на ивостРаввые книги и, ваконеЦ, з третью очередь, на справочники. Ссылки на журнальную литературу отсутствуют.Формула, взятая из какой-либо книги, иногда видоизменялась. В этом случае в конце библиографической ссылки ставилась буква и (кизиевено>). В частности, буква и может означать исправление замеченной опечатки. И. Градштейн ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМл' ИЗДАНИЮ При подготовке четвертого издания И.
С. Градштейн задумал значительное расширение справочника. Смерть помешала ему реализовать свои замыслы полностью. Им были составлены новые таблицы интегралов от элементарных функций и собраны некоторые материалы для составления таблиц ивтегралов от специальных функций. Издательство поручило нам подготовить к печати оставшуюся от И. С. Градштейна рукопись, дополнив ее недостающими разделами. При выполнении этой работы мы старались следовать плаву рукописи и предыдущего издания и сохранили, во всяком случае, их главные особенности: порядок следования формул и ссылки па источники. Из предыдущего издания в книгу вклточены без изменений разделы, касающиеся сумм, рядов, произведений и элементарных функций.
Остальные разделы подвергались переработке. Особенно сильно расширеяы таблицы определенных интегралов от элементарных и специальных функций. Появились разделы, например интегралы от функций Матье, функций Струве, функций Ломмеля и ряда других функций, которых в старом издании не было совсем. Вообще, в четвертом издании справочника число рассматриваемых специальных функций по сравнению с третьим изданием увеличилось. В связи с этим главы, относящиеся к специалыпям функциям, дополнены соотвэтстеующими разделами. Болыпипство определений специальных функций, принятых в предыдущем издании, сохранено. На другие определения мы переходили лишь иногда, следуи источникам, содержащим наиболее богатый материал по интегралам от соответствующих специальных функций.
Изменены также некоторые обозначения. Имевшаяся в третьем издании глава, посв~щенная интегральным преобразованиям, из четвертого издания исключена. Ее материал размещен в других частях справочника. Мы выражаем глубокую признательность А. Ф. Лапко, который внимательно прочитал рукопись и сделал целый ряд полезных замечаний.
Ю. Героыимус, М. Цейлон *) Указатель литературы, аа которую имеются ссылки, помещен ка стр. 1099 — ПОО. 1Тссяе шифра, указываилцего киигу, в бибяиографкчсскях ссылках стоят числа. Числа, ие эаключеияыс ни з какие скобки, сзиачают страницы; числа в круглых скобках— колера формул, цифры я кяадратяых скобках — номера таблиц. О ПОРЯДКЕ СЛЕДОВАНИЯ ФОРМУЛ Вопрос о целесообразном порядке следования формул, особенно в таком отделе, как определенные интегралы, оказался весьма сложным. Естественно приходит мысль об устаповлении некоторого порядка, аналогичного словарному. Однако простое установление такого порядка в формулах интегрального исчисления почти невозможно.
Действительно, в любой формуле ь ~ ~(х)<(х=А а ~ 1(х) Их, где ( (х) — нечетная функция. Тогда мы такой интеграл 'опускали. Приведем пример (№ 26 на стр. 159 второго издания): 4 (с»эх —,9»» я (п вакх ь(х= — — совес рн. »»э» ь Р .с Естественная подстановка с1йх — 1= и; с ее помощью получим й '1п(1+и) ь»и= — совесря. в т Р (2) Этого интеграла непосредственно в справочнике не было. Его можно было получить из других более сложных формул, имевшихся в справочнике. Далее №№ 59 и 60 являются частными видами формулы № 26 на стр. 159. Все эти интегралы в новом издании опущены.
Вместо пих имеется фор- можно сделать целый ряд подстановок вида х=ф1) и получить таким образом ряд «синонимов» данной формулы. Падо сказать, что обилием таких «синонимов» и сложных по виду формул грешат как таблица определенных интегралов В(егевз се Наап'а, так и первые издания данного справочника. Мы старались в настоящем издании оставить только наиболее простые из «формул-синонимов». О простоте формулы мы судили в основном по простоте аргументов «внешних» функций„входящих в подынтегральпое выражение Где это было можно, мы сложную формулу заменяли более простой.
Иногда при этом несколько более сложных формул приводятся к одной более простой. Тогда мы оставляли только эту более простую формулу. Иногда, в результате таких упрощающих подстановок, мы приходили к интегралу, который можно вычислить, пользуясь формулами отдела 2 и формулой Ньютона — Лейбница, или к интегралу, имеющему вид а О ПОРЯДКУ СЛВДОВЛНИЯ ФОРМУЛ 13 мула (2) и формула, получающаяся из интеграла (1) при подстановке с(бх = о. Второй пример (№ 24 на стр. 172 второго издания) 7= 1п(16Рх+ стрех) 1п 16хйх=О.
Подстановка (6х= и дает 1в(ее+и-е) 1в и 1+ее е Полагаем далее о 1и и. Тогда оо оо — 1п(ее'-1-е "") по= ~ о ее' о о Г !в2сЬ ее 1-(-еео ) 2 сЬ е ЙУ, — оо оо Подынтегральная функция нечетна в, следовательпо, интеграл равен нулю. Итак, раньше, чем искать иптеграз в тебчицах, подыптегральвое выражение следует упростить и притом так, чтобы еозможпо более простыня оказались аргументы (евпутренвие функциие) у функций, входящих в подывтегральпое выражение Функции упорядочиваются по старшинству следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
