И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Сначала идут элементарные функции: 1. Функция 1(х)=х. 2. Показательная функция. 3. Гиперболические функции. 4. Тригонометрические функции. 5. Логарифмическая функция. 6. Обратные гиперболические функции. (В формулах, содержащих определенные интегралы, они заменены соответствующими логарифмами.) 7. Обратные трвгонометрические функции. Далее следуют специальные функции: 8. Эллиптические интегралы. 9. Эллиптические функции. 10. Интегральный логарифм, интегральная покавательная функция, интегральный синус я интегральный косинус. 11.
Интегралы вероятности и интегралы Френеля. 12. Гамма-функция и родственные ей фупкции. 13. Цилиндрические Функции. 14. Функции Матье, 15. Шаровые функции. 16. Ортоговальиые многочлены. 17. Гипергеометрические функции. 18. Вырожденные гипергеометрические функции. 19. Функции параболического цилиндра. 20. Функции Мейера и Мак-Роберта. 21. Дзета-функция Римана. В таблицах эти функции располагаются в порядке старшинства, причем ввешвяя функция принимается во внимание в первую очередь: чем старше ()уккция, тем дальше ставится соответствующая формула. Предволожим, что в несколько выражений входит одна и та же внешняя функция; например, з выражениях з)в е, зш х, зш 1п х впешпяя функция — синус — общая.
Такие 14 О ПОРЯДКЕ СЛЕДОВАНИЯ ФОРМУЛ выражения располагаются в порядке внутренних функций. Например, ука- занные три функции расположатся в таком порядке: зшх, з)це", зш!Ох. В приведенном нами списке отсутствуют следующие функции: много- член, рациональная, алгебраическая и степенная функции. Встречающаяся в таблицах определенных интегралов алгебраическая функция сводится обычно к конечной комбинации корней рациональной степени, н поэтому мы можем для классификации нап>нх формул условно считать степенную функцию обобщением алгебраической, а следовательно, и рациональной функции *). Все указанные функции мы будем отличать от перечнсленныт выше и будем рассматривать как некоторые операторы. Таким образом, в выра>кении з)пвех мы будем считать, что к внешней функции з)п нрилов)н х+ сов х жен оператор возведения в квадрат.
В выражении . — — Мы буденз' вш х — сов х считать„что к тригонометрическим функциям а1п и соз приложен рацио- нальный оператор. Операторы мы также будем различать по старшинству: 1. Многочлев (тем старше, чем выше его степень). 2. Рациональный оператор.
Р 3. Алгебраический оператор (по существу Ач, где о) О н р — рацио-' нальные числа, тем старше, чем больше д). 4. Степенной оператор. Выражения с одинаковыми внешними и внутренними функциями рас- полагаются в порядке старшинства операторов, например так: 1 8!вх 6>цхч-совх . ~в . ч> з)пх, н)пхсозх, . =нес х, — =1ях, ., аш х, зш хссах.> в>н х сов х з1П х — сов х Далее, если в подьп>тегральпое выражение входят две внешние функции >рд(х) и >р (х) (причем >р> (х) старше <рт (х)), над которыми произведена какая- либо из указанных операций, то соответствующий интеграл ставится з> всеми интегралами, содор>кащими одну только функцию ф> (х), в порядк> старшинства ~)~ (х). Так за тригонометрическими функциями следуют триго- нометрические и степенные функции (т. е.
>рв(х) =х), далее идут тригонометрические н показательные, тригонометрические, показательные н степенные и т. д., тригонометрические и гиперболические и т. д. Интегралы, в которыо входят две функции ф> (х) и <рв (х), располагаются н соответствующем разделе в порядке, зависящем только от старшей функцнв >р>(х). Если же порндок нескольких интегралов в зависимости только о> стари>ей функции совпадает, то этн интегралы располагаются в порядке, определяемом второй функцией. К указанным правилам общего характера прибавляются еще некоторп> частные соображения, которые легко усмотретьпепосредственно в таблицаь $ Например, функция с*, сдгласно сказанному, старше е*, мо 1нх и 1п — имв> 1 ют одно и то же старшинство, так как 1п — — 1пх: в разделе «степеннн> и алгебраические функции» из степенных функций вида (а+ )>х)", (а+рх)' образуются многочлецы, рациональные функции н даже степенные фунт цнн от степенных функций.
*) 11рн о натуральном отененная функция (а+Ьх)" от двучлена а+Ьх есть мясо> член; нрн и целом отрнцательном (а+Ьх)о является рацнояальной функцией; нрн > иррациональном отененная фуцкцня (о+Ьх)" не является дана алгебраячесня функцией. О. ВВЕДЕНИИ 0.1 КОНЕЧИЫК СУММЫ 0.11 Прогрессии 0.111 Арифметическая прогрессия.
«-! ,'(' (а+ йг) = — [2а+(и — 1) г) = — -(а-(-1) [1 —" последний член), «=.о 0.112 Геометрическая прогрессия. « а (д« вЂ” 1) 21 ад = д 1 а ! 0.113 Арифметика-геометрическая прогрессия. « — ! „Я( й)да ( )д + д( д Ж(5) 1 — д (1 д)и о-о 0.12 Суммы степенен натуральных чисел Ч 332 Ч 333 а ! 0.121 +1 +2+ ! 7Во~~ + ( )~оп~ + Я Вп +. ь 1 «о ! ао дад ! д(д — 1)(Д вЂ” 2) о д (д 1) (Д вЂ” 2) (Д вЂ” 2) (Д вЂ” 4) д+1 2 12 720 + 30 2«0 по — о [после)ягий член содержит п или по). л («+1) Ч 333 о-! « ЧЧ йа («+1)(2 +1) 6 о ! ' ~ =Г'"'"1' о ! « 4. ~~!' ао = —. и (и+ 1) (2п+ 1) (Зп*+ Зп — 1). Ч 333 а. Ваеданин 5. Я йе = — ве(в+ 1)" (2ве+2в — 1).
чззз й 1 б.,'~1~ й' = — в (л+ 1) (2п+ 1) (Зве+ бпй — Зп+ 1). 1 й 1 7. ~ йе = — пй(в+ 1)й(зле+ Зле — вй — 4в+2). 24 ч ззз Жл(32а) Н(л (32б) А (188. 1) В94 ОЛ31 НСл (59) А (1876) 1 2 3 0.123 ОЛ24 ОЛ25 ОЛ26 й=! ")"„(2й — 1)я — пй+1 — Г 1 ~2» 1В пе й 1 ( г) 2 — й (2й 1) В в — й 1 ее (Последний член содержит в или пй,) ,'$', (2й-1)= '. й-1 Х (2й — 1) - 3 (4 — 1).
п ч~~, '(2й — 1)е = вй (2вй — 1). й-й е ,$~~ й(й+1) = 1 п(п+1)(в+2)(зп+5). ')' й(пй-йй).= — р(у+1)(2пй-рй-д). й-1 ~~', й!.й=(п+ 1)1 — 1. й 1 а .l (а+Ц!,/ е Г 1 1 и( — ьН У в е+1~ з~' й=! "3~ 0.13 Сумжм наличии, обратных натуральным числам 1 чч Ай Х Ь = +~"+2 Л а(а+15..(+Ь вЂ” 1) ' й-1 й-з где 4й= — х(1 — х)(2-х)(3 — х) ... (й-1-х)бх. 1 Г й=й) 1 1*= 12 ° ~.=-12-. д.! Жл(71а) и 0.132 1 3 2и+1 Х вЂ” = —— й! — 1 4 2а (и+1) Жл(1841) 0.133 Суммы произведений величин.
обратных натуральным числам 0.14 Х [ р+ (й — 1) д[ ! р-ь- йд! Р ! р+ид) ГКЕП(64)и ! п 1 и (2р+ ад+ д) Х [р-1-!й — 1) д! (р+йд) [р-1-(й)-1) д! 2р(р+д) (р+ ад) [р+(и+1) д[ ' В=1 ГК ЕЕ((65) и и Х 1 1 1 [р+(й 1) д!(р+йд) ° ° ° [р+(й+)) д! (!+1)д [ Р(Р+и). ° -(Р-1-)д) Ф=! А (1856) и И а ! (й 1)д ~ 1 1(й 1) ! ! р ~ ГК[!1(66)и а=! а=! Жл (157) Х Ы+й — 1 1 а+1 (й-)-2)! 2 (а-)-2)! О. 142 ОЛ51 Кр 62 (59Л) 0.141 1 2 — = — (С-г[ви)+!в2+ —,+, -1- ° ..
1 1 В, (2 — цЬ; 2й — 1 2 аа$64ии 1 (р+ид) (р+(и+1) д1."(Р+(и+Од! 1 ' Х [1-1-(й — 1) д[ [1+ (й — 1) д -г Р! и=! 0.15 Суммы биномиальных коэффициентов (и — натуральное число) (и+й) (а+и!+1) 1+(2)+(4) [ -.. =2"-. ("1 ~+(.")+(".)+ Х(-1) С"„) =(-1)-( —.') (о)+(.з) "Са)+ ' = д (2" +2соз ~"). Кр 64 (70Л) Кр 62 (58Л) Кр62(58 1) Кр 64 (70.2) 0 3 ЧИСЛОВЫК РЯДЫ И ВКСКОНКЧНЫК ИРОИЗИКЛИНИЯ Кр 64 (72.3) Кр64(72.4) 0.2 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕеПРБ(Е ПРОИЗВЕДЕНИЯ 0.2$ Сходимость числовых рядов Ряд Х кь=к1+не+ле+ ~1 называется абсолютна скодлщи,мол, если сходится ряд 0.212 ~ ~ и„( = ( и1 (+ ! ие! + 1 Кз ! + - .. 1=1 0.2$1 составленный из абсолютных значений (модулей) его членов.
Если же ряд 0.211 сходится, а ряд 0.212 расходится, то ряд 0.211 называется условно сходлщилесл. Всякий абсолютно сходящийся ряд стодквесл. 0.22 Признаки сходимасти 1).221 Пусть 1 $1ш~и )" =р. Пш ~ — ""~= о. Если при этом д е 1, то ряд 0.211 сходится абсолютно.
если же ((> 1, то ряд' 0.211 расходится. Если ~ ~" ~ стремится к 1, остеоыяоь больше ие единицы, то ряд 0.21$ расходится. (Да ламбер.) 0.223 Пусть 1(шй ~~ — "~ — 1~ =4. Если при этом д > 1, то ряд 0.211 сходигся абсолютно; если же р < 1, ее ряд 0.211 расходится. (Раабе.) 0.224 Пусть $ (к) — ноложительнан, убывакпцая функция, и пусть нри й натуральных е"1 (е") е 1(е) 11ш — = д. ОО Если прв этом д(1, то ряд ~'„~(Й) сходится; если же () ~ 1, то этот Ь=1 ряд расходится. (Ермаков.) 2е Если прв атом д ( 1 то ряд 0.21$ сходится абсолютно; если же р> 1, то ряд 0.211 расходится. (Коши ) 0.222 Пусть 20 о вввдвпив 0.225 Пусть где р~ 1, а (пэ( ограничены, т е.
~оа~ меньше некоторого М, которое не зависит от 1с. Если прв этом д) 1, то рял 0.211 сходится абсолютно, если >ке у< 1, то этот ряд расходится. (Г э ус с.) 0.226 Пусть функция !(к), определенная прк т> д> 1, непрерывна, положительна н монотонно убывает. Прв выло:шепни этих условий ряд Д у(й) сходится или расходится в зависимости от того, сходится яли расходится интеграл ~ у (л) а(г. (Интегральный признак Коти) 0.227 Пусть все члены последовательности о, и„..., и„п о ложи тельны; в таком случае ряд 1, ~ ( — 1)э'! иэ = и — и + и,— э ! называется знакочередуюи!и.нсл (илв знакопеременнм.и). Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, т. е.
если 2. ид,! < иэ в 1!ши„= О, то ряд 0.227 1. сходится. Прн этом остаток ряда ОР ОР п 3. ~~~ ( — 1)~ " 'иц — — ~ ~~~ ( — 1)~'!и„— ~ ( — 1)"'иэ~ < и„, э я+1 Ф=! э=! ()!е вбниц.) 0.228 Если ряд Оэ = О! + ое + ° ° ° + О! + °- сходится, а числа и„образуют монотонную и ограниченную последова. тельность, т. е. если для некоторого числа М и для всех к ~ иэ ~ < М, от ряд 2. ~~', и„пэ = и!од+ иэп +... -~- и,р„-(- к=! сходится.
(А б е л ь.) Ф 11 354 0.229 Если частичные суммы ряда 0.228 1. в совокупности ограничены, а числа ид образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю, т. е. если ~ ~~", пэ~ <М (и=1,2, 3, ...) и Пши =О, э-! Ь.и:о то ряд 0.228 2. сходится. (Д и р н х л е.) Ф 11 355 21 о з числовык гиды и вксхонвчнык пгоизвкдкнин 0.23 — 0.24 Примеры числовых рядов 0.232 0.233 'Е йг='+~+ — „,+ ..=~(р) (Пер) Ц 1 1 1 СЮ Х ( — 1) ~,„=(1 — 2' ")Т..(р) (Вар> О) а=! й ! СЮ / — ! О (2!" — 1) я!" Х (2й 1)!х 2.(2в)! ~ ия). 4=! !ы ! Х (-1) „,-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
