И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 10
Текст из файла (страница 10)
атосов —, = 2агс18х [х) О); = — 2 агс18 х [х <, О). 2х — 1 1 г 2 -1 1.629 — — — агс$$~18: и) =.К(х). 2 х ~. 2 1.631 Соотношения между обратными гиперболическими функциями. 1. АгвЬх=АгсЬ[~ х'-1-1 =Аг(Ь у' х~+1 2. АгсЬх = АгвЬ ф' х' — 1 = АгсЬ ~/ха 3. Аг1Ь х = АгвЬ = АггЬ = Агс1Ь вЂ”, г 1 — х~ у 1 — хх х ' 4. АгвЬ х ~ АгвЬ у = АгвЬ1х У 1+ ух -~ у )/1 -(- ха). Ь. А Ь*хА Ью Я М ухгтХ:СЬ4 — 1И. 6, АГ(Ьх+ Агру=Аг(Ь вЂ” ~ — ~ .
1~ху' Но 65 Но 66 ГК 1(886) ЯЭ 68 ЯЭ 68 ЯЭ 69 ЯЭ 69 1, 2агсв)ах= агсв)п(2хУ1 — тх) ~) х) < — '1; = и — агса~п (2х У' ~ — хх) à — < х < 1 ~; г,ю = — я — агсв|п(2х) 1 — хх) ' — 1 <х < —— 1 2.) ' Но 61 (7) 1.64 Представлевве в виде рида (.641 = л д-3 -ы1вх= .7 — агссоах=г+ — "4-г '+ 67х'+..
° . 2.3 2.4.5 - 2-4 6 7 х "=хР'~~ —, —, ° — хз) х' 1. 27» (77()з (24-(- 1) ' = ~ 2 2 7 2 ' *',/ [х' < 1 Ь 7 0 Ф П 479 2. АгаЬх=х — — хз+ хз— 1 1.3 2.3 2-4 5 з (24Р Рззз. =~>~( — 1)., „,, х =в ~ 1)- Ф П 480 1.642 1 1 13 1 1. АгаЬх= )В 2х+ — — — — — +... 2 2х' 244лз '" 7 = !В 2х + ~Ч ' ( — 1)"з' , , „ [х' > 1'). А (6480.2)в »=! Вз з=! А (6480. 3)и хз хз агсги х = х — —. + —— 3 5 хз — + Ф П 479 1 )» л777 ! 277-)-1 =Х з-з [х' < Ч.
[хз < 11 А (6480.4) ' хз хз З»77 Аг(Ь х = х+ — + †.+... = 3 5 ' ' 277+1 1.644 Вз чз (277)! 7 х* '~» )7'1 ( хз х'.( 27" (77!)з (277-(-1) 1 1+хз / »=О в 1 1 1 2 з 3х* 5хз 7х' [хз < со]. А (641.3) = —" — Х(- 1)" 2 (277 ) 1) хз» 7 [хз> Ц (см. Танже 1.643). А (641.4) 5 тзблллм влзззвзлов (.4 ОВР»тнзаа тРКГОИОЗзвтгичвскии и ОВРАтныв гинвРВОлич.
Функции 65 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУН14ЦИЙ 2.0 ВВЕДЕНИЕ 2.00 Замечании общего характера Во всех формулах этого отдела постоянная интегрирования опущена. В силу этого знак равенства (=-) в этом отделе означает, ч~о функции, стоягцве слева я справа от этого знака, отличаются на постоянную„Например (см. 201 15.), мы пишем нх ' — = агония х = — атоса х 1+ хз Ф хотя я агстд х = — агсс1н х+— 2 При интегрировании некоторых функций получается логарифм абсолютах ной величины (например, ~ =1п(х+ )~ 1+х ~) . В таких формулах У'1+ ' знак абсолютной величины в аргументе логарифма нами для простоты записи опущен.
В некоторых случаях существенно указать вполне определенную перво- образную функцию. Такие первообразные функпии, записанные в виде определенных интегралов, помещены пе в разделе 2, а в других разделах. К этим формулам близко прпмыкаюг формулы, у которых пределы интеграла и подынтегральная функция зависят от одного н того же параметра. Ряд формул при некоторых значениях постоянных (параметров) или при некоторых соотногпеяиях между этими постоянными тернет смысл (например, формула 2.02 8. при я = — 1, формула 2.02 15. пря а = Ь).
Эти значения постоянных и соотношения между ними больгпей частью бывают совершенно ясно видны из савой структуры правой части формулы (не содержащей знака интеграла). Поэтому ыы опускаем в атом разделе соответствующие оговорки. Однако, если при тех значениях параметров, при которых некоторая формула теряет смысл, значение интеграла дается с помощью другой формулы, то мы эту вторую формулу сопровождаем соответствующим разъяснением.
Буквы х, у, г,... означают независимые переченные; 1, д, ф,... -функ ции от х, у, т, ...; 1', д', ф', ..., )", й'. ф", ... — их производные первого, второго и т. д. порядков; а, Ь, т, р,... — постоянные, пол которыми следует, вообще говоря, разуметь любые действительные числа. Коля какая-либо формула справедлива только прн некоторых значениях постоянных (например, только при положительных. или только при целых числах), то делается Р. 08 А НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКПИИ 2.01 Основные интегралы хх» ! (~ х" Пх= — (а чь — 1).
а+1 Чра мх» — ! — = !пх. Г*- х е' их = е'. а» а» ах =— (ва мп хам= — совх. СОВГЕ(Х~ В1ПХ. — =тих. х» 7, ~~ — — с1,ц х. 1»мкх Г гаа» 9. ~ — е(х = вес х. ) сова» 10 1 — е(х = — совес х. , ага»х !1. ~ Вахе(х= — (псовх. 13. 1 — ".' = (п(и — '. ,) в!ох 2 12. ~ от~хе(х = (вью.е, )»» ум »Ч вЂ” = (п (к ~ — + —.) = (н (вес х + (к х).
сов» ~ 4 2) — = агс!и х — агсс(4' х. !+ ах 1 !+х — -т— - Агах =-1п —. 1 — х 2 ! — х = агсв1п х = — агссов х. у'~ — . АгвЬ = 1~(х+(Ух~+1). Г х»+1 =АгсЬх= (п(х+)Ух — 1). вЬ х дх = сЬ х. 21 ах — — с!Ь х.
23. ва» х ьЬхе(х= (и сЬх. 2Ь "х (и (Ь айх 2' сЬ х е(х = вЬ х. " =!Ьх. ебх х стЬ Н, =(и Ьх, 20 22 24 чб аоответствуао цая оговорка, если только данное ограничение не следует иэ еамоао вида формулы; гак, в формулах 2.148 4. и 2.442 6 аикаких оговорок це сделаво, так как иа самого их вида ясно, чу лолжио в них быть натуралы1ым (т. е. целым положительным) числом. ио вввдвнив 2.02 Общие 4юриулы ~ а)4х=а ~ 7с(х ~ (а) (- Ьф (- сф ~...1«х = а ~ )с)х (- Ь ~ ф Фх + с ~ ф Нх *... « ~ 7'а =). 7'фЫх )ф — ~ )ф'г)т (интегрированна по»аетям) Р»4 1)ф (йт = фР» — ф'Р»-1) -1- ф Р»-д —...
-(- $ 1)» Чю»!1+ -(-( — 1)»+~ 1 цФ»+'~)ах 7, ~ 7(х) юй = ~ 1)ф(у))ф'(у)г(у 8. ~(7)"7 ~~=".~, При и= — 1 ~ )'«а (а) +. Ь)" 7' с(х = а(»+И (' 1' «х 2)! а) -~-Ь 3 у"а! -)-Ь вЂ” с(х»»1п — . )'ф — ф ) !ф ф «ж Г «а Г «а !(1~и) 3 !х 3 ф(!+Ф ' ~ == = (п(1.+ )! )""+а), 1' «а р" !ч==) 1«а а Г «и ь Г «а (1+а)(1+И а — ь а (1+а) а — ь «(1+ь) а=6 (1+а)* 3 !+ 5 (1+а)* ' Г " Г ф« (1+%)» 3 (!+Ф)»- 3 (1+ф)» ' 1 «а ( р! = — агсФд — . ра+аа!' М = — !и —. = — рн ~~ а»)а — р» 2ра д1-4-ра 10 11 12 13 14 15 При 16.
17. 18, 19 )х = ф(у)) (правило индотановки( 70 к нвопвидвлннныв интиггалы от злвмннтагных етнкцйи — ° = агсз(п — „ а" р ~ х ] ) у ае +Ы ь а«+ь ( — = — агсеес — . «у«)«аа а а 1 ~~=а™ вЂ”. ()'р — Я')'* агой ) ««+ч«а ~ «р (/'«р — /«р') ах 1 р — «р )а — «ра 2 Г+«р " 2 1 РАЦИОНАЛЫПэ(Е ФУН1ЩИИ 2.10 Общие правила интегрирования 2.101 Чтобы проинтегрировать любую рациональную дробную функцию —, где Р(х) и )'(х) — многочлены, не имеющие общих множителей, г" (х« г'(х) нуя«но сначала выделить целую часть Е(х) (Е(х) — мпогочлен), если таковая имеется, и взять интеграл от целой части и интеграл от остатка Интегрирование остатка, являющегося правильной дробной функцией (степень числителя в«еньше степени знаменателя), основывается на разложении ее ка элемен«аряые дроби.
2 102 Если а, Ь, с, ..., ш — корни уравнения ~(х) =О, а а, р, у, ..., р ил соответствуюпрзе кратности, так что ~(х)=(х — а)'"(х — Ьр]... (х — т)», то — может быть разложена на следующие злементарные дроби: «р(х) ) (х) «р(х) А, А + + ° ° -+ — '+ 1 (х) (х — а)" (х — а)" «х — а вв вр « в, +( ь)Ю+ ( ь]з-1+ "+*:ь+ + ° ° - - ° ° ° °......+ М М » . »-« + М, (х — и«)» (х — а«)" «х — х« ' где числители отдельных дробей определяются следующими фпрмуламк: «р«" — 1] (а) «р(й — 1) (ь] Ф(й-м>( ) Вх-а+«= (ь ()] ° )Уз ь+«= (ь И,, ...,М» а+«= — ™„ «р ( ) 'р(*](х а) р ( ) «р(~)( — ь]р ( ) «р00( — ~]» гх= )(х] ах= )() « ..««)«х=, и Если а, Ь, ..., т — простые корни, т.
е. а=)3=... =р=1, то «р(х) А В М )(х) х — а+х — Ь+'''+х — а«' 71 аа РАЦИОНАЛЬНЫБ ФУНКЦИИ где у (а) (у' (Ь) ' ' у(ва) Если некоторые корпи уравнения ) (х) =0 мнимы, то, соединяя вместе элементарные дроби соответствующие сопряженнык корням, можно после некоторых преооразованвй соответствующие пары дробей представить в виде действительных дробей вида М2х+В2 Мгх+В2 Мрх+))(р х'+2Вх+С+ (х +2В, +С) + ' ' ' + (х .+2Вх+С)Р ' 2.103 Таким образом, интегрирование правильной рациональной дроби т~ ) ( (х) приводится к интегралам вида т „или ~ „„С, р аЪ.
Первые для сг) 1 дают рациональные функции, для а= 1 — логарифмы; вторые— рациональные функции н логарифмы или арктангенсы: 1 — ( аах ( Н(х — а) а =Ю (х — а)" ) (х — а)а (о — 1) (х — а)а Г алх Г а(х — а) 2. ~ — =и ~ =й1п)х-а(. 3.
Мх+Л ( .Жв — МА+(ХС вЂ” МВ) х (А+2Вх+Схх)р 2(р — 1) (АС вЂ” В~) (А+2Вх+Схйр ' дх —,, + + (2р — 3) (Лс — МВ) ( Лх 2(Р— П(АС вЂ” В2) ) (А+2Вх+Сх')Р-1 ' А+2Вх+Сх2 у"АС В2 у Ас )Х ( 1 Сх+ — у  — АС рС 2221 2У' — АС ~ Си+В+У В вЂ” АС + ЛС вЂ” МВ 2 Сх+В гАС ~ 2222 СУ АС вЂ” В2 УАС вЂ” В2 = 2С 1и ~ А+2Вх+Сх )+ — Си+ — У'В - АС1 2СУ В~ АС Сх-)-В-(-у'В' — АС1 Метод Остроградского — Эрмита 2.104 При помощи метода Остроградского — Эрмита можно найти рациональную часть ~ — г(х без нахождения корней уравнения ) (х)= 0 и без раз- Г р(х) ) (х') ложеакя на злементарные дроби: Ф1149 Здесь АХ. Х, Р, ~) — целые рациональные функции от х, причем Р— общий наибольший делитель функции у 1х) и ее производнои 7' (х), (',) = —, лт- 7 (х) 72 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
