И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(см. 2.232). (см. 2.232). (см. 2.232). (см. 2.232). (ем. 2.232). (ем. 2.235). (см. 2.235). (см. 2.235). (см. 2.235). (см. 2.235). З. НЕОПРЕЛЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ От ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФРНКЦИЙ 2 зз+з / (2а — 2ж Э -3) () ( за с(з =(2 — 1)3 " (2 — 1)А 5, —.з/; ' 2 з /- 23 ~ ~-Ь (2аз — 1) Ь з'" +(2~в — 1) Ь ) ~зз-з у"~ * Ь/ум~-~ Х (й) Ьз з З) ( (,р) 2й — 2р — 2аз+1 Да (76(2) зУ зз 2 з~ 21/з з/зз Заза з ~ 2Ь/з +щз~~ за ) дз) ( рв( ( з, з) 5 3 ) Ьз ~.
7 5 ./ Ьз Г Юзз Ь 2аз)/зз / з а~ 2)/зз ,') )/з ЗЬ +Заз() ~ — — — ) — + '(» 3) Ьз 91 2.2 АЛРЕБРАИЧЕСКИЕ 'РУНКЦИИ 2.244 1 Б 3(Х 1.у; 2() (з+ а) ь у' МФ(з-)- ), 3 2()3 ( — 2за — аз) ьу. ьу зз Заз)) (г+а) ~ 3 Фаз ( 2за аз) ь у. ьзу' г ЗБ 2))3 ( — — зза+ Зза3 + аз ) ~, 5 ЬБУ' 3 2а' 33 Зх ( — ') ЬБ Узз С -В ("+23 -Я вЂ” -)- за уз Зь уР Ь' узз ЬБ У' ° юзах 2а' 6а ( ( 3) За (3 +233 3 Э БУ Зьу" з Ьзу" 3 + (- 33 аз Б 2()3 ( — — Заза — Ззаз+ — ) ~з з) ЬБ Узз (-: — ') ЬБ У ББ 4ар ( — — Д 2за аз'Б 2()3( + ) 3 5 ) ь УР ьУББ баз~( — — — ) За()3( 3' —.+ — ) 56 У зьу 3 ЬБУ 33 ЬБ Узз аз ~ 2ГББ (33+ Ззза — заз-)- — ) + ьзуй ~Гз — Г; а — Згз — ( ) Г '; ла 176(з) Зв Уз (2п — 233 — 1) () Зп Б " (2п — 2лп — 1) () .) зп Уз зп' ' г — (2гп — 1) Ь Г г'" ' (и — 1)ф Зп ' У 2(в — 1)5 ) Бв-Б Уз 1 зп' г (23 — 2гп — 3) Ь Г 333 Нх — — 3— (п — 1)А зп ' 2(в — 1)А,) зп-3 Уз в — 1 +~ (2п — 233 — 3) (23 — 2т — 5) .
(23 — Зп — 21+1) Ь" Б 25 '( — 1) ( — 2) ... (а — К) Аз Зп-А ( й 3 Ю (2в — 233 — 3) (2п — 2вз — 5) .. ( — 233+3) ( — 233-4-1) ьп ~ Г ББпах Зп-з.(в 1)) Ап 3 зУ 92 и. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ вэТНБЦИИ При л"'Ых 2 л'" Л (' л"' вал л )/л (2вх-1)Р )/л () лв л у'~ пв — в 1 —,—.= х ";+ — ~,—.-.
лвв в)х л" -" л Г 3* л )/л ~~ (2вв — 26 1) рл+ у/л 6 ) л у ~ — (а т/()Л () р л+)/))Л = — = — иус16 2 3)/л )/:()л Ь':рл 2)/л Ьс [рл> о); Вд <01; (л = 0). вв ~„. —.=...,— х 2 , ()'-'л' Р'" Г Ы ллвв )/'~ лт-в Ь/~ '-.) л" (2т — 2й+1) + лвв вЗ / - (см. 2 246). 2.247 ===+ — в (см. 2.246). 1 Нх 2 )) 1 Ех М)/'л Л)/'л Л 3 Л)/л ° 1 «)х 2 2() ()в Г Ех +=+ —, 1 = (см. 2.246). МР)/'л ЗЛл)/л Л'р л Л' Л ф'л — ° Ех 2 2)) 2))в ()в Г Ех ) + + +лв '"'6' ° ~ -=- ~ - ° .
° Ех Ь' Ь Г )х == — — — — ~ = (см, 2.246). 2Л 3, Ь/,- — ) —.. в)х 1 ЗЬ 366 Г Их ) — (см. 2.246). — ( . 2.246). х 1 36 ЬЬ)) ЬЬЗв Г )х — (см. 2.246). лв в)/ дыв )/ Злв*)/, лв Ь/ 2л э л у', «)х 1 7Ь 766 76()в Лвлв )/ л Лвлв )/л ЬЛРлв Ь~ л Здвл )/л дв)/л 76))в Г 4х — — — (см.
2.246). 2лв ) 7 )/л в)х )/л ЗЬ )/л ЗЬв Г в)х — = — — + Лв ЬГв 2ЛЛв 4лвЛ ЗЛв 3 Л )/л — — (см. 2.246). — +' + ' + )х 1 76 Ь/л 356в Лв )/ 2Лгвл )/ 4ЛМл Ь/ 12лвл )/ + + —, ~ = (см. 2.246). ЗЬЬ 3 ЗЬЬ ()в Г,)х 4Л')/л Злв 3 л )/л 0х 1 ЗЬ 636в Лвлв)/ л 2ЛЛвлв )/л 4лв1лв)/л 20лвлв )' л 216в() 636в))в 636в()в Г 93 2.2 Млп'иБРАи'%жсхии Функции 12.
~ =-= — + — ~ = (см. 2.246). Г лвСх 2 Ул Ь Г всх су' )) () с у'л 13. ~ = — -)-, + —, ~ . (см. 2.246). Г лвс)х 2з фсз 23 Ул ав Г <Сх 3 сУ~ 3() Р' 6* 1 с)Г; 14 (' лаях 2лв)~з Юлу л 2ввФ з вв Г ах — ж + 3) + ( +9*) ~".- *Ь'+ЬЧ' + Ь С ',) св у'л,Хю фа 2(),) с )/з з Их л В з Ьл)/з ЗЬу з ЗЬД с)х ) свусз Свс + Ра + Р' ~26* 5 с)Г ы Ь~ ь Ь~ ьь )с *' Зь~ у"' *.) с.у-, лс + 33 + 3()' + ()' + Г лЫх зУз Ьз вся ЬвУл Ьв Г Их 18. ~ == — — — — + + 3 св )Гз 2асв 43вс 4()ав 33Л 3 с У, Ь ° У Ь У Ьвл |/' ) С у'з 2алв 4АМ 4()ав * Ь *~/' ЗьлвУ'* Зьв У' ЗЬ У ) ссв вус'л 2асв авс 4Рав 4()ва + 13ьвУ 13Ь Л Г Ю 4()в + фз,) с ус (см. 2.246).
(см. 2.246). (см. 2,246). (см. 2.М6). (см. 2.246), (см. 2.246). (см. 2.246). 2.249 Ых 2 У з (2а+2т — 3) () Г сСх лала у'"з (2са — 1)а с» влт (2т — Ц а 3 Са «в-с у'з Ла 177(4). 1 ~/л (2а+ 2т — 3) Ь ~ сСх (" — 1)А л '" ' 2(а — Ц .) с -вз у'л При с)х 2 р сх (2т — цл, у, а,с „-. у; -+ сСх Уз ) — 1 1 — + .-,- Б-: ~.-Ц. а-$ + ( — 1) 1 З ( +2т — 3)(2 +2т — Ь)...( +2 — 22+1)ЬЬ- 2" в(а — 1)(а — 2).. (и — й) а са-и) — ~+ в=2 а в 1 х в (2и+2т — 3)(2а+2т — 5)...( — 2ги+3)( — 2т+1)Ь" с Г с)х ( — 1)" ' 2а с (а — 1)! йа с 3 ° у.
94 л нвопнндвл кнныи инткггллы от элимкнтагных эвикции 2.25 Формы, содержащие )/ а+ Ьж+ сжь Способы интегрирования 2.251 Рационализация подынтегрального выражения в интегралах вида « В(х, 1«а+Ьх+сха) с(х достигается с помощью по крайней мере одной из следующих трех подстановок, называемых яодс«я«ысовхах«и Эйлера: 1) 1/ а+ Ьх-4- сх' = хг -)- 1~ а и рв а > О; 2) 1«'а+Ьх+схх=| ~ х)«с при с) О; 3) )/с(х — хь)(х — х ) =Ь(х — хд) при условии, что корни х и х уравнения а+ Ьх+ сх|= О действительны.
2.252 Кроме подстаповок Эйлера, сув|естзует еще следующий способ вычисления интегралов вила ~ К (х, ~Га -с Ьх+ схь) «Ы1ри ночощи уничтожения аррацяональвостя з знаменателе и простейщик алгебраических операций подынтегральное выражение может быть сведено к сумме некоторой рациональной фукнции от х и выражения вида Р| (х) где Р, (х) Рь (х) 1 а+ Ьх Ь сх" и Р| (х) — два многочлепа, При помощи выделения из рациональной функции Р, (х') — целой части и разложения остатка яа простенькие дроби интеграл Рь (х) от послоднего выражения сводится к сумме интегралов, каждый из которых имеет один из следующих трех видов: Р(х) «|х , где Р(х) — многочлен некоторой степени г; Р а+Ьх+схь П. «Ь (а+ р)ь )«' а+Ьх+схь (Мх+Л~) Ь.
с Ь ~ (а+()х+х*) $«' с(аь+Ььх+х~) ~. с ' с .«' ' 1. ~ ( ) «',)(х)~а+Ьх+схь+Х ~, где«)(ф— ь«когочлен (г — 1)-в степени. Его коэффициенты, а также число Х вычисляются по методу неопределепныт коэффициентов иь тождества Р (х) =«()' (х) (а+ Ьх+сх|)+ — ««(х) (Ь+ 2сх)+)ь. Ф1177 Интегралы вида ~ ... (при г< 3) можно также вычислить. Р(х) Лх у а-~-Ьх+сх» пользуясь формулами 2.26„ Р (х) с«х 11.
Интегралы вида ~ при условии, что степень и (х+р)" Ь«а+Ьх+схь 1 многочлена Р(х) ниже й, с помощью подстановки Ь= — приводятся к х+р интегралу вида ~ - (см. также 2.281). Р(|) «й $Га-~ р«+ум (Мх-( Д««|х 1И. Интегралы вида ь вычисляются сле- '«(п+ах+ха)'» р с(а,+Ъ|х+х') дующим способом. и а АлгвВРАичнскив Фтнкции Если Ьд =в: (), то прн помощи подстановки 2.26 Формы, содержавдиеУ с«+ Ьдс-»- ох« и пелые степени ю Обозначения: дд=а+Ьх+схд, дд=4ас — Ьз Упрощенные формулы для случая Ь=О см, 2.27, 2.260 1 ~ ~ д/д~~~~,( в~ ')/~"' (2дв+2в»-!) Ь [ хл,, / — „, (лд+2в+2) с 2(т+2л+2) с 2 2.
1 ]/В " д( = + $/Л + +1 л д у/у" с(х Т(188 в (в+1) с 8(в+1) с гдддв ( (2св+«)д/ Й ( «(и+1) с + ~в~~ (2в+1) ( — 1)...(2л — г«+Ц дс А ~«+д 8«'в(п — 1)...(в — й) ~, с / ~+ «-о (2л-»-1)(! / а ~л+д ( лс + 8в*д(л+1)! ( с ) д) у)(" Т((60) 2.26$ При п= — $ д = = = )в (2 ]/ сй+ 2сх+ Ь) [с > О]; Агз)д [с>0, Л>0]; Ь/с )/л =:агсз(в [с < О, Л ' 0]; — 1 . 2св+Ь ф — с 1 = — )п(2сх+Ь) [с>0, 6=0], )/с Т($27) Д (38О 001) Т (428) Д (380 001) ад — а д — 1 Ь'(ад †)' †(аЬ, — вдВ)( — Ь,) х— +  — Ь, С+1  — ь, зтот интеграл приводятся к интегралу вида д Р (с) <Дд , где Р(1)— (д«+р) ) с(дд+т) ' многочлен степени не вътше 2дв — 1.
Интеграл д Р (д) ~й сводится (д'+р)™ )/д'+ч дй г дд к сумме интегралов вида д и 1 (с*+р)«удд» д,) (дд» р)«ь/с«+-., Если Ь,=($, то к интегралам вида ~ . приводит под- ~(д)а (д'+Р)™ )/с(д'+1) становка 1 =х -»- — . ь, 2 д (д Интеграл д берется с помощью подстановки с«+ а= и". .! (дд+ р)» Ь/с(дд+с) Интеграл ~ дй берется с помощью подстановки (П+ р)" )/с (дд+с) =о (см, также 2.283). Ф1178 — 82 Ь/дс-)-т 2 2 АЛРЕБРАИЯЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2 (2сх+ Ь) 8(в — 1) с ~ 3х Т (189) у" ))эв-1 (2п — 1) А у' дзи- ~ (2п — 1) Л вЂ” + 2 (2сх+ Ь) — Х (2и 1) А У ))эп-г 2.264 (см. 2,261). — — — = (см.
2.261). У"Л Ь С Зх с 2с 3 угд ( хэ 5Ьх 56* 2а ~ с— — — — ~- — — — ) "у'га— Зс 12са + 8сэ Зса ) (см. 2.261). (см. 2.261). 2 (2сх+ Ь) А У'Л 2 (2а+ 6х) д у"л (А — Ь ) — 2аЬ 1 ~ гх сЛ)'й + ~~ (см.. ). сЛхэ+Ь(10ас — ЗЬэ) х+а (8ас — ЗЬв) ЗЬ Р ах уг вэйэ г(х = хт Т (195) При вэхс1 сахат У ~ + — ~ ~/Вэ" эо(х+а ~ У с)х. Т(198) При а=О У (Ьх-г сх')э"' 2 Уг(бх — 'схэ)эв э г(х = х"' (2п — 2иэ+3) Ьх" 2(гв — 2в — 3) с ( у (Ьх-гох )э"" д 169 + (2п — 2т+3) Ь ) х"' 1 При вэ=О см. 2.260 2.
и 2.260 3. 7 хвалили интегралов 1. 2, з. 4. 5 6 2.265 йх у 7(эйиэ в — 1 х ~1+,р,' А=1 8" (и — 1) (и — 2)... (п — й) са а') (2и — 3)(2п — 5) ..(2п — 21г — 1) Ай эг 1 1п~11. Т(191) У" Лэв"э (2и — 2т+5) Ь (' У' Аэп'г (е — 1)ахт э + 2(иг — 1)а ) хт э с(х+ (2п — т+4) с (' У Вэп" + (т — 1)а 3 х"' э агх. 98 8. иисириииииииыи иихисрааы сх слимииха~ мыл аииииии При и= — 1 и т = 1; 4 )и са+Ьх+2 у аВ [, > О[ уга ассвш — -+ [а ( О, 2х а, О[; у — а х )' Ьс — 4ас 2а+Ьх ( 2а-)-Ьх — = Агаев у а хуго — — Ахмад + [а > 01; уга 2 уга у'Л =-)п + [а > О, Л=О]; 2 )г Ьх+схс Ьх 2.266 Т (137) Т (138) Ла 178 (6) и Д (380 111) [а < О[) [а>0, 24>0) Ла 170 (16) 2.267 При а= 0 )2 (Ьх+ схс) сг(Ьх+ схс)с ЗЬ г ( а 36с Г с)х +, "усдх+еха+ — ~ (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
