И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 11
Текст из файла (страница 11)
нноьсьвдвлвнььььв интвгеилы от элвмвнтиенык т~ ннции 2.11 — 2 13 Формы, содержащие биномы а+ баси 2.110 ФоРмУлы пРиведениа длЯ гь — — о+Ьхи. хи" хт и и и Г ит-ь 1. ~ х гд аьхьт + и гь с]х= хи ! Р (ай)ь (пь+1) т(пь — 1,...(т — и+ 1) хьт ' т+( Х [тй+ и+1[ [(т — 1) й+и+1)... [(т — ь) и+и+1) те + (ай )и" т (т — ( и, . (т — )ь+ 1) (т — р) х"г ' с(х (пьй-ь ьь-)- С) ((пь — () и+ьь-С-1] ., [(т — ььь а+ и+1] ~ хи ььт ь йьи+й+ + ай (т+ 1) ай (пь -]-1) ) и+ь т „,„,„, 3..
~хгьс(хии — ~~х гй- (х. = и+1 и+1 Э иьоь т+ь и иь ( ь ьь+) й Гь и-и иь ь.ь 4. ~х гь с(х= „— „+ )х гь' их. хи" Игт" а(и+1) а(и+() Ла 126 (4) Ла 126(6) Ла 125(1) Ла 125 (2) Ла 126(3) Ла 126 15) Формы, содернсащас биномы г =и+(ьх 2,111 ат 1 1, ~ гтс(х= — ' +1) ' При пь= — 1 Ых 1 — = — ]вг . а, Ь 2. хи аьх хи иа ~ хи ьь(х ьт ьт '(и+1 — т)Ь (и+1 — пь)6 ) хиь ь При пиииг — 1 можно применять формулу: 3. ии-ь и хт-ь х ьи - ь хт ьт ь(т — 1) й+ й ь) аьи ь При пь=1 хиь(х хьь ахи ь аьхи и аи-ь х ( 1)и ах — 1'и '— ( — 1) й + ( — 2) )[ (а* ' ' '+ ( 1' 1 йи + и-ь ) и, (и — й) йь' аи иаи-! +( — 1)" ' — „„+( — 11"'ь й„., ]их,. хь полипом степони не выше пь — 1, если па†степень полннома ьь, и Ж вЂ” полипом степени пе выше и — 1, если и — степень полинома (',). Коэффициенты польшоььов М и ]Ч определяются путем сравнения коэффициентов ври одвпаьсовыл степенях х в следующеьь толсдестве: ф (х) = ььХ'сь — М(Т (',)') + ]П), где Т = —, М' и ()'- производные полнномов ' ' я (',).
/( (х) В га рационлльныь еуннпии хИх х а — = — — — 1п2 ь ь хл Ых хл ах ал — = — — — + — )пг . л 2Ь Ьл Ьч !' ах 1 л( Ьл! хааа х 1 а 1 — = — — + — 1пч =- — + — 1пг, л,' Ьлч Ьл ' Ьлл, Ьл ла ах х а* Ь~ — — 1и 22. Ьл Ьллч Ьл Фх ! л1 2Ьлл ' 1 хл ч(х Г 2ал Зал ') 1 ! — = ~ — + — 1! — -+ — 1п2. 4 1 Ь' ЬЬл! л' бл х"ч(х Гх . а л а б а'Л 1 а = [ — -1-2 — хл — 2 — х — —.— ~ — „. — 3 — 1и г . лл ~ Ь Ьл Ьл 2 Ьл ) л) Ьл !' ! Зьл, х" Ых Г лл Захл алх а" ! 1 — — — + — + +— 1 Ь 2Ьл Ьл 4ба.1 л) Ь (2 — в — лл) ( ах .(„,) ~ х«-1„„° хвл"' (в 1) ахв чл«ч ' 1 1 (лл — 1) Ьл, "ч +'1 хл«ч-ч ч « — ! ~ —,=х сЬ ( — 1)аба л ( — 1)вбв ч лч -1- — — )ив =,~) (в Ь) аах«-а ав Ьв! 74 2.118 2Л 19 1 1, зд — — — 1п— аз, ав х 2.121 2Л22 Г Ых ГИ 5Ьх Ьвхвд 1 1 з, 1.
~ — = [ —,+ — + — — ~ — — — -1п — ' хг' [еа 2ав а' ) з" а' х 1 ах 1" 1 22Ь 10Ьвх 4ьвхв ") $4Ь з Зж~~' 1 ах+Зад+ ав + ав ~ з1+ ав 3 ~ ах ~ 1 5Ь 556в 25ьвх 10ьвхв 1 В 10Ьв з 1в — ' <Ь' Г 1 125 Ь 65ьвх Зььвхв .) хвзв [. ах 12аз За* 2ав Зх Г 1 ЗЬ 125ьв 65ьвх 3 1 =Г хвз1 [ Ых~+а'х + 4ав + ав 2.124 Формы, содержащие биномы з =а+ 1 зд — — 1п— ав х 5Ьвхв 1 5Ь з, ав ~ з(+ ав 1в 105Ьвхв 15ьвхв1 1 + Зад + . ],; 15ьв з ад х 1п 1. ~ — == атеях ~ [аЬ > 0) (см. также 2.141 2.); Газ 1 ГЬ зв )/аЬ 1в [аЬ < 01 (см.
также 2.1432. и 2.1433.). 2д 1/ аЬ а — хв )д'аь 2. ~ — = —, (см. также 2Л462., 2.1466. и 2Л8), 1 2 3 1 2 3 з. нкоппвдклкннык инткгтглы от элвмкнты*ных а д няцки — = — — !п — . аз, а х Ь 1 Ь вЂ” = — — + — 1п —. хвз, ах ав х 6* 1 Ь Ь вЂ” = — — + — — — 1п —. хвз, 2ахв авх ав Г1 251 1 2Ь зд — [ — + — [ — + — 1и — д . [ зд ЗЬ ЗЬ" 1 Д ЗЬ вЂ” — + — + — — — — 10 —, Захв Заза ав ) зд ав х ' ° З Ь~1 — + — [ — — — 1в — ' . 2а ав [ зв ав х Г 1 9Ь ЗЬвх1 1 ЗЬ з + + ~ 1+ 1в ° [ ах Зав а' [ з,' ав х 1 2Ь 9Ьв 6Ьвх 1 1 ЕЬ' в 2ахв+аз.в + ав + ав 3 з1 ав х 2 1 РАЦИОНАЛЬНЫИ ФУНКЯИИ Обозначение: а 1/в Г Ь 2Л25 Ла 133 (1) 2Л27 (см. 2.126 1.).
(см. 2.126 2,). (см. 2.126 1.). Ла 133 (2) 2.129 (см. 2Л26 2.). (см. 2Л261.)„ 1. 3. 4. 2Л28 Формы, содержащие биномы з =а+ Ьхз хл Зх хл-3 (в — 2) а (' х" зЫх з(л з",' з(и+1 — Зш)Ь Ь(и+1 — Зш) З зшз хил(х х"" и+4 — Зт (' х" Нх ш З (ш — Цз',-' 3 ( — 1) 3 — х = — -~ — 1и ('+ ) +)/3 агой ~ — = — -( — и + агой (см. также 2Л413.
и 2Л434.). з' Зх 1 Г 1 (х+а)з г — 2х — а) — — — — )и — )ГЗ агс(6 з Зба ( 2 хз — ах+а' а )ГЗ (см. таМке 2.1453. и 2.1457.). — 1п(1+хза ') = — 1и гз. Зд ЗЬ вЂ” — — (см. 2Л26 1.). Ь Ь,) *з х' а Гаях 2Ь Ь 3 з (см. 2Л26 2.). ах 1 Ь (Зш.4- и — 4) ( ((х хлзл (и — 1) ах" зз)л ' а (и — 1) З л-з~ззз + Ых 1 и+Зш — 4 ( Зх хлзшз За(ш — 1) х» ззш з+ За(ш — 1) З хпзт-ь Фв 1 1 да — = — -(- — )и — . ва( ваа ьаа (см. 2.126 2.), (см.
2.126 1Ф ФоРмы, соивРжащие биномы аа=а+Ьаа йа — О Обовначении: а= у — а' =у ь у ь 2. 132 (съ. также 2.1414.) (см. также 2.143 5.). агс13та у — (аЬ > О) (см. также 2 1454.). )и + (аЬ < О) (см. также 2 1458.). 4а р'аЬ а — д"а р аь .а' — ад р 2 )-а' 2 ад )~ 2 )Г 4Ьа Ь' 2 1 да+ад р 2-1-а' а' — да — —, ~ 1н, — 28хс56 —,~ 1 "1 и+а' 1 (аь < 0), 4Ьа 1 * — а а' ) 1 — )н за 4Ь 2.133 дв аад аваа 4а (т — 1) ат"' + и" аад .и-а ат а(и ' (и+1 — 4ш)ь 4т-и — 5 Г дв )д 4а (ш — 1) ) ат (и 2) д ~ дп-а ~)и Ла 134 (1) Ь(в+1 — 4 ) 1" 2.134 Г аадд да 1 4. аа да 4даа 45*4 ' Г 1 ) да~а (и 1) див" ааРа-а При в 1 (см.
2.132 1.). (см. 2.1322,), (см. 2.132 3.), Ь (4т+и — 5) Г а)в (и — 1) а ) дв-аа а. нкош идклинныи интегралы от елкмкнтаеных етнкции 77 2,1 РАЦИОНАЛЬНЫН ФУНКЦИИ ь(х !о х !и х 1 14 — = — — — '= — !и— хх„а 4а 4а а, (см. 2.132 3.). 2.14 Формы, содери1агцне биномы 1 ч-х' — = !п(1+х). 1+х —, = агой х ха — агсссд т (см.
также 2.124 1.). ~ а:= 41 2 --1 и - -1 г — = — — ~ Р соя — л+ — ~~~~ 4/аяп — и ах 2 2а+1 2 2а+1 1 фхх а ьь а и а н а ! и- положительное четное), и †в — 4 4 2 ° =-!п(1+х)-- У Р„соз — я+ — ~~~ Цьвгп —, л 1 2 2й+ 1 2 22 -(-1 и 0 а~! (и — положительное нечетное!. Г (45) Р— !и ~ах-2хсов — л+ 1). / 2(ь-(-1 п 22-1-1 22+1 и аьо — л х — со — д и и 4',)д — — агсц 2! ! ! агс16 2 ь.
1 — х сои — Л НΠ— и ьь ьь !Н(1-х). (и — = АРФАХ 14 х 1 — х ха ( — ! ( т ° 11 (см. также 2.141 1,), !п — = — Агой .» х+1 )х> 1, 2 < — 1!. а 1 У 1+х+х1 1 хУЗ вЂ” — !п 1 — х' 3 1 — х у" 3 2+х + =Итогов (см. также 2.126 1.), ах 1 1+а 1 1 = — !и — + — агсь2 х 4= —, (Агс)2*-(- агсгд и) 1 — х4 4 1 х 2 2 (ем. также 2.1321.) ах 1 1!-а х )/'3 —, = — !п + = агс13 — (см, также 2.126 1.) 1+ х' д У1 — х -(- хь )/'3 2 — х ах 1 1-1-х !/ 2+х" ь х !/2 , = — !и += ага!а и (см. также 2,132 1.), 1+х 4у 2 1 — ху/2+-хь 2у 2 1 78 2.144 л — -! 2 Г (47) 2, »=О 2.145 (см. также 2.126 2,).
(см. также 2.126 2.), 2.146 Прн и и л — натуральных. (и и" ап~, А(44)и 2 3 4 5 6 7 8 г. НеопРждклкннык инткРРАлы От элймкнтАРных Функции с(х 1 1+х 2 чз 2(с 2 л"с . 2гс — = — )в — — — ~~ Р»соя — !с+ — г, (',) йд — д 1 — х" л 1 — х л» л и» л » 1 [д — положительное четное). 2)с Х вЂ” СОЯ вЂ” Я Р» = — )в ~х — 2х сок — н+ 1У), ~)» агой 2й и лис — л и — )в(1 — х)+ — Я Рдсоа — к+ 1 2 2(с+ 1 и л л + —,)~ Гс» я(в — л (л — положительное нечетное) 2 . 2(с-(-1 Т(49) й=сс 2»-(-! и+ Сои — и, Р = —,)в(х'+2хсоя я+1), ()„=агс»6 бей — Д л — =х — )в(1+х).
х с)х 1+х = —, )в (1+ха). 1+х* 2 х бх 1 (1+х)» 1 2х — 1 = — — )и , +=агс16с= 1.+и 6 1 +х )с3 )сс3 хих 1 — = —, агой х». 1+хи 2 х ссх — = — )в (1 — х) — х, 1 — х х )х —, =' — — )в (1 — х»). 1 — х» 2 х с)х 1 (1 — х)' 1 2х+ 1 — = — — )в , — = агой= 1 — х» 6 1+х+х» )с 2 у"3 — 4 )в 1, (см.
также 2.1322.), х~ сс)х 1 слл (2(с — 1) Г 2)с — 1 1+хсл = 2л — ~с~ сок 2л )и ~1 — 2хсоа: к+ха~+ 2л 2(с — 1 Х СОЛ вЂ” и + — ~~~ а(в 2 агс»8 иск (2(с — 1) 2л »=! с)л , д 2.1 РАЦИОНАПЬНЫИ ФУНКПИИ г, (т е, 2п), Т(46)и (т < 2И]. Т(48) 2й — 1 щ 2 . тл(2й — 1) ~~+1 +( — 1) '2 +1 „5) в(п 2 +1 агой вй 1 (т'а 2п). й-1 ЫП вЂ” Л 2п-)-1 Т (50) 2.147 х'" ах 1 (1 — ха)" 2 — т — 1 хиВ й — 1(х. 1+ха Х т — 1 ( х"' йвх 2П вЂ” т — 1 .') 11 — ха)е Ла 139 (33) 2.148 1 При т =1 вх 1 1 (' ах х((+ха)в 2 — 2 (1+ха)а-~,) х(1+.са)а а Ла 139 (31) 3, 4. ')х 1 +1 (п (1+ х) 1+хааа( ( ) 2В+1 1 тл (2й — 1) Г 2й — 1 — — ~ сов, !п ~1 — 2х сов — ж+хй~+ 2В+1 2В+1 2е-)-1 й 1 2й — 1 + 2В+ 1 ~ в1п 2В+ 1 агс19 й 1 вйп2 +1 л хт "дх т» = — (( — 1) ' 1п (1+ х) — )п(1-х))— 1 йтл йл — — ~~~ сов — !и ( 1 — 2хсов — +ха )+ 2П П В а — 1 х — сов— йл 1 . йтл П + — ~)~~ в)п — агой П П йл й 1 П)П— Л хт" а ах 1 —.— = — — )и (1 — х) + 1 — хна 1 2Л+1 й 1 Птах 1 (' хтее 1 (' хтпх 1 — хаа 2 3 1 — хе ( 2 ) (+ха — -+ --~ х"'дх 1 х"' 1 т — 1 (' х"' еах (1+ха)е 2В-т-1 (1+хз)а-1 + 2В-т — 1 ) (1Ч-хь)е ' Ла 139 (28) (1 — х ) 1 хт-1 т — 1 ( х"' аа 2 — 2 (1 — хй)а ~ 2Л вЂ” 2 ) (1 — ха)в й хт дх хт-~ (' хт-~ Хх 1 — хй т — 1 в 1 — х* ах 1 2П+т — 3 ( ' ах хт(1+хх)е т 1 хт 1(1+В*]е ~ т — 1 ) хт-*(1+ха)е Ла 139 (29) При ив«1 и п 1 3х х (1+хз) )/1„) хз дх 1 Их хв(1+ха) (пз — 1)хх ' ~ хзз з(1-)-хз з(х 1 х 2в — д ( пх (1-(-хз)«2« — 2 (1+х«Р' ' 2в — 2 ) (1+аз)в ' «1 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
