И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2.261) +3(Ьсх+2ас-) Ь ))2-д (4 (а) 4 Их 3 д Г 4а (см. 2.261 и 2.266). При а=О х= — +с 4 см. у Ьх+схс а 2Ф Ь + Я+ 1 г)х (с 2261) х — +с ~~ см. (~ 2+4 2~ ~ 2) ~ При а=О у Ьу+схс 2 у (Ьх+схс)с 36 ° У'Яс У В~ 26сх-~-Ь'+8ас ~у х 3 Вс +ах ~=+ ~ = (см. 2.261 и 2.266). с)х Ь(42ас — Ьа) г Их УЛ Ы )2.Л 2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКНИИ 99 При а=О 2.268 хвв )Г)вввв1 (т 1) ах в в у Н ~~ в (2л+2т — 3) Ь (' ах (2л+2т — 2) с Г ах 2(пв — 1) а ) .вв-в у" рва+в (т — 1) а 5 хш-ау")(Ьаавб ' При си=1 дх 1 )Г лад+в (2л 1) а )Г)) в- При а=О сх 2 хвв ЬГ(Ьх+схв)вв в (2вв+2т — 1) Ьхт у' (Ьх-)-схв)вв в (4л+ 2т — 2) с (' ах (Ха+За — 1) Ь св хвв-в )/(Ьх ( схв)в» в ( Ра ' ) 2.269 $ 1 х (см„2.266). х )ГВ ,ь у'л Ь (' Ь (см.
2.266). )ГК * 2 2 ху'В При а=О При а=О 2(Ьсх — 2дс+Ь )+ 1 1 сх ( 2 266) у"яв дв у"д а ) х)Г я При а =О Г ) Ых 2 Г 1 4с 8свх ~ 1 х ЬГ(ьх+ сх')в 8 в. Ьх Ь' Ьв Г )ГЬх (-авв' (смв 2.266). При а=О Г ах 2 Г 1 2с 8с' 16свх~ 1 в у'(Ьх ( схз)с 5 в, Ьхв Ьвх Ьв Ьв / )/Ьх ) схв в)х Г 1 54 15Ь4 — 62асЬв+24авсв Ьс(15Ь' — 52ас) х'в 1 155в — 12ас в Их 2ави ) 2 Ум 8дв При а=О дх 2 Г 1 8с 16св 64св 128свх в 1 ( — .~.—,,— —, хвуГ(Ь +, ) 2 ~ Ь' 5Ь'*' ЬЬ' 5Ь' 542.1уЬх+ *'' 2в 2, НЕОЦРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФРНКЦИИ 2.27 Фориы, содержащие фаз-~ сха и целые степени х Обозначения: и=~/а+сха.
= 1е (х р с+ и) [с > О]; =асса(их 21 "' [с<0 и а>0], 1 )à — е а — 1н ) [а ) 0 и с) О]; 2 $' а и+)Га =1е " [а>0 и с<0]; 2$/а ) а+и 1 / с 1 1 Г а агснесх у — — = агссоз — [1 — — [а(0 и с) О]. ~ — а у а х е Д (201.9)и Д (203.9) и и дх = — хи + — ахи + — а хи+ — ав1 . 1 с 5 в 5 а 5 6 24 16 16 3 3 и а(х = — хи + — ахи+ — аа1 . 4 8 8 а. 1 1 ис(х = — хи+ — а1 . 2 2 ~ Им !(х 1 х ив аи и — 1 ь=о ха)х 1 иаи ! (2и — 1) сиаи ! 1 хиа 1 ахив 1 аахи 1 а* хаасс(х= — — — — — — — — — — — 1 . 6 е 24 с 16 е 16 с 1хив 1 ахи 1а' х'и с(х — — — — — — — — 1 .
4 е 8 е 8 с ха 1хи 1 а — с(х= — — — — — 1 . и 2 с 2 с ха х 1 — «(х = — — + — 11. иа еи с хв 1 хв — !ах= — —. ив 3аив' и — 2 Г == ( г. хайх 1 вв ( — 1)а ~'и — 2~ вахах в [вава! аи а,~2 2)!+3 ~ $ ) аа"в 2 Π— + хв ах 1 а и*"'! (2и — 3) саиаи в (2и — 1) свив" а Д (230.05)и Д (230.03)и Д (230.01)и Д (200.01)и Д (200,03)и Д (232.03) и Д (232.01) и Д (202.01) и Д (202.03) и Д (202.05) и 101 йа АЛРВБРАИЧИСКИЕ ФУНКЦИИ 2273 1 хаив ахив айхий Зайди Зав 1. ~ хаасс(хай — — — — + — + — + — 1 . 8 с 16сй 64сй 128сй 128сй 1 хйий схыв айхи ай 2. ~ хвис(х= — — — — + — + — 1 .
6 с Зсй 16 й 16 й 1 ) и 4 с 8 сй 8 сй Гхь 1хи ах 3 а Г ив 2 ей сйы 2 сй й' Гхв х 1 хь 1 5. ~ — с(х= — — — — — + — 1 . З иь сйи 3 сий сй Гхь 1 Д (2(М.07) и ,) ыйи+ь ды й ~ 2й+5 ~ )ь /,, йв ь и О 1 2а ай (2 5) свийй-в + (2и — 3) свийи в (2и — 1) сйийи-ь . Д(205.9)и Д (234.03) и Д (204.01) и Д (204.03) и Д (204.05) и ~ хьсх ийй ь 2.274 1 Здй (2 — З)с цй-- + 2.275 1 2 3 иь ць 1 — вХх = — + — див+ айи+ ас1 5 3 й" ий иь — с(хий — +аи+а'1 .
3 й. — с(ххйи+аХ . и 1 авив дхаць айхпь аахив Здахи 3 ав ь хвий вьх — + 1. 10 с 16сй 32св 128сь 256сй 256 сй й 1 хаий 5 ахвиа 5айхив 5аахи 5 аь 8 с 48 сй + 64св 128св 128сй Г хй 1 хьи 5 схви 5 айхи 5 ав 3 Г (х + и 6 с 24 с 16 сй 16св Х. Г хь 1 хь 5 ахй 15айх 15ай 4. ~ — ~Ь-- — — — — — + — — 1. ,) ий 4 си 8 сйи 8 сйи 8 сй ь' Г хй 1 аь 10 ахв 5 айх 5 а 5.
12 — с(х = —. — + — — + — — — —. — Х . З иь 2 сий 3 свив 2 свив 2 св Г хв 23 ив 7 ахй айх 1 6. ~ — баххх — — — — — — — + 1 . ,) и' 15сы' 3 сйиь сйиь+сй Р хь 1 йа 7. ~ — вХх=- —. 4 ий 7аий С й с(х 1 ~й ( — 1) /и — 4~ с"х'""' ивы+в аи-в ~ Зь) 7~ 4 ) цйй й й О хй ах 1 За 9 ий" ь (2и — 7) свай" '+ (2и — 5) свив" ь дй + (2и 1) свисс-1 ' Д (206.01) и Д (206.03) и Д (206.05) и Д (206.07) и Д (206.09) и Д (207.9)и Д (241.05)и Д (241.03)и Д (241.01)и Д (221.01)и 2 НКОНРЮДЕЛБННЫГ ИНТВГРАЛЗй ОТ ЭЛЕМИНТАЮ~1Ь1Х ФРНКНИЙ Д (242.05)и Д (242.03)и Д (242.01)и 6 2.276 2 3 7 з 2.277 Д(245.03)и Д (245.01)и Д(225.0$)и Д(225.03)и 2 2.278 иа ць — ей=в 5ахь и иа 2 сиа — с(х = — — -з.
—— аа 5ахь+ 15 азха Д (246.03)и Д (246.01)и и-1 Зх 1 1 хи™1 а" а+ з ' 12з+11аа аииз з а а иь иь 5 а 15 15 а — 11х = — — + — схиа+ — асхи+ — аа1 . хз х 4 8 8 з и иа д — з(х = — — + — схи+ —,а1 . ха х 2 2 и и — ах= — — +1. хз х 1' из иь 5 а 5 5 — сьх = — — + — сиз+ — аси+ — аас1 . хз 2хз В 2 2 и. цз 3 3 — Ых = — — + —, си+ — ас12. ха 2хз 2 и и с — Ых= — — + — 1 .
хз 2хз 2 ах и с — = — — — — 1 хза 2даз 2а з. ах 1 Зс Зс хаиз 2ахзи 2ази 2аз ах 1 5 с 5 с 5 с — — — — — — — — — 1,. хаиь 2ахзца 8 азиз 2 ааи 2 аь — — + + ас иь ~х аиь 2еси сзхи 5 хь Зхз х 2 2 з* и' и" еи — 11х= — — — — +с1 . хз Зха х и из — сьх = — —, ха Захе ' а+1 А=2 — Их— иа и" 3 сиа 3 сзи 3 ха 4хь 8 ахз+8 а 8 сз1 , и и 1 си 1 са — Ых= — — — — — — — — 1 .
хь 4хь 8 ахз 8 а ах и 3 си 3 сз — = — — + — — -ь- — — 1 . хьи 4ах' 8 азха + 8 аз Сх 1 5 с 15 сз 15 се хзиа 4ахзи 8 азхзи + 8 ааи + 8 аа + 1 Д (243. 05)и Д(243.03)и Д(243,01)и Д(223.04 Д(223.03)и Д (223.05)и Д (244.05)и Д (244.03)и Д(244.01)и "( —:)'" '). аа АлгеБРАичесние Фъ'пк1(яи Д (226.0$)и О 6 о з и а ч е н н е: гг = а+ Ъх+ сха См. также 2.252. ах г" 141 Г 11 Г(= — 1( (х+р)" ф/д ) Ь/с+ (ь — 2рс) с-(-(а — ьр+срс) сс ~ а+рл 2.281 2.282 =с 1 =+(Ь вЂ” ср) Ь/ды г х,Ь .+Р,) Ь/д Кх 1 (х+р)(х+д)Ь/д а — р . г +(а — р+ср ) 1 Сх 1 ( ах (х+ р) )/гд р — д,) (х+а) Ьгд У ДСх 1 (, УтИу 1 1 1/2И (х+Р)(х+М 4 — Р ) х+РР— Е -) х+С ~ (х+Р) )/дах ~ у'(х (Х+(р )) ~ 1 (гх-(-с) ах з — рг (' ах с — аг Г Нх (*+р)(*)-С) Ь/Д 4-Р,) ( +Р) )/Д Р вЂ” С ) ( 4-4)~/Д' ,Ах+В) ах А 1 с(а 2Вс — АЬ 1 (1 — ссс)а 1 с(а (р+д)а угд с ) (р+ас)а 2с,) Г Ьс )а> р+а — — — срюс ~ 4с 2.283 г — Ь+2сх где и= )/гг' и о=в 2с Ь/Д .4х+В ( А ~, 2Вс — АЬ (р Гд) )/д с )/ сср [Ь~ — 4(а+р) с) где 1г = — агс18 1/ д (Р ) О); — (р <01.
2 'с/ — р )/ — р+ Ь/д 2.28 Формы, содержашие р'сь+Ьх+схх и многочлены первой и второй етепеви 104 з. нкопккдклкнныи ннтвггллы от элвмннтагпых эгнкпии та=агс19 р~ 4 [р(Ьз-4(а+ р) с) > О, р(0]; -эгозим, Р + х [Р(Ьз — 4(а+Р)с) > О, Р>0]; Ьо — 4(а+р) с 1/В = 1 )п о ( +Р)с ) +~ 'о( + '*) [р(Ь' — 4(а+р)с) <О, р>0]; )/4 (а+ р) с — Ьо 1/ Й вЂ” Ь/р(Ь+ 2сх) — 11 1 ~ оо ~~~ о о '<о'о > Э(о'-4(.ор> 1<ар<со 1/ Лх — 4 (а+ р) с )/ А+ )/ — р (Ь+ 2сх) 2.29 Интегралы, приводящиеся к эллиптическим и псевдоэлшштнческим 4.
)/ а+ Ьх+ ох*+ Нас+ох'+ Ьх'+ ах' 1 Г ах 1 Г Ь )/2,) Рс(х+1) р )/2 ) Ь' (х — 1) р [х=з+ )/х~ — 11; + ' ~), ~хая ]/З Цо где р = 2а (4зх- Зз) + 2Ь (2зз — 1) + 2сз+ с(. 2.290 Интегралы ~ Л (х, ]/Р (х)) с(х, где Р (х) — многочлеп третьей или четвертой степени, путем алгебраических преобразований сводятся к сумме интегралов, выражающихся через элементарные функции, и эллиптических интегралов (см, 8.11) Так как подстановки, преобразующие данный интеграл в эллиптический интеграл в нормальный лежаядровой форме, различны для различных промежутков интегрирования, то соответствующие формулы даны в разделе определенных интегралов (см. 3.13, 3 17), 2.291 К интегралам вида ~ )т(х, р' Р (х)) с(х приводятся некоторые ин- тегралы нида ~ В (хД/ Р„(х)) с(х, где й> 2, а Р„(х) -многочлен, степень которого выше 4, Ниже даются примеры такого приведения.
— ~*- —:1 ° 2. [ха = з]. )/а+Ьхо+сх~+о(аа 2,) 3lах+Ьхо+схо+ахо 1 3. ~ (а+2Ьх+сха+рхо) Ых= — ( 2,) В ~з [а+2Ьх+схх=за, А=у~ +~ +( ) +зх, с и-о ь~~-~* — с.1. 105 2.2, АЛГББРАИЧЕСКВВ ЮУНКЦИН 5. ах Р' а+Ьхс+сха+Ьха+ахс [х=)/ у], 1 (' ах 1 (' г«х 2~/2,) )/(х+1)р 2Р 2,) ЬГ(х — 1) р ах«(Ь 2р'2 3 Ь'(х+ 1) р 3)/25 3/'(х — 1) р [у=г+ «' 22 — 1]; [у =г — Ь' га — 1], где р= 2а(222 — 1)+ 2Ьх+ с.
с«х 1 / а <Й 6. р'а+Ьх'+сха 2 г с ) р «р'а-«-Ь,«а+асс 2Р'2 с с ( а )' (х+1) р ) )/(х — 1) р) 2Р 2с с 1 ~ )/(х+1) р ~ ~I(х — 1) р) [1 = х+ «/ 22 — 1]; [Ю = г — 7гх2-1], где р=2а(222 — 1)+ Ь2', Ьг= Ь [/ — „ х ах [' гааз «Га-~-Ьх'+схс .) р' А+на' (а+ Ьха+ сха = га, А = Ьг- 4ас, В = 4с), 8.
1 ° ах 1 $/ Ь вЂ” а (с — хс) +Ь «са-«-сьхс+схс,) (с — ас) рсЬа — а(с — сс) Л, (гс) хейг+ 1 1 ,) )' Ьс — а (с — за) где Л, (га) и В (га) — рациональные функции от га; а+ 2Ьхг+ох'= х'х'. 2.292 В некоторых случаях интегралы ~ В(х, рср(х))с?х, где Р(х)— многочлен третьей или четвертой степени, могут быть выражены прв помощи элементарных функций. Такие впгегралы наэываются ясеадоахлишаичесви.ви. Так, если имеют место соотногпепня: ~,(х)= — ~,( — „, ), ~,(х)= — ? ( ), ?а(х)= 12( 1 * ) то 1. [ ' * = $Л«(х)с?г [ах=а'х(1-х)(1 — йгх)]; ,) Г' х (1 — х) (1 — Йсх) З~*(~ - Ь' )-« . Р' 1 — х 2. ?2(х"* = ['В,(х)Ь ?с(х) Ь ('Л ( А г х г х где Вг(г), Ла(г), Ва(г) — рациональные функции от х.
106 ! неопРьдвленныв интГГРАлы от элвивнтАРНЫХ ФуНкЦИЙ 2.3 ПОКАЗЛТЕЛЫ1АЯ ФЪ'ИКЦИЯ 2.31 Формы, содер!Казцме е' еа е(х=— а" в подьппегральных функцивх следует заменить через е™ а=а*. 2.311 2.312 2.313 — = — [тх-!и (а+ Ье )[. ах ! Яйся а+ Ьееех а!в 1 +-= — +""= :=' 1 е.= — ' ('+~). ==агс13(е™~ ~à — ) [аЬ > О[; 1п 1 Ь+еа!х у — аЬ 2 Р" — а« Ь вЂ” У' — ай е)х ! ЬГа+Ьеах — г' а ==1п ..
= [а>0[ У' а+Ьеаа хеф/а уев+беме+ г' а 2 Р' а+Ьеах агс«к [а < О[. щ р' — а )/ — а П (410) П (409) П (411) ;1 2 2.314 [аЬ < 0[ 2.315 2.32 Показательная н рациональные фуякпии от ж 2.321 1 2 а а,) а ~х х= ! — +~г, — " х ) в(в — 1) ... (в — Ь+!) «) а е ) ай. 1 й=! а-! Еа» ай-1 аа ! — „ах = — е ,'!, '+, Е1(ах). Х (в — 1) (в — Й) ...
(в — «) ха-й (в — !)' й ! 2.322 ,(х еи ~,), е хе Зхе 6х 6'~ 3. ~ хйе «(хвве' ( — — — + — — — ) . '),а ай ае ай)' ае р<й) 2.323 ~ Р (х)0 г(х= — ~~ ( — 1) — „ й=е где Р (х) — многочлен относительно х степени т, Р (х) — !г-и производ(й) наи по х от Р,„(х). 2.е ГИПЕРВОЛИЧГСКИЗ ФУНКПИИ 2.325 — ь Г еап 2. ~ —,дх хь Е1 (ах). — — + а Е1 (ах). еап Х еап аеаа аь — — — + — Е1 (ах).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
