И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 18
Текст из файла (страница 18)
2.476 2.). вЬ йх вЬ йх й сЬ йх И вЫьх (а+Ьх)ь" — ЗЬ(а+Ьх)в 6Ь'(а+Ьх)в 6Ь (а+Ь ) + + — ~ — с(х (см. 2.476 2.). И Г еьйх 6Ьв 2 а+Ьх сьйх сьйх Уьвь Уьх Ись йх (а-ь- Ьх)4 Зь (а+ Ьх) в 6ьв (а+ Ьх)в 6Ьв (а+ Ьх) + + —, ~ ' у(х (см. 2.476 1.). вы вЬ йх й сЫ' (а+Ьх)в 4Ь(а-)-дх)ь 12Ьв(а -Рьх)в И вЬ йх йв сЫьх И Г вЫьх 24Ьв (а+ Ьх)в 24ьь (а+Ьх) + 24(ьь,) а+Ьх сЬ йх ( сЫьх Уь вЬ йх (а+Ьх)в 4Ь (а+Ьх)ь 12Ь'(а+Ьх)в ИсЬйх Ивьй й' (' сьйх ( хи< ььа ~~,~~~'ьхь ~ .ьь* ь* ~ ььььвь. вЬ йх с( БЫьх й СЫьх и. 1 (а+ах)е 5Ь(а+Ьх)в ЮЬв(а+Ьх)ь ИвЬйх йвсь йх Ивьйх йь ( сЬйх 60Ьв(а+Ьх)ь 120ьь(а-)-Ьх)ь 120ьь(а-( Ьх) 120ьь 2 а+Ьх ( ) еЫ сЬ й йвЫ 12. — с(х —— (а+Ьх) 5Ь(а+Ьх)в ЮЬ (а (-Ь ) йв сЫьх И вЬ йх йьеЬйх И 1 вЬУьх 60Ьв (а+ Ьх)в 1ЮЬь (а+ Ьх)ь 1ЮМ(а+Ьх) + 120ьв,) а+Ьх (С ' ' ')' 140 2 НЕОНРКДКЛКННЫК ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФКНЕЦИЕ =Х у (2п — 2) (2а — 4) ...
(2» — 24+2) „сЬвпх ~! (2л — 1) (2» — 3) ... (2в — 2й+ 1) 4=1 ( 1 хвЬ х 1 (2а — 2)!1 ~ хКх СЬ -вз * ( — 24)сЬ -~ ) ( — 1))! . сЬ1 (см. 2.477 18.). ГХ1 1353) (10е) и†! — '*= К (2» — 3) (2» — 3), (2» — 2й+ 1) сЬвп 1 х Х ) (2» — 2) (2» — 4) .. (2п — 2Ь) + + хвЬх 1 (2в — 3) ! ! х 1(х Х сЬ1» ввх (2а — 24 — 1)сЬвп вв 1х ) (2а — 2))! 1 сЬх (см. 2.477 16.). ГХ1 1353) (10е) 15 — = — хсзр)1х+1ЕКЬх.
Х 1!Х вь'х — = х Ф х — 1н сЪ х. МфК 262 хЗх хсЬх 1 2 2 вЬвх 3зЬ*х бвЬвх 3 — — — + — х с1Ь х — — 1н КЬ х. 3 хЗх хвЬх 1 2 2 — — — + — + — х ВЬ х — — 1н сЬ х. сЬвх 3сЬвх бсЬвх 3 3 2 47715 вЬвх 4зьвх 12вЬвх ЗвЬвх 8вЬ* 8 3 вЬх МфК 258 18 19 20 21 МфК 362 22 23 хЗх хвьх 1 ЗхвЬх 3 3 (' *Их сЬвх 4ГЛ»х+12сЬвх+ 8сЬвх +8сЬх 8 ) сЬх (см. 2.477 16.).
МфК 262 2.478 хасЬ х Кх (а+Ь вЬ х)а (»1 — 1) Ь (а+ Ь вЬ х)п 1 Г хп-1 НХ (.— ЦЬ 3 (а+ЬвЬх)™ х» вЬ х Кх хп (а+ЬсЬх)1» [п~ — 1)Ь(а+ЬсЬх)~1 (т чв 1). МфК 263 и г +( — 1)Ь 3 (а+ЬсЬ. ) х Кх — =х(Ь вЂ”,— 2 )н сЬ вЂ”. х 1+сЬх 2 2 ' (т ~ 1]. МфК 263 Ш 1И= -+ ~(" ГХ1(353) (8Ь) и в=о 1Ы= -,.'+*'"':,! ГХ1 (353) (10Ь) и Ь=В 142 2.48 Гпперболпческис функции, показательная и степенная функции 2.48$ еах '] е"" вЬ (Ьх + с) Ых = —,, [а вЬ (Ьх + с) — Ь сЬ (Ьх (- с)] 2.
~е 'сй(Ьх+с) Их [асЬ(Ьх+с) — ЬвЬ(Ьх+с)] Прк ах= Ье: (ав чй Ьв]. [ав *~ Ьв]. МфК 275 — 277 [ав чв Ьв] (см. 2.32$). [а' Ф Ь'] (см. 2.32%). При ав Ьв: Г ха+1 3. ~ хве"'в)2ахах= —. ~ хвек ах— 2 ) 2(р+4) ха+2 4 г 4. ] хае вЬахйх= — — ~хке в 'дх 2 (р+4) 2 хР1 4Г 5. ~ хве с)2ахе(ххх г(р+2) г ) + — ~ хве"'"Кх (см.
2. 321). (см. 2.321). (см. 2.32$), 51фК 276, 278 3. 5. 2.482 1. 2. 2. НЕОПРКДВЛККНЫР ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЗЛЕИЕНТАРНЫХ ФУНКНИЙ е вЬ (ах+с) Ых= — — хе '+ — ех ". 2 4а 1 $ Е В(2(аХ+С)ЫХхх — ХЕ'+ — Е Рах+П г 4а е"' сЬ (ах+ с) Ыж'= — хе '+ — ев 2 4а е "сЬ(ах+с)ах= — хе' — — е-<2 "+и. х 2 4а х" е "' вЫ Ьхе(х= — ~ ~ х" е<а+и 'Ых— 1 Г 21 — ~х 6 ~ай~ хк е * с)1 Ьх 1(х = ~ 1 ~ хР е(а+в> х дх+ 2 + ~ ХР фа-В1 х ~)Х~ х Г Г ав+Ь1~ хехх в)2 Ьх йх = — [( ах — — Р) в)2 Ьха' — Ь' [ ~. а' — Ьх~ — (Ьх--ь-Ьтх) сьь 1 хе с)2Ьх дххх — [ ~ ах — — ~ с)2 Ьх— —: Ь.[Л .* Ь*) — (дх — ~ в)2 Ьх 1 [ав ~ Ьв], 4аЬ 2Ь (Зах+Ьх) $ ах — Ьх (ах — Ьх)х 3.5 — 2.8 тРигономвтРичкскив Фтикции Прв ав= Ьа1 5.
~ хе вЬахе(х= — [х — — ) — —. 4а 1. Ь) 6. ~ хе вЬахе(х= — ~х+ — )+ —. =4а ~ 23 ее ееех х 1 ° 7. ~ хе сЬах Ых= — + — ~х — — ) . 4 4а 1. 2а,) ех хе ееех/ 1~ 8. ~ хе сЬахЫхех — — — ~ х+ — ~ . — 23. ееех: в а 1 1 хе 4а 1 а 2ае,~ С 4а ~ а 2ае/ 6 11. ~ хае' сЬахе(х= — + — 1 хе — — + — ~ . =В 4 ~. а 2*'~' 2.484 1.
~ ее*вЬ Ьх — = — (Е1[(а+ Ъ) х] — Е1 [(а- Ь) хЦ [ае Ф Ье]. 2. ~ е сЬ Ьх — = — (Е1 [(а+ Ъ) х]+ Е1 [(а — Ь) хЦ [а Ф Ьа]. 3. ~ е вЬ дх —,= — 2 + 2 ((а+Ь) Е1 [(а+Ь)х]— ах еех эа Ьх 1 — (а — Ь) Е1 [(а — Ь) хЦ [а' чь Ь~]. 4. ~ е'* сЬ Ьх —, = — -(- — ((а + Ь) Е1 [(а + Ь) х] + аХ Еах СЬ ЬХ 1 +(а — Ь) Е1[(а — Ъ)хЦ [ае-ь Ьэ].
5. ~ еех вЬ ах — = — [Е1 (2ах) — 1п х]. ах 1 х 2 6, ~ е вЬах 2 [1пх Е1 ( 2ах ах 1 7. $ е сЬ ах — = — [1пх+Е1 (2ах)]. ах 1 8. ~ еа* вЬ ах —, = — — (емх — 1)+ аЕ1 (2ах). ах 1 9. ~ е ахвЬах — = — —,(1 — е вех)+аЕ1( — 2ах). 10. ~ е сЬ ах — *, = — — (еа"е+ 1)+ аЕ1 (2ах). МфК 276 — 278 МфК 276, 278 2.5 — 2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПУНКЦИИ 2.50 Введение 2.501 Интегралы ~ В(вшх, совх)Ых могут быть всегда приведены к интегралаи от рациональных функций при помощи подстановки е= $8 — . 2 2.502 Если при этом функции В(вшх, совх) удовлетворяют соотношению В(вшх, совх) = — В( — вшх, совх), то выгодно применить подстановку 1=совх. 144 нвопгвдвлвнныв интвггплы от элвмвнтпгных Фтнкпии 2.503 Если зта функция удовлетворяет соотношению В(вшх, совх) -В(вшх, — совх), то выгодно применить подстановку 1= вшх. 2,504 Если эта функция удовлетворяет соотношению В(вшх, совх)=В( — в(пх, — совх), то выгодно применить подстановку 1=тих.
2.51 — 2,52 Степени тригонометрических функций 2.510 юпр 1хссФ 1х р — 1 в!ппхсов9хйх — + ~ юпп 'хсовд ххххх; ,+1 д+1 ) Гапп 'х СОПП"'х р — 1 Г + — ~ вши 'хсовдхйх; — .-+д Р+д 1 Мпп"' х совд" х р-)-9-п2 Г ~ в(пп'вхсовдхс(х; р-~- 1 Р1 1 п~пх"~хсап9 1х д — 1 Г + ~ в(пп" хсовд 'хЫх; р+1 р+1 3 ' п1пх 1хс059 1х д — 1 à — + — ~ в1п"хсовд 'хЫх; р+9 р+д ~ пар+1 х сопд'1 х р+д-! — 2 9+1 д+1 — — + ++ ~в!пп, ", ях; Мпр ' х совд-' х,( 1я~ы' ~ы'' д~.
Ф1189, Т24 (Р-тд) (Р+9 — 2) 2.511 в)пп" х Г 1. ~ в)ппх сове" хНх= 9(совах ' х+ 2п+р (' и — 1 Х (2п — 1) (2п — 3] ... (2п — 2й+ Ц сохах и 1 х) (2п+ р — 2) (2 -пр — 4) ... (2п+р — 2й) А д (2п — 1) )! (2п+ р) (2п+ р — 2) ... (р+2) Эта формула применима при любом действительном р, зп исключением следующих отрицательных четных чисел: — 2, — 4, ..., — 2п, !!ри р натуральном и я=О имеем: ~ в)пх х~(х с"' ~в! и-1 х ! 2) а — ~ (21 — 1) (2) — 3) .. (21 — 2й+1) . ~ хп ) (2) — 1]!! + ~4 2" () — 1) () — 2) ... () — й) ( 2~ Д (см. также 2.513 1.). Т (232) 3.
~ в!пх+'хох= —, 9 в!нюх+ 21+1 ! ~ — 1 1 (21 — 1) (2( — 3) ... (2)- 2й — 1) ! й=о (см. также 2,513 2.). Т (233) 2.5 — А.в тРиГономитРичискии Фвнкции (по 1х 2и+Р+1 и + 2ии (и — 1) ... (и — й+1) сохли АА х :Е( +р 1)( +'р-з)...( +р,и+1)~. А=1 Зта формула применима при любом действительном р, ва исключением (Гтрвцательных нечетных чисел: — 1, — 3, ..., — (2и+1). 2.512 1.
~ совххв)п хв(хлх — ~в(пви 'х+ совР'1 х Г 2и+Р + (2и — 1) (2п — 3) ... (2п — 23+1) в1ов" 1"-1 х) (2п+р — 2)(2и+р — А) ... (2п+р — 21) ) + А=1 (2и — 1)! ! +, + .и+ . + ) СОВРХГ(Х. Зта формула применима при любом действительком р, за исключением следуютцих отрицательных четных чисел. — 2, — 4, ..., — 2п. При р натуральном и илх О имеем: 2. ~ совв1х 1(х= — 11сови-1х-(- в1пх Г 2! $-1 +,~~' ~.ъ (2! — 1) (2! — 3) .. (2! — 2й+. 1) 2 — А — 3 (2! — 1) О СОВА' — АА — ' Х ) +, " Х 2А(! — 1)(! — 2)...
(! — й) 1 21 П (см. также 2.513 3.). Т (230) 3. ~ совв1+1х1Гх= — ~ совв1х + в(их Г 2(+1 ( 1 — ! х.2 (2! — 1) (2! — 3) ... (2! — 2й — 1) (см. также 2.513 4.),' Т (231) СОВИ"1Х 4. ~ соУх в)пв"' х 1Гххи — . ! в(пв" х + 2и+р+1 и + Х 2ви(и — 1) ... (и — й+1) в(пвп вих (2п+р — 1) (2и+р — 3) ... (Ъ1+р — 2й+1) ) ' А=1 Зта формула применима при любом действительном р, за исключением следующих отрицательных чисел: — 1, — 3, ..., — (2и+1). 2.513 (2и) +( — 1)" С„-1 1 А (2и) яп (2п — 2й) х А О (см. также 2.511 2.). Т (226) и .пвп+~ Г 1 ( 1)п~х '~д ( 1)А Г 2и+1 1 сов (2и+1 — 23) х втп х =,1„— ~~ — ~, й ) 2и (1 2й А-О (см.
также 2.511 3.). Т (227) 13 тасллих ивтегоплов $46 2. НЕОКРЕДЕЛЕНН1ЙЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКННЙ «-1 35 7 7 1 10. ~ в1и'х1ах = — — совх+ — сов Зх — — сов 5х+ — сов7х = 64 64 320 448 1 ' в 6 а 24 7 — — з1п'х сов х — — япв х сов х+ — сова х — — соз х. 35 35 35 11. ~ соз хс1х= — зш2х+ — —,вшхсовх+ —,х. в 1 4 2 2 2 3 12. ~ совах 1(х = — зш Зх+ — вш х = яп х — — в1па х. 12 4 3 3 13. ~сов'х11х= — х+ — яп2х+ —,вш4хва 8 4 32 3 3 1 = — х+ — зш х сов х+ -в1и хсов~х.
8 8 4 5 ., 1 вшх+ — зш Зх-~- вш5х— = — япх — — в1п х+ — сов х якх. 4 . 4 . а 1 5 15 5 15. 3 х + — зш 2х+ — з1и 4х+ — вш бх = 64 64 192 5 5 а = — х + — яп х сов х+ — вп х сова х + — яп х сова х 16 16 24 6 14. ~ соз'хдх=— 5 8 15. ~ сова х ах =— 5 16 16, ~ соз'хаах= —.в1их+ —.зшЗх+ —,зш5х+ — яи7х = 35. 7 . 7 .
1 64 64 320 448 35 35 35 = — з1их — увш х+ вакх сов х+ — вшхсозах. 7 3 ~ сова" х дх = — (2в) х+ 1 ~ (2в~ в1п (2в — 2й) * й О (см. также 2.512 2.). Т (224) 4 ~ сова +ахах= 1 ~1 1 2п+1~1 вап(2в 2й+11 2аа~1 1, й / 2в — 2й+1 а-о (см. также 2.512 3,). Т (225) 1 . 1 1 1 5. ~ з!и'х 11х = — — яп 2х+ — х = — — в1п х соз х+ — х. 4 2 2 2 1 3 1 6. ~ в1иа х 11х = — сов Зх — — соз х = — созе х — сов х.
12 4 3 За а1п 2а в1п 4* 7. ~ зшах11х= — — — + — = 8 4 32 3 1.1 3 = — — яи х сов х — — зша х сов х+ — х. 8 4 8 5 5 1 8. ~ в1пах дх = — — сов х+ — соз Зх — — сов 5х = 8 48 80 1 а 4 а 4 = — — вш хсозх+ — сова х — — совх. 5 15 5 515.3.1 9. ~ в1иах11х= —.х — — яп2х+ — вш4х — — з1пбх= йв 64 64 192 а 5 . а 5 5 - — япа х сов х — — зш х сов х — — яи х сов х+ — х. 6 24 2.$ — 2.3 тРигономнтгияискин Фтннпни 17. 23 = — с083 х — — соз х 1 3 5 3 26 27 28 29 30 31 2.514 Эта формула применима при любом действительном р. ~ 8!н" лГЬ при р натуральном см.
2.Ы1 2., 3. и 2.513 1,, 2. При и=0 и р целом отрнца. тельном для етого интеграла имеем! Юе 18. 19. 20. 21. 24. 1 Г1 Зсзэа 4 1 1 4 13 з со34 а 81нлсоззхдх= — —. 4 — ° се33 а ЗШХОО84х (л= 5 1 Г1 1 8)833 81н л соз х ГЬ = — — .~ — 81п Зх — 81п л ~ = —, 4 13 )= 3 1Г1 зшзлсоз*лГЬ= — — 41 — 8(н4х — х ь 8 14 3 1Г1 . 1 зшзхсоззхГЬ= — — 4( — зш5х+ — зшЗх — 28шл1 = 16(5 з 3)п3ж / 3 2 ~ 81п33 / 5 = — ! совах+ — ) = — ~ — — зшзх~) 5 1, З.Г' 5 1.3 3 1 .
1 1 83нз л соз4 л 4)л = — + — зш 2л — = зш 4л — — зш 6л. 16 64 84 192 1 Г1 3)п4 л зпР х соз х ГЬ вЂ” — — соз 4л — соз 2х 8 1,4 знРл соз х 13х = — — соз 5х — — созЗх — 2 соз х 16 ~. 5 з 1р1 з 8)пзхсоУхИл= — ~ — созбх — — со82л) . Зг~ 6 2 мпзхсо84лдх= — совал~ — — — — зш л-(-зш х ) 1 3 Г 2 3 ВШ33 8)н4хсозлГЬ= 5 1 1 . 1 . 1 зш'х созз х ГЬ = — х — — зш 2л — — зш 4х+ — зш бх. 16 64 64 192 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
