И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2х46 Алгебраические функции от гиперболических функций 2.461 1. ~ "Ь' Й х 4х = АгЬЬ ф ЬЬ х — агс19 ]/ й х. 2. ~ ]/с1Ьх в(х= Агс1Ь'|/ сВЬх — агс16]/сЬЬх. 2.462 1. ~ =АгвЬ с =1н (сЬх+]'ав+ яЬвх) Г' ав+в)Р а "Г ав — 1 =А в ! )ь .~.АР+ у ) Ь' 1 — ав =)нсЬх ф' ав — ь|Р х ~г ав -)-1 3)'в''-Аь''=1)Ь4.фЬ' — Х) Г' вЬвх — ав Ь' ав+1 МфК221 МфК 222 ]ав > 1]; ]ав <1]; ]ах 1]. (вЬвх > а']. МфК199 Ь а Ь ') Если — (О и сЬвх> — —,тсср(х)=Аг(Ь(ас(Ьх).Еслиже — (О, ис сЬвх< а Ь ' а а Ь ( — —, кли, если — >О, тс ~р(х)=Ага(Ь (ас(Ь х).
Ь' ' а МфК2Ы 128 Я НВОПРЕДВЛВННЫВ ИНТБРРЬЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФЪ'НКЦИЙ А ь — =ь (а*ь~ '.ь ь' ). ф' аь+яЬьх а = агсв1п — [ВЬях < ая[. Р аь — япа х а -ь-ь'— "-ь (ь*.ьга ."Р) = АгвЬ вЂ” = )п ( сЬ х+ р' ах+ сЬЯ х). )/ аь+ с ЬЯ х яЬ хвх — - = а гсяьп — [сЬ х < ая]. сЬх я )/аь — сЬь х — =ь-ь — ь'-1 ( ь ьЬ7у — ь) 1/ сЬь х — аь [вЬЯх > аь[. [сЬЯ т > аь[. МфК215 — 216 2 463 ~ — ьр А ььЬ д(а+ьсь х) д ад — Ьр ад — ьр >01 д ад — Ьр ., /д(а+ЬсЬх) — АгьЬ р д д' ад — др '[ьсьх< О, ь >О~; У/ — А ь 1/ ьр — а ~„,Ь1/'д(+'< *) Р < 0[ . МфК 220 )Г А Ьр ад — Ьр . /д(а+ЬяЬх) — АгсяЬ р д ь' д — ьр ~Ьвл >О, "— ' >0~,. яЬ х )/ а+ Ь яЬ х С( р+д сЬ х сЬ х Р а+Ь яЬ х 1 р+дяЬ» 10.
( — "' — =А ь * * =1 (ь .ььь'я ь'*). Гая — яЬ х Р' аь — $ =ьпвЬх [ах= Ц. 13. ~ ' = =2)/аАгсяЬ 1+ — вЬх у' ах ЬьЬх а = 2 1/ а АРФЬ [/1+ — яЬ х [Ь вЬ х < О, а > О); ь =2 1/ — а АгЬЬ '[/ — ~1+ — вЬх) а < О. 14, ~ " х =2)/аАгсьЬ 1+ — сЬх [ЬсЬх>О, а>01) р'а-(-Ь сЬя а 2Ь А ьь)/ь ь — ь ~ь ь*(0„)ь) ь =2 1/ — а АгяЬ $/-(1+ — сЬ х) [а<0[. МфК 220, 221 129 2 Е РИПЕРВОЛИтдЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2 1~ад --БРА 1~ д (а+ь вь и) [ЬЕЬх<О, ~ Р >О~; 2,/ьр — дА ь /" д(,+ьвЬ ) ь д '~ ! ьр — д Р < 0 ~ . МфК 221 2.464 1 1 г1х а'х ЬГйв+й" сЬ' ) Ь' 1+й' еЬ' х Р(агсв)п(1Ьх), )р) [х > 0].
БФ (295.00) БФ (295.10) 2. ~ * = ~ =Р(агсв(п( — ), )с) [х > О]. БФ (295.40) БФ (295.30) 3. ~, =Р(агсв1п( — ), )с) '[О < х< АгсЬ вЂ” „,~. БФ(295.20) В 2.464 4.— 2.464 8. положено и=агссов ., г== [ах> О]: 1 — вЬ 2ах 1 1+еЬ 2ах )Г 2 4. 1 = — Р(и, г). БФ (296.50) .~ Ьт нЬ 2ах 2а 5. ~ ]т вЬ2ахЫх= — [Р(и, т) — 2Л(и.
и)]+ Ьт вЬ 2ах (1+ е10 2ах) а 1+вЬ 2ах БФ (296.51) БФ (296.55) 8. ~ . — = — [Р(и, г) — Ю(и, г)]. Р У".Ь2. З. (19-оьвах)е 4а Б 2.4649,— 2.46415. положено и=агсв1п ]г ', г== [х~ О]: / еЬ2ах — 1 1 сЬ2ах ' т,г 2 БФ (296.54) 9 Харланы интегралов )У сЬ 2ах а )т 2 10. ~ ]г сЬ2ахе(х= [Р(и, г) — 2Е(и, г)]+ а Ьг 2 а Ь' сЬ 2ах 11.
~ — — — * — = [2Ю(и, г) — Р(и, г)]. ах 1 Р( )+ 1Ь2ах )тсЬв2ах З)т 2а За Ь'тЬ2ах 13. ~ = — — Р(и, г)+ — вЬ2ах )т' сЬ2ах. Р яЬв2ахох )/2 1 У"да 2ах За ' За 1Ь~2ах ох ЬГ2 Р 1Ь2ах ,) 1' сь вох За За ~' оЬ 2ах сЬ2ахдх 1 П и 15.,+, „, — — —., (и, рв, ). БФ (296.00) БФ (296.03) БФ (296.04) БФ (296.04) БФ (296.07) БФ (296.05) БФ(296.02) 130 В. НЕОПРЕДЕЛИННЫИ ИНТИХ'РАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РИНКПЕН БФ (297„29) 23, ~ свад(х 2 2 Уа+Ь ==яг(с(, г)- Е(а,г)+ уа+Ьс()х уа+Ь ь + — й)я — )(го+ Ь с)в х. 2 х БФ (297.33) а Ь (г(а, г) — Е(а, г)).
25. ~ в(х= 2 6, 1(3а+Ь)Р(вв, "г) — 4аЕ(вв, г))+ Уа-гь сЬ х БФ (297.28) вь — Ух+ 6 сь х + — . БФ(297.28) И 2 вь х — 1 2 г 26. 1 — — == в)х = — ~ 6)) — )/ а + Ь сй х - Ь( а -г Ь Е ((в„г) 1 . .) У а+ Ь св х Ь БФ (297 31) В 2,464 16. — 2.464 20. положено а= агссов )' ая+ Ья — а — Ь яЬ х У ад+ 6~ -~- д+ Ь в)д х уа+Ь я ~"ад+ Ья (7, )д ГЯд д д Г(дед'[Г(, ) — дв( В-)- 2Ьсвх уа+ья)дх БФ(298.02) уа'+ Ьд+ а+ Ь ва х 18. ~ в «(х= у ая+ ЬвЕ(а, г) — —,==Р(ся, г)— а+3/ ав+ЬЯ Уа~+Р— а — Ьяв х Уа+Ьвь х БФ(298 03 Ь Удв+ЬЯ+,д+Ьв1)х с(дх ) 19.
° 1— — Е(а, г). БФ(298.01) (уад+ Ьд+а+ЬяЬ х)д уа+Ьяь х Ья ~ ад+Ья 20 ууа+ь я() х ((х Е(вв, г)+ (Уа~+Ь' — а — Ь ьЬ х)~ х а'-)- ЬЯ( Уав+ ЬЯ вЂ” а) + ь я)дх Уа+ь яь х БФ(298 04) Уая.+Ь,' а +Ьв — (а+Ьяв ) В 2А64 21.-2,464 31. Положено а=ввсв1п ( 61) — ), г= $ ~0<Ь<а, х> О)) БФ (297. 25) 22. ) д~ Х)Ъ д 2Г (-д(д( .
) — Я(, ))(-ддд д ~/ Хд д И2 1. нкопикдклкннык ннткггалы от алкмкнтигных эунндий В 2.464 41. — 2.464 47. положено а = агсвгп г1/ /'Ь(сЬ вЂ” 1) Г а+Ь Ьсьх — а ' Ь/ 2Ь [0<а<Ь, х>0[1 41. 1 — -- = 1/ — Р(а, г). 42. ~ )ГЬсЬх — а Ых=(Ь вЂ” а) [/г — Р(а, г) — 2[Г2Ь Е(а,г)+ у' ЬсЬх — а БФ (297. 05) 43. 1 * =,, ° а/г — [2ЬЕ(а, г) — (Ь вЂ” а)Р(а, г)[, ,))Г(Ь сь — ) БФ (297.06) +8аЬЕ(а, г)[+ (...
БФ(297.06) З (Ь вЂ” ац )Г(Ь Ь )1 45 $ = И/ — [Р(а, г) — 2Е(а, г)[+ . БФ(297.03) БФ(297.01) У )Г(Ьел х — а)~ Ь вЂ” а г Ь БФ (297.02) В 2.464 48. — 2 464 55. положено а = агсе(а [/ Г ЬсЬ вЂ” а г р— / 2Ь Ь(сЬ х — 1) ' $/ а+Ь БФ (297.75) с1Ь~ — Ых 0.1 ' ='"+' (, ). .) )ГЬсЬх — а 51. ~ 4х= Ь/а+Ь [Е(а, г) — Е(а. г)[. 52. 1 * — + Е(а, г) — Е(а, г1, БФ(297.78) а (сЬх — 1))ГЬсЬх — а а Ь )' а+Ь 53. — [(а — 2Ь)(а — Ь)Е(а, г)+ й!х 1 (сЬ х — 1)~.)/ Ь сЬ а — а 3 (а — Ь)* )Га+ Ь +(За-Ь)(а+Ь)Е(а, г))+еь ) ° )/ЬсЬх-а.
БФ(297.78) 2 .54.' — [Р(а, г) — Е(а, г)1+ (сЬх+1) )ГЬЬЬх — а )/и+Ь (а -~-Ь1 яйх БФ (297.80) БФ (297. 76) БФ (297. 77) [0(д<а, х>АгсЬ ь| '- 49. ~ фг 5 сЬ х — а г(х — 2 )/а -)- Ь Е (а, г) + 2с(Ь вЂ” )ГЬ г)г х — а . БФ (297.79) 133 24 гипкеволичкскип Функции 55. — [(а+25)Р(а, г)— (сЬ а+1)а $/Ьсьх — а 3)Г(а —; В)' — (а+35) Е(а, г)] ь (2 + — (Ь~ — ) .
БФ(297.80) à  — а~ Б 2.464 56. — 2.464 60 полон<оно а = агссов = .=-== — , г' а вЬ х+ В сЬ х [0<а<Ь, — АгвЬ ' <х~: БФ (299,00) 57. ~ ')/гавЬх+ ЬЬЬх Ых= ))г4(Ь'-н ) [р(а, г) — 2Е(а, г)]+ + 2 (а сЬ х+ В аЬ х) БФ (299 02) ~/ а вЬ *+ В сЬ х 1 г=— )' 2 'г, ах '!г )Г(а яЬ х+Ь сЬ х)а 3 г ( — а )~ 2 а сЬ х -)- Ь вЬ х 3(ьа — а~) )Г(авЬхт.ьс)]х~в ~ (ВГЬ~ — аз+а вЬ х+Ьсь х) Кх ~/ В )г(а яЬ а+В сЬ х)х У ь* 2 у,, Е(а, г). БФ (299.03) БФ (299.03) БФ (299.01) 2.47 Гиперболические функции и степеннан функции — ~~~~~ ( 1)" ( ~ ~ х" сЬ(2иг — 2Й) хс(х.
3. ~ "вЬ*". хЫх= —,,',-„У ( — 1)" (' +') ~ "вЬ(2 — 2Ь+1) А=О 2.471 1. ~ х" вЬ хсЬ х 1х=, ] (р+д) вЬ"'хсЬ х— (г+а) — гх' 'вЬххсЬах-)-г(г-)-1) ~ х' хвЬвхсЬахЫх+ + гр ~ х~' в)Р 'х сЬа 'хах-)-(7 — 1) (р+ 3) ~ х" в)РхсЫ~ ахи~ ) , ) (р+о)х"вЬ' 'хсЬа'х— (р+Ф' ~ — гх' 'вЬххсЬах-)-г(г — 1) ~ х' хвЬххсЬахах— — гд ~ х' 'вЬ" 'хсЬа ~ха)х — (р — 1)(р+3) ~ хгвЬх ххсЬахЫх~. ГХ([3531(1) 2 ~ х вЬв хс(х ( 1) ( ) +1) + з. нвонгвдклвнныж интвггллы от алзминтззных емнкциа 1 х сЬ хЫ (~ ) 2 ( +1) + + 2,, '~ Я( Ь ) $ х" сЬ(2зз — 2й) хс(х. 5.
~ х" сйз +'хИх= —,А '~' ( + ) ~ х"сЬ(2зз — 2й+1)хс(х. 2.472 1, ~ х" зЬхНх=х" сЬх — п ~ х" 'сЬхсх= х" сЬх — пх" 'зЬх+п(п — 1) ~ х" ззЬхох. 2, ~ х" сЬхдх=х" зЬх-п ~ х" 'зЬхИх= = х" зЬ х — пх" ' сЬ х+ п (п — 1) ~ х з сЬ х з(х. И А 3. ~ х зЬхЫх=(2п)! ~'Я вЂ” сЬх- ~>' зЬх~. А=О В=1 4. ~ х'""зЬхз'х=(2п+1)1 ~~~ ( ( *, сЬх — — * зЬх), 5. $ х'"сЬхс(х=(2п)1~~', „зЬх — ~~ь' сЬх). А-А А-Ю в Г зАА А ААА 6. ~ х ~сЬхЫх=(2п+1)1,~~ 1 ( „1 зЬх 2Ь сЬх) А А=з 7. ~ хзЬхдх=хсЬх — зЬх. 8.
~хззЬхс(х=(хе+2)сЬх — 2хвЬх. 9. ~ хсЬхЮх=хзЬх — сЬх. 10. ~ хзсЬхдх=(хе+ 2) зЬх-2хсЬх. 2.473 Обозначение з =а+ох 1 ь 1. ~ з, зЬ йх йх = — з, сЬ йх — — „, зй йх. з Ь 2. ~ з, сЬ йх Ых — з зЬ йх — — сЬ йх, Ь ЬА 3;) "зЬй-"'Ь= Ь (~+ Ь )сЬйх Ь зЬй . 4. ~ з,'сЬйхЫх = — (з,'+ —,) зЬйх — —, сЬйх. 2ЬАА 2.4 РИПБРБОЛИИИСКИВ ФРИКЦИИ 2.474 1 хх+1 21~+~) (2) -м «ю-ай-1 + 4 У~ (22ь<х 2ь>~ вЬ2х — 2м;~<х 2ь 1)~ сЬ2х~. ГХ1~353](2Ь) й=в ха 1 х сЬ х х 2( +1) + , 'Я) хвЬ ха«=-хвЬ2« — — сЬ2х — —. а 1 х~ 8 4 в в 1/ в 111 хв БЬ« х сЬ = — 1 хв + — ~1 вЬ 2х — — сЬ 2х — — .
МфК257 хсЬ хнах= — вЬ2х — — сЬ2х+ —. х 1 хз 4 8 4 ~ ххсЬ~хдх= — (х + — ) вЬ2х — — сЬ2х+ —. МфК261 !" =- 3 Ф вЂ” ( „— 34Ьх)~ . ГХ1~353)(21) ЗЬ« ~ 2Ь~~ 1 Г, 12Ьа, 24Ь4 ~ 4Ь... 8Ь~ ~ 1 х а 12И 24Ьв ~ 4ьз~ Г „ббв ~ Ь ~ 1 ЬЗ 1 44 ) и~, и) 9, ~ з', вЬ йт Нх = + (1.", .+ —, в,*+ 120 — ) сЫсх— «1 Г 20Р Ьв '~ вь/ Р „ьа~ — —, (в,'+ 12 —, в,"+ 24 —,) вЫсх.
10. ~в,'ОЬйхНх=ф(в',+20 —,в,'+120 — )БЫл«в ЬЬ«, Ь, Ьа~ — — „, (в,'+12 —,, в,'+24 — )сЬйх. — ( ~+20 —,, х,+120 — „) сЫю. 2. нкопккдклкннык инткгвьлы от влкмкнтвгных емннпиа , кб) хвЬ хат= — вЬх — — вЬЗх — — хсЬх — — сЬЗх. о 8 1 3 х 4 86 4 12 ~ х~вЬох!1хии — ( — + — ) сЬх+( — + — ) сЬ3.
+ вх и + — вЬ х — — вЬ Зх. 2 18 8 1 6 хсЬохо(х= — — сЬ х — — сЬЗх+ — х вЬх+ — вЬЗх. 4 36 4 12 ~х сЬ х!(х (4 х + )вЬх+( — + — )вЬЗх— ГХ( [353[ (31) 10 И 12 МфК257 3 х — — х сЬ х — — сЬ Зх 2 16 МфК262 ГХ1 [35 31 (ба) ГХ1 [353] (7а) ГХ1 [353[(6Ь) ГХ1 [353~ (6Ь) ГХ1 [353[ (7Ь) ГХ1 [353[ (7Ь) 2А75 1.
*1 иЫох (р — 2)зЫих+дхоЫо 'хоЫх + хх (р — 1) (р 2) хР ! Ф(у — 1) Г ВЫо и 1 о~ Г оыих (Р— 1) (Р— 2),) хх и (р — 1) (р — 2) ~ хи-и * [Р 1 2. — !(х око х (р — 2) оЫо х+хх оЫо-1 хоЫх (р — 1) (р — 2) хх-1 о(у — 1) Г еЫо их уи Г сЫо х (р — 1) (р — 2),) хи ~ (р — 1! (р — 2) ) хи-з [Р ~ 1' и-2 А=О и-1 + ~~~! — „6Ьх~+ сЬ!(х). (гв)! ! 1 А=в и — ! А-О 'сз (гй+ 1)! 1 1 + Х „„„Ь )~ + —,2„„.Ь((*). А=О и — 2 А=О и-1 + ~~ ~~ сЬх![+ 1 1, вЬ!(х).
А=О и — ! х!А А=О и — 1 А=О 137 2 4 РИИИРБЕЛИЯИСКИИ ФУЕ1КЦИИ 7, 1 ВУ а 11х=.,', Х ( 1)й(2'")сЫ(2 2й)х+ й О + —, ( ) (их, ГХХ [353) (бс) 5 $ в * 1(х= — ~~ ( — 1)" ( „)ИЬ1(2т — 2й+1)х, ГХ1 [353) (5а) —;= Х(.) '( й О + 2й,а ( ) (и х. ГХ1 [3531 (7с) 10.
~ с ах= —,, ~' ( + )сЫ(2т-2й-1- 1)а. ГХ1[353) (7с) й=й 11. ~ — '".", (*=(,,'„)„( )+ + —, ",~', ( — 1)~'(„)~ с ( ) — (2т — 2й) ОЫ(2т-2й)х~. й=е Х~ О ( + * — (2т — 2й+1)сЫ(2т-2й+1)х~. еь — 1 — -' Х (')('"" * "'* — -" 2"-").) й-О Х.~ '( + )* — (2т-2й+1)вЬ1(2т — 2й+1)х~ 2.476 ЬЬ 1Г Ьа . Ь а+ь. ь [ ь ь 1(х= — [сЬ вЂ” вЬ1 (и) — вЬ вЂ” сЬ1 (и)~; =ть [-Р(- ь)" (и)-еиР(ь-)е)(-и)3 [и= — (а+5 )[ 2.
~ — 1(х = — [ сЬ вЂ” сЫ (и) — ОЬ вЂ” ОЫ (и) ); 1' ОЬ«а 1 Г Ьа ьа 3а+ь. ь [ ь « =~ [евр( «)Е1(и)-Реир(ь)иа( и [и = — (а+ Ьх)[ В. НКОПРВДКЛВННЫВИНТКРРАЛЫ ОТ ЭЛВМВНРАРНЫВ ФУНКЦИЙ (см. 2.476 1.) 2.477 х р ьух — рхР ь в Ь х — (ьу — 2) ха сЬ х 1. =+ вьах (ьу — 1) (а — 2) вьв 'х хрмх рхРьсЬх+(а — 2)хрвЬх 2. сЬ'ь х (а — 1) (ьу — 2) сйа ' х р(р — 1) ( ххр рвь(х а — 2 ( хвь(х (ьу — 1)(ьу — 2) ) сЬ'у ах а — 1,) сЬа вх [7 > 2]. ГХ1 [353] (8а) [д > 2]. ГХ( [353] (10а) у(х — в2 В ха+2А — =л —, (2 — 2А)В„ вьх аУ (а+2й) (2й)1 Дх~(л, В>0]. ГХ1[353](8Ь) сЬ йх ( 1 сЫьх й (' вЫьх 5 вЫсх у( вЬ йх й сЫьх — + (а+ Ьх)в 2Ь (а+ Ьх)в 2ьв (а -1- Ьх) сЬ йх сЫьх й вЬ йх (а+Ьх)в 2Ь (а-ь-ЬхР 2ьв (ас- Ьх)+ + —, ~ у(х (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
