И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 20
Текст из файла (страница 20)
З в)ивх 22)авх 2.547 вшах 1 2 (' вил(и — 1) хВх ( в)а(и — 2) хааа 1 ' соси и ) вовс 1 х,) савв х сов Зх — Ых = вш 2х — х. сов х сов Зх савв х Нх = 4 вш х — 3 1а 18 ( — + — ) . Гя '~ — *с(х=4х-318х. совв х 2.548 1. в(а'" х Нх вш(2и+1) х ( 2(2и+1) 2 ] [т — натуральное число ~: 2л]. Т(378) и — в 2. ~, =:,]1асовх+ р;( — 1) сова'" —,1н(сов'х — вш Г в(асей и 1х ( Ци ъ-в и ))л / вйи~) вш 2их Зи 2~ 2 2Д 4=1 [т — натуральное число <л].
Т(379) и-1 1'Я( — 1) сов + — 1а~18( — и — — )18( — и — )Д [т-натуральное число < и]. Т(380) $ сов(2и+1) х 2и+1 ( 8( 4 2) и +Х ( ) 2и+1 ь 8( 4(2и+1) 2) 8( 4(2и+1) 2))1 а=3 Ю [т — натуральное число ~ и]. 'У (381) 16(! з. нконвкдклкннык ннткгаалы от елкнкнтааных Фтннпии Г яв +вх (х ( — цв+ Г 5. ~ В(гв+1)х гв+! '[1а СОВХ+ + (~~~ ( 1) савв'в+! — 1- 1а савв х — вш гл+ гв+,г й ! [ж — натуральное число с и). Т (375) ссай!В+!в Х 9. ~ —.—, !(ххх —.
[1асо — + в(о гвх гв 1 2 +Х (-1)й '"' м 1а (['вк(++Ф)СОЯ вЂ” ВД йъ ! [пв — натуральное число < п1. Т (374) 10. й ) в(п 2лх !(х = — ~1а в1а х+ 1 С гй и — ! + ~~!' ( — $)йсовв —,1а( в)авх — вшв — ~11~ гв вй/ й-! [!и — натуральное число <и'). Т (373) в — 1 (. гй+! ввх = — ~~ ( — 4) сов 2 н 1а гй [т — натуральное число в, п1. Т (372) сов'в х 2.549 1. ~ Вш хв !Ь'хй ° — я(х). !' 2 2. ~ сов хв в(х = в~ — С (х). $' 2 [пв-натуральное число ~п). Т(382)и гй — 2+! х й=с ва 2 [ [!и — натуральное чйсао < 2п).
Т(377) (' ссввх* хв(х ! 7. ~ . (~ +(1 — ~+~ ~1ав(ах+ + ',Я ( 1)й овв " — 1а (вы~ х- в(а' „" Д й=! [пв — натуральное число ~ п1, Т (376) 6 ~ (с( +ц 2+2 ()а~К 2+ в + !! ( — 1) СО — 1а [(В~-~+ в )СЯ(2 —, )1~ й ! в(и)ахатах= — *, (в(п )их — сов)пх).
2 сов )и х Ых = — (в(а )а х+ сов )а х). 2 П (444) П (445) 2.55$ Т (358) и При ила 1: 4+ В в1п х а+Ь в1пх Х 2.552 1 АА. В гос х (а РЬ мпла)гг При а=1: +Ь- 1пх г(Х= Ь (и(а+ ЬВ(их)+А» а+Ьв1пх (см. 2.551 3.). Т (344) Ах 1 ( Ьсовх » (а+Ьв1пх)с (а — 1)(ав — Ь') ) (а+Ьвшх)" в + (и — 1)а — (а — 2)Ьвшх ) (а-г-Ь вш х)" 1 с(х (см. 2.55( 1.).
Т (350) 2.553 1 Т (355) 11 вгавллпы ллтвсшлсв 3. 4. В. — 2.В ХРИГОНОМБВгРИЯБСКИИ агЪ'НКЦИИ Г г » в(а(ахв-1-2ЬХ+с)дх= ~/ 2' ~сов Я( ' )+ » сов(ахв-(-2Ьх-(- с) Ых= ~ 2' ~сов С( * )— 2.55 — 2.56 Рациоиалпиые фуикции от синуса и косинуса à — + А+В в1п х ( 1, 1" (АЬ вЂ” аВ) сов х (а+Ь вша)а (а — 1)(ав — Ьв) ( (а+Ьв1пх)п в + (Аа — ВЬ) (и — 11+(а — ЬА) (и — 2) в1п х ( (а+Ьв!ох)" 1 х -(- », (см. 2.551 3.). Т (342) х » '+"' * ах 2 2+ —— и $8 (а )Ь); аМ вЂ” +ь — )' ь— ,(и .' (а'С ЬЧ. ЬЬ вЂ” в ава ) Ь) у'Ьв в 2 В 1 ах (п — 1) Ь(а+Ь вш х)" в» (а+Ь в1п х)п (см.
2.552 3 ). Т (36() А+Вв(па ( В 1 ггх (а+Ь сова)" (и — 1) Ь(а-) Ьсовх)" с» (а+Ь сов х)" (см. 2.554 3.). 162 з. нкопгкдклкннык инткгвалы от алкмкнтагных эвикции При п=1: 2 ~ ь 1(х= ь (п(п+ Ьсозю)+А ~ +ь (см. 2.553 3.). Т (343) у ав — Ьввз— а+Ь [ав > Ьв); )Г Ьв — ав Вз — +а-)-Ь (ав» Ьв'). ФП93,94; Т(305) 3. <Ы а+Ьсовх 1 !п )г Ьв — ав Ва — а — Ь 2 2.554 А (-Васах 1 ( (а — АЬ)в(сх Г (а -~- Ь сов х)в (л — 1) (ав — Ьв) ( (а+Ь сов х)л ~ + (Аа — ЬВ) (л — 1)+(л — 2) (а — ЬА) сов х 1 (а-)-Ьсэв х)" ' Т(353) 2В,Я ("-Ь') ' „+, ' вьз .)а 2в-в — вквв (' Я ~ *1 в в ) в=а ~(А~ В) 'Я (л — 1) ( в (4 2)! 1 Т(355) в-о При п=1: 3.. ~ — . «Ь=~Вв+(А ТВ)19( — ~ — ).
Т (250) При п=1: в(х 1 ( Ь вгзх (а+Ь сов «)" (л — 1) (а' — Ь') ( (а-~-Ь сов х)" ~ При интегрировании функций в пп. 2.551 3. н 2.553 3 нельзя переходить через точки, в которых подынте~ ральная функция обращается з бесконечность, т. е. через точки к= агсзйп ~ — — 1) в формуле 2.5513.
Ь,~ в через точки х=агссоз(- ~~)в формуле 2.5533. Ы 2.555 Формулы 2.551 3 к 2.5533 при а*= Ьв неприменимы. В атих случаях вместо них можно применять следукнцне формулы: 2,6 — 2,В 'ГРИРОНОМИхРИЧИЕКИИ ФЪ"НИЦИИ 163 2.557 ах ах (а сова+Ьв1пхT )/'(аь ! Ьь)и .) . „/ а ~ я!пп ~х+ ага за — ) ь/ (ем. 2,515). Ь4фК 173 и аь ах — Ь1п я(п ( х+ агс68 — ) з!п хая ь~ ,) асовх+Ьз1пх аз+ Ьь а~ 3. ах+Ь !пв1п ~х+агсьу — ) сов х ах ь~ а сов х4- Ььшх а +Ьь !п (а [ — (х+ягс(В ) ~ 4. а сов х+Ь в1пх Ь' аз+ Ьь 5. с!а ( а+агсза — ) (а сов х-! Ьз)ох)ь а*+ Ьь МФК 174 и а сов х — Ь я!и х аь+Ьь а 31п х+Ь соз х МфК 174 и 1.
А+ В сов а+С в!их (Вс — СЬ)+(Ас — Са) соь х — (АЬ вЂ” Ьа) 61п х (а+ Ь соя х+ с я(п х)и (и — 1) (аь — Ьь — сь) (а+ Ь соь в+с вш х)и г ах— + ° 1 ! (и — 1) (Аа — ВЬ вЂ” Сс) — (и — 2) ((АЬ вЂ” Ва) соя х — (Ас — Са) ьшх) 1 а* — Ьь — сь) а (а+Ь сов х+с в!и х)" ' !2Х +(и — )( [гг яе 1, аь ~ Ь*+ ез); СЬ вЂ” Вс+Са воях — Ва я!п х Г А и (ВЬ+Са)~, , )(-сеовх+Ьвшх) )( (и — 1)а(а+Ьсоях+сь(ох)" ~, а (и — 1)аь ./! и-1 (и — 1)! (2и — 2й — 3) ! ! 1 3 3 2 Иа — 1)п Е (и — Ь вЂ” 1)!аь (а-( Ьсов +сь)пх)пь [И+1 а =Ь +с[. й о ПРИ Впи1: ' (' А+Всовх+Слп* ( Вс — СЬ,, ВЬ+С +[А — — Р~..—,га) ~ +ь,+„,пх (ем. 2.558 4.).
ГХ1 [331)(18) Г а(х — и) З (а+Ьсоьх+сваях)п ) (а+гсов(х — а))п где Ь Реева, е=гвшсс (ем. 2.554 3.). 4. ~ ''*с(х ~Вх~(А-пВ)18~ 4+( 4 — 2)). Т(248) 2.556 1. ~ ' * ь=2аге18( —,' 182) [0<а<1, )х)<и). Ф 1193 Ф1193 164 з. нкопгклклкннык инткгкалы от алкикнтлкных етнкний 4, д)х а+ Ь соз х+ е з1о х х (а — Ь) За — +с агсф9 [аз > Ьз+се); Т(253), ФП94 ~ — ы з — + — ддддР— э 1л [аз < Ь*+ сз); Т (253) и Ь'Ь'+~ —" (.— Ь> ЗК *+.+ уьд+ед —.* 2 = — 1н(' + Ьа — ) [ =Ж 1 г с — [а' = Ь'+ сд]. Т(253) и е+(а — Ь) $2— 2 2.559 ад (дд ед ь ед Ьд ед ад ьд ад Ьд ез ед ад з $ аз !!ад Ьд !'+!ед а' ! ~! ' "Ц (ом.
2.5584.). ГХ1[ЗЗЦ (19) А соз' х+ 26 з(о х соз а+ С зшз х 3. ах а соз д а+ 2Ь з1а х соз х+е зшз х '='4Ь', +(' ), ([4ВЬ+ (4-С) (а с)[ х+[(А-С) Ь вЂ” В (а — с)[х х 1и (а созз х -(-2Ь аю х сов х+ с впР х) + + [2 (А + С) Ьз — 2ВЬ (а + с) + (аС вЂ” Ас) (а — с)1 1 (х)), 1. ах 1 [ е(аздпх — есозх), ( . х 1 [ [а(1+созе)+ез1цх)з ез [ а(1+созе)+ез1ах д. ™ 2 д ) 2. ° 1, А+В,сов х+С зш (ад+ Ьд соз х+ ед заа х) (ад + Ьз соз а+ се зш х) ах= ад+ Ьд соз х+ед 81й х 1 1 Их а +Ьзсозх+е дапх д,) ад+Ьдсозх-1-едзш з,) ад+Ь сод х+ед зшх ' 165 з.з — з.е тгигономнтвичпскии функции где И) — ' 1 '"+' '"" (Ь*> 2 $~ Ьз — ас с (ц х+ Ь+ ф' Ьз — ас пгс(ц и 1Ьз <'ас); Р" ас — Ьз $/ ас — Ьв 1 (Ьв= ас).
сФвх+Ь Е'Х1 331 (24) 2.561 (А+ В в(п х) (х вш х (а-+6 з(п х) т (343) (А+ В я(п х) ах з(п х(а+Ь соя х) +В~ При аз=Ьз(=1): т (340) ав=, Ьз(=1): При (А+ В в1п х) дх соз х (1+в10 х) (А+ и вш х) Ых сов х (а+ Ь соя х) т (351) (А+Всозх) Их зш х (а+ Ь з(п х) т(352) (А+Всозх) ах мп х (а + Ь сов х) т(345) аз = Ьв ( = 1). При (А+В х) 1 А~ В А4,В в1пх(1~сова) 2(1~«овх) 2 ЬК 2 (А+Всовх) ах А ( х(а+Ь х) а' — Ьз ).а ~„4 + 2) - ып '+ьз(пх). В ( сова ) а а+Ьзш 10. ~ 11.
1 (см. 2.551 3.) Т (350) (А+ В в(ох) Нх в(п х (1+соя х) (А+Ваш х) «х в10 х (1 — соз х) (А+ В зш х) Ых сов х (а+ Ь зш х) А х Ва — АЬ ~ (х = — 1и Фд — + а 2 а а+Ь я1пх (см. 2.551 3.). —,~ь, )«1пЬ вЂ” +И +. 1+ (см. 2.553 3.). 2 ))пью — + — г — ~+В13 —. А Г х 1 х — 1п йд —— ~ — ВСЬд-. 2 ( 2 1 — сова) 2 ' — ьз ') (Аа — ВЬ)1пьд(4+ 2) — (4Ь вЂ” аВ) 1п а+Ьззпх ~ А~в~ р+ ) . А-~в А Гх х~ В а+Ь сова = — 1п 1((~ — + — )+ — 1п « ~.4 2,l а сов х АЬ Г (х а ) «+Ьсовх (см. 2.553 3.). = — 1п ьд — — — 1п а 2 а вшх =, ' 6,~(Аа — ВЬ) 1п13 2+ ПРЕ авхх Ь'(= 1)", (А+В в(а х) ах сов х(1 ~ мах] 13 1 (А+Воовх) ах сов х(а+Ьсов х) = — )еьд~ — + — ~ =г А~В г е х'~ А-ГВ 2 (,4 2 1 2(1~2(ах) а 6~,4 + 2/+ а о а+Ьсовх (см.
2.553 3.). Т (М7) агс16(~ + 16х) ~ — > — 1~; Л ~Ь(~/ — '+ььбх) -3 — ' — 1 в(п х< — — ( Ь 2 а 1 а 1 Ь ( $ Ьг — а (а+Ь) г Агс1Ь ~!/ — — 16 х) '1. — < — 1, в)лвх> — а 1. МфК 155 а Ь : агс16(~/.+ьсьбх) ~ ь > 1 А 1)2 (~/ — + ь с16 х) — < — 1 сов х< — — 1.
Ь 2 а 1 а 1 Ь3' [' — < — 1, сов'х > — — ~ . МфК 162 — агс(д (~г2 16 х). 1 у 2 1. а+Ь 21авх 2. а+Ь савв х 3 1+в(ав х а'х 1 — в(ав х. 5. ах 1+сова х 6. 1 — савв х 2.563 = — = агс16 ()/2 с16 х). Ь' 2 = — сьв х. 1. ахгах-.~ = 1 Г2 Ь1 Их. 2а(а+Ь) (( + ) ) а+Ь21а'х + +, ', ~ (см. 2.562 1.). МфК 155 2а(а-(-Ь) ( ( + ) ) а-(-Ьсоввх ав( ьс,х 1 (см 2.5622.). МфК 163 2. (а+Ьсовв х)2 166 2. ПИОНРеделинныи ннгиРРвлы От влемеегааных Фунецей 167 2„2 — 2,6 тРигонометрические Функции 2 3 ~ раз гг1 2 1 в ~ 2рзах [Р =1+ — >0~; = — [(3 — — + — ) А ЬЬ(рЬях)+ вгаз~~ чз чв ) д — 1 — — >О, вш х< — —; при в1п х > — — следует 3 а а Ь Ь Агь)ь(дьях) заменить на АгсЬ)2(дЬдх)) . МфК 156 2 3 Ь рсзвх ~ 2 1 В ~ 2рс(вх [Р*=1+ — '> 01; 1~~231 = — — ~ ( 3 — — + — 1) Ать)ь(дсьях)+ дв= — 1 — — ) О, сов х < — —, при совах ) — — следует а а АРЬЬ(дсЬ6х) заменить иа АгсЬ)2(усах)~.
МфК 163 ц 2.564 1. Ьв х Вх 1п (ссвз х+ газ ввез х) 1+~в Ьлз х 2(азз — 1) 2. з — - — з(х = в(п2а 1пвш(х+ а) — х сов 2а. .Ь М~+Ьвх 3. ~ = — (Ьх- а 1п(а сов х+ Ь в(п х)). г ьа*ах З а+ Ь Ьд х аз+ Ьз Ла 210 (10) Ла 210(11) ц П (335) П (334) 4 ~ ьь = — ь [х ~ агсья(~ ьбх) ~ ззтаз, др З' зь!,г~зз или приводящиеся к етому виду гг 1 — в(п х . ггЬ (1 — в(п х) Обозначения: а=агсвш )~ 2, р=агсв(п 1гг / Ь(1 — сова) .. /(а+-Ь) (1 — сова) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
