И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ГХ1 [352] (2Ь) хт 117 24 ГИНЕРБОЛИЧВСКИК Фсницни сЛ ( — а Ь Ь 4- с) х 4( — а+Ь+е) 4 (а+ Ь е) ' ГХ1 [3521 (4а) 1. ~ зЬахзЬЬхзЬсхИ»= — —— сЛ (а+Ь+е) х 4 (а+Ь+«) сЛ (а — Ь+е) х 4 ( — Ь+«1 вЛ <а+Ь+е) х вЛ( — а+Ь+е) х 2. ~ зЬахзЬЬхсЬ с»ах, ( ь+ ) 4( +Ь+,) вЛ(а — Ь+с) х вЛ (а4-Ь вЂ” с) х ГХ1 [352] (4Ь) 4 (а — Ь.+с) 4 (а+ Ь вЂ” е) «Л |а-+Ь+е) х сЛ( — а+Ь+е) х 3 ) зЬахсЬЪхсЬсх )х 4( +Ь+ ) 4( Ь+ ) + + «Л(а — б+е)х + сЛ(«4-Ь вЂ” «)» ГХ1р52](4с) 4 (а — Ь+с) 4 (а+Ь вЂ” е) 4. ~ сЬахсЬЬхсЬсхйх — Ь + Ь + вЛ(а+д+с] х вЛ( — а+Ь+с) х + вЛ (а — Ь+с) х + вЛ (а+ Ь вЂ” с) х ГХ1 [352] (4ф 4 (а — Ь+ с) 4 (а+ Ь вЂ” с) 2.427 1.
~ зЬ»х зЬ ах е(х = — 1 зЬ» и сЬ ах — р 1 зЬ' в х сЬ (а — 1) жЫх] р+а ( э- 2. ~ зЬ»хзЬ(2п+1)х~й= 2, Х Г( — +а] р+3 2 - ~ (р+'+-- ) )С '~"„~ в, зЬе — в" х сЬ (2п — 2)е+ 1) х— 2 + Г(р — 2$+() Г ','+. 1 с зЬс-в" — ' х зЬ (2п — 2й) х + (' ' 2»с+вГ (р — 2Ь) [р не равно целому отрицательному числу]. При а=с. 4. ~ зЬ(ах+ Ь)зЬ(ах+с()е(х= — — сЬ(Ь вЂ” е()+4 — зЬ(2ах+ Ь+е(). ГХ1 [352] (За) 5, ~ зЬ(ах+Ь)сЬ(ах+с()с(х = — *зЬ(Ь вЂ” с()+ — сЬ(2ах+ 5+с().
ГХ1 [352] (Зс) 6. ~ сЬ (ах+ Ь) сЬ (а* -(- а) дх = — сЬ (Ь вЂ” с() + 4 зЬ (2ах+ Ь + а~). ГХ1 [352] (ЗЬ) 118 2, ннопРРдклинныи интВРРАлы От элемВнтАРных аьтнн~Нн 3. ~ яЬРхяЬ2пхс)х= ("+ ) Х Г ( — +и4-1) (р яЬ 2" — ' х вЬ (2п — 2й — 1) х (р ие равно целому отрицательному числу). ГХ1(352] (5) и 2.428 1. ~ яЬРхсЬах~й' — )яЬРх вЬах — р ~ вЬ" гхяЬ(а — 1) хЫх), р+а 2. ~ в)РхсЬ(2п+ 1)хдх= р „. х — ]г ~ — '+ — ~) гр-+1 Х ",~~ ~ вЬР— гьхяЬ(2п — 21+1)т— 22 "+1Г (р — 22+ 1) ь-я Г( — '-,'+и 2') яЬ 22 — (хсЬ(2п-2й)х + 222+2Г (р 22) г~р+2- ) ьььГГ~~ — 2 ) ~ 1 (р не равно целому отрицательному числу].
3, ~ яЬ" хсЬ2пхйх = (Р ) Х г (р+и+1) 1", ~ Г( —",+ -22) х ~ Х ~ ' вЬР ггхвЬ (2п — 2й)х— я 22"+1Г (р — 22+1) г — + — 22 — 1 1) 'ь,2 / Р Г ( — — и+1 1 — ь *ьа — ьь — ь) )-ь,~ ) ь-ь' и ~ 2'"+'Г(р — 22) 2"иГ (р+1 — 2и) Д 'цг не раино целому отрицательному числу]. ГХ1 ~352] (6) и 2А29 1. ~ сЬРхвЬаха(х= — ]сЬРхсЬих+р ~ сЬР 'хвЬ(а — 1)хЫх~ Р+а 1 2 г ~~ "+ х ь " ьа -ь.ьь)*.ь,„„~ ь„ь ) а'"* ь~ .ьи ь) ]р не раино целому отрицательному числу]. вл гинвгяоличвскив етнвцин 2.431 1.
~ сЬв х сЬ ах о(х = — ] сЬв х вЬ ах+ р ~ сЬв т х сЬ (а — 1) ивах), р+а 1 2 - -".--- ".„::.„] -- ' -) [р но равно целому отрицательному числу]. ~) [ 2""~Г ( — в+1 / м гЬв "хяЬ(2п — й)х+ .„1 сЬв "хсЬпхЫх [р ие равно целому отрицательному числу]. ГХ1 [352](8) и 2.432 вЬ(и+ 1) хвЬ" 'хЫх= — вЬ" хвЬпх. вЬ(п+ 1) х сЬ" 'хах = — сЬ" хсЬ пх. 1 а сЬ(п+1)хяЬ" ~хНх= — вЬ" хсЫпх, л сЬ(и+ 1) хсЬ" охи(х= — сЬ" хвЬпх. вЬ(2а+1) х ( 2 'ч оЬ(2в — М)х = Х 2в — 2Я о=о и — о Х вЂ” 1 ° вЬ Ь2ва, вЬ (2в — И вЂ” 1) а Ь (х=2 ~ о-о а — 1 сЬ(2в+1)з 2 1" сЬ(2а — 2й)а +) БЬа ~ вв — 2В о=о ГХ1 [352] (54) 3. ~ сЬ"хвЬ2пхИх=, " ., ~',)' . „„( в+ х Г ( — -~- о-~-1 ) (,2 Г( +1') мь" ьа — и.~.„„„] ь "*ь ы) 2" Г (в — +и [р не равно целому отрицательному числу].
ГХ1[352](7) и 121 2А ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКцни Прин 1ип=З: 23. ~ — з(х= 2вЬ х — 1нсЬх. Г з)зза 3 с)з х 24. —,с(х= з +41псЬх. Г з)з Зх 1 23 З Ь— звз'х (3 — и) з)зи з х (1 — и) зли з х При пзх1 и п=З: 26. ~ з(х=2вЬзх+1пвЬх. Г с)звх З в)за 28. — с(х = вЬ 2х — х. с)з и 29. 'з с(х = 4вЬ х — Загса(п (1Ьх). ,) с)зз х ЗО. ~ — „— з(х=4х — ЗСЫх. 2.44 — 2.45 Рациональнзае функции от гиперболических функций А+В зьх а — ЬА сь х (а+Ь вь х)и (и — 1] (аз+Ьз) (а+Ьвв х)и ' 1 Г (и — 1) (аА+ ЬВ)+(и — 2) (а — ЬА) зь х (и — Ц(аз+Ьз) лз (а —,- Ь вс х) з- з При к=1: А+Вас х з( В х а — ЬА 'з ах — (см.
2.4413.). ) а+Ьвьа д Ь,) а+Ьвьх а 1)з — — Ь+ У'аз+ Ьз а+Ь ва х У'аз+Ьз ав)з з — Ь вЂ” У'аз+Ьз а СЬ вЂ”.— Ь АгьЬ у аз+Ьз 1 аз+аз 2.442 А+В сь х (а+Ьз)зх)и (и — 1) Ь (а+Ьзах)и-з,) (а+ Ьз)за>и ' При и= 1: 2. ~ ь ) — з(хаз ь 1н(а+ЬвЬх)+А ) а ь.ь (см. 2.441 3.) 2.443 А+В сь х з а — ЬА зах (а+Ьс)зх)и (и — 1) (аз Ьз) (а+Ь с)за)и-з + 1 Г (и — 1) (аА — ЬВ)+(и — 2) (а — ЬА) сЬх 1 (и — 1) (аз — Ьз) (а+Ь сь х)" з с(х. 122 2. ИБОНРБдилкнныи интБГРАлы от элимвеетАРных Фуеекпии При в=1: А+~Ы* (   — ЬА 1 вх 3 а+Ьсвх Ь Ь ) а+Ьсах 1 Ь+а сь х — агсе(п — ]Ъ'.х а', х > 0]; УЬ., а-( Ьсь .
а+ Ь+ У ~х — Ь' СЫ— 1в ]ае Ъе]. У а ~ а+Ь вЂ” Уа' — Ье ФЫ вЂ”, 2 <Ь Г х+а х — аЗ 1. 1 = совесЬ а (ь 1п сЬ вЂ”, — 1п сЬ вЂ”, Д сЫ а -)- сЫ х 2 х а~ = 2совесЬаАЕЕЬ( ЕЬ вЂ”.ЬЬ вЂ”,) . 2 2)' Лх / х а~ ссе а-(-сь х = 2 совес а агс(и ~~ЬЬ вЂ” йв — ) . 2 2)' 2.445 1. ' Ых — — +А! (а+Ьсьх)" (и — 1)Ь(а+Ьсьх)" е,) (а-(-Ьсьх)и Прв в=1: 2. ~ ьсьх е(х ь 1п(а+ЪсЬх)+-4 ~ а+, (см. 2.4433.), При вычислении определевных интегралов с помощью формул вп. 2.441 — 2.443 и 2.445 нельзя переходить через точки, в которых подынтегральная функция обращается в бесконечность, т.
е. через точки х= АгвЬ( — — ) а~ ь) в формулах 2А41, 2А42 и через точки х=АгсЬ ( — — ) ь/ в формулах 2А43, 2.445. Формулы 2А43 при ве= Ъе неприменимы. В этих случаях вместо них можно применить следующие формулы: А+Всьх Веьх (е-! сьх)" (1 — и)(е+свх)и и — Е и '~ (и — 1) ! ч~ (2и — 2Ь вЂ” 3) ! ! е" + (ВА+и — 1Ь) (2и — 1))! ВЬХ ~~ (и — й — 1)! (е+ ы )и в (эха~1, И>1]. а=с При в= 1: 123 Ив ГИПЕРВОЛИЯЕСИИЕ АМУНИЦИИ а !асЬ(х+Аг1Ь вЂ” ) — Ьх Ь "~ зЬ х Нх а асЬх-~. ЬзЬх ав — Ьз а ~ Ьх — а !и зЬ (х+ Аг(Ь вЂ” ) ь) [а > ) Ь |]; При а= Ь=1: 2 г»Ь 'ех сЬх1-вЬх 2 4 х 1 — — + — е 2 4 Мф К 215 1.
ах — Ь !и сЬ(х+Аг(Ь вЂ” ) 4'~ сЬ пах а сЬ х+Ь зЬ х ав — Ьв — ах з+ Ыс зЬ (а+ Аг(Ь— Ь/ [Ь > ~ а !]. При а= Ь= 1: сЬхех х 1 зп .) сЬх+зЬх 2 4 При а»» — Ь= 1: сЬхах х 1 3. [ = —, + — ез". сЬх — вЬх 2 4 МфК214 и 215 2.449 Нх 1 1а сЬ х+Ь вЬ х!» рГ!ав Ьз!и >1Ьв сЬ» ~ х+А(СЬ вЂ” ) [Ь (а!]. Ьп(х ! Аг(Ь Ь., у !Ьз — азр П((и л=1! агссд~зЬ(х+Аг(Ь вЂ” ) ~ [а > ~ Ь]]; а+ А(1Ы— 1и 1Ь [Ь>!аД. При а =Ь= 1: 3.
! = — е *= вЬх — сЬх. сЬ а+вЬ х При ап» вЂ” Ь .1: 4' ~ сь* — вь х = е" = аЬ х+ сЬ х. МфК 214 При а= — Ь=1: 3. сЬх — вЬх 2.448 [Ь>]аЦ. МфК 215(и) 124 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЮУНКЦИЙ 2.451 А+В сЬ а+С зЬ х ( Вс — Сь+(Ас — Са) сЬ х+(АЬ вЂ” Ва) вЬ х (а+ Ь сЬ х+ с зь х)" (1 — и! (а~ — Ьз-)-сз)[(а+ Ь сЬ и+ с вЬ х)и в +, х (л — 1) (аз — Ьз+сз) (и — 1) (Аа — ВЬ+Сс) — (и — 2) (АЬ вЂ” Ва) сЬ х — (и — 2) (Ае — Са) зЬ х (а+Ь сЬ а+с зЬх)» 1 с(х [аз+ сз ий Ьз) Вс — СЬ вЂ” Са сЬ х — Ва вЬ х (и — 1) а(а+Ь сЬ а+с зЬ х)» Г А и(ВЬ вЂ” Сс)1 (и — 1)! + [ — +, [ (с с)Г х+ Ь з)з х) ', Х и — 1 (2» — 2$ — 3)~' 1 ~4 (и — й — 1)) а" (а+о сЬ х+с вЬ х)» в=о [аз+ с*= Ьз[. ( — Ь) 1Ь вЂ” ' — +1~а — Ьз+ * 1а 2 [Ь < а (-с" а а ~ ь); (а — Ь) ЗЬ вЂ” — с — )/ аз — Ьз+сз 2 = — 1п (а+ с (;Ь вЂ” ) [а = Ь, с ~ 0); [Ьз = аз+ сз), ГХ1 [351[ (18) ( — ь) 1Ь вЂ” '+ 2 2.452 А+ВсЬх+СзЬх ( 1 1 а,+Ь,сЬх+с,зЬх Ь=А (аз+ Ь, сЬ а+ аз вЬ х) (аз +Ь, сЬ х+ с, зь х) а,-(-Ь, сЬ х-(- сз зЬ х+ + 1,) аз+Ь1сЬх+сззьх + з,) а,+Ь сьх-)-с,вЬх где ь, сд а1 ез а1)з ° з с,а [ з ° З.
~~~"'" +С"*(х= '~'(сьх~=з )+[ — '-(~+"') + +1 Еь ~ —,— 2, 11а(а+ бсЬх-Ь ЬЭЬх) [аЬ ча 01. 6!х 2 2 4. (Ь вЂ” а) ц1 — *+ с — агс18 а+ЬсЬ х+с зЬ* у Ьз аз з )~ Ьз — аз — сз [Ьз) аз+со и а ла Ь]; $25 г» гипкриоличпскии е» нкции с» а» с» а» ад Ь» !в ) Ь» св +! а» Ь» ~ Ь» с» ~ ! , Ь, !»+! Ь, с, ГХ1 [351] ($9) А сь» х+2В сь т сь к+С вь» ж с1х = а сь'*л гь ьЬ а сь а+ вь' а ,([4ВЬ-(А+С) (а+с)]х+ -)- [(А + С) Ь вЂ” В (а + с)] )п (а сЬ» х+ 2Ь аЪ х с)г х+ с вЬ» х) + -)-[2(А — С) Ьв+2ВЬ(а — с)+(Са — Ас)(а+с)]1(х)], сда 1 1 с»Ь а+Ь вЂ” Р' Ь» — ис ~(х) = 1О 2р Ь~ — ас с»ьа+Ь+)/ Ьс — ас е»Ь х+Ь агс19 1 с са х+Ь [Ь» > ас]; [Ьв < ас]; [Ьв= ас]. ГХ1 [351](24) 2 455 ~ (А+Всьа)дх 1 ~(1 +ВЬ) ) !ц а !+ +(АЬ вЂ” Ва) 1п! Ц < 2.453 (см. 2.441 3.). 2.
~ ~"~ 'ь ) =:ь(а)п!й 2!+Ь)п! ~ !)+ При а»= Ьв(= 1): 2 454 (А+Ввьа) с" 1 [ (Аа+ВЬ)агсад(в)гх)+ ,) сьх(а+Ьвьа) ас+Ь» ) +(АЬ-Ва))п!-'+~5 — ~ Ц . $ .Ь ( Ь~Ь)~ а( ) 2!+ ! +Ь 1*! 1 +Ь~Ь*) (см. 2.441 3.). 126 При а*= Ь'(= 1): А+В, А-В = — СЬЬЭ вЂ” — — 1п СЬЬ вЂ” . 4 2 2 2 А = — ~ а агссд(ЭЬ х)+ ас+Ьс [ (А+В сЬ х) Лх ЭЬ х (1+ сь х) (А+В СЪ х) ах ЭЬ х (1 — сЛ х) (А )- В сь х) Лх сй х (а+ Ьсь х) ~3 ~ а+Ьэьх 2.457 При ах= 5'=1: [СЬсх> Ц 2.458 1 2 3 4 5 6 2.459 э неспРеделенные интеггалы Ог элеменгаРных Функпии ЬЬ|~+Ьа'х (см. 2.441 3.).
(см. 2.443 3,). +Ь ) с у ЭГС(ф( ~/ 1 $Ь Х) [ > АгьЬ( 1/ 1 — — ЬЬх) )Га( — Ь) г а О( — <1 или — <О и ЕЬ'х< Ь Ь а 3 а а Ь ) 1 А ЬЬ)' ~~1 — ЬЬх~~ [ < О ЕЬах > а 3 Ьга(а — Ы а» а Ь ~. МфК 195 ~ а+ьсдРх =р э сЯ($~ — ~1+ — )сЬЬх)[ — ( — 1~.
АРЬЬ (~/ 1-)- — СФЬ х) — 1< — (О и сЬ х Ь й аи а Ь.) ' . Агс(Ь ( 1/1 + — с(Ь х) р' а(а+Ь) к а [ — >О или — 1« — О и СЬ'х< — — ~. МфК 262 Ь Ь а ~ а а Ь ~- ах +, — — ФЬх„ 1 1,ь = — — А ЬЬ()/2ЬЬ ) 1 Ь' <Ц. = =АгсЬЬ(3/2 (Ь х) = =АгсСЬ(3/ 2 с(Ь х). = С1Ь х. ах 1 Ьвьхсьх Вх с ьс — >~ -~ьи +~ >3 .~мь 1 (см.
2.458 1.). МфК 196 127 2А гицкРБОлнчкскик Фъ'ницци ах 1 [ ЬвЬхсЬх 2. (а+Ьс)рх)в 2а(а+Ь) ] а+ЬсЬвх +(2а+ Ь) $ +ь,ы„3 (см. 2.458 2.). МфК 203 3. ах 1 Г~ 2 3 "~ ) (а+Ь вЬв х)в Орав ] ~. рв рв/ = — ~ ~3 — — + — / агой (р ЬЬ х) + +~ рв рв/1+рв ЬЬв х+~ + рв рв / (1+рв вьв х)в ) ~р' = — ' — 1> О1; ~да=1 — — > 0]. МфК196 23 — 2 — 21 р рв рв/ 1+рвсВЬвх ~. рв рв / (1+рв сВЬвх)в ) ~рв= — 1 — — > О~ . ~(3+ 2 + 2 ), ( .] е)+ +(3+— 2 в ~ ГсСЬх ~' 2 1 ~ 2асвЬх +Ф Фв/1 — Г свЬ ' ' ~ К ' а /(1 — гзсВЬ ) +~~1 — — + — СФУх) 19*= 1+ Ь >01 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
