И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 12
Текст из файла (страница 12)
— Х аз х ««(2« — 1)(2« — 3)(2в — 3).. (2« — 2Ь+Ц + (»+х~) 2« 1 21(л — 1)(а — 2).. (п — Ь)(1)-хз)в Ь «=3 Ф1140 2Л49 з(х 2л+ т — 3 х«'(1 — хз)х (пз — 1) хв 1(» — хз)а ' «1 — 1 их х"' з(1 — хз)« Ла 139 (34) При и= 1 — — — '+3 их 1 пх хП вЂ” з)«г( 1)(1 — *) -1+3 хП вЂ” хз] -' При и=1 и п=1 1(Х Х =!П х(1 — х«1 ~/( з Пх 1 х 2« — 3 (1 — хЧ" 2в — 2 (1 — хз)« ' 2« — 2 ] П хз)«-1 ° «- 1 пз з чз (2« — 1) (2« — 3) (2в — Ь)...(2а 2ь+1) (1 — х )" 2« — 1 2" (в — 1) (а — 2)...
(л — з) (» — хз)а-« й 1 Ла 139 (36) ))а 139 (35] ( — 3)Н 1.+. +, '!и —, 2'з. (а — 1! 1 1 — х Т (91) 2Л5 Формы, соцержащие нары биномов: и+(Ьх и и+бзв О б о а н а ч е н и я: х = а + Ьх) 1 = а+ Вх: А = а — аь зач «з "1 з(х = з «за "1"- а з(х= + + — ~~ з 1 'з(~. 2.151 2.152 з Ьх А — + — (п С.
в в Вх 3 — — — 1п х. ь ьз 1. 2. г~-13г 1)Ь за 1'" Ых 2.153 (и — в+1) Ь з" 1 (пз — в+ 1™1 (пз — л -(- 2) В 1 — 1)а ( Пд )в — з(х, зв 3 1. НИОПРЕДИЛКННЫЖ ИНТВРРАЛЫ От ЗЛИМИНТВРНЫХ ФУНКЦИИ 2Л РАЦИОНАЛЬНЫМ СЬРНКЦИИ б(х 1 Д вЂ” = — 1в —.
хд д х 1 1 (т+и — 2) Ь сидт (т — 1) Д д дх" д (т — 1) Д 1 1 (бе+и — 2) и ( (и 1)Д д» дсбб д + (в — 1)Д ~ — = — ( — 1вв- — 1в8) . бдх С»б-б бб б 2.155 дтс»-д 2.16 Формы, содерядащие хрелчлевы а+Ьас" +сдсае 2.160 Формулы приведения для ВА — а+ Ьх" +сади, д (Об+ й+и)б) Ь (» тбд д)б» д (т+2й+ 2йв) ' ~ +ай — 1 ддо,1 лр хт-ддЛ»»д и (сб — 2й) с (т+2йи) с (т+2йв) с,) ! = 2а (в — 1) (Ьх — 4ас), сов а = — = Ь 2р ис [Ьд> 01; Ла 146 (5) а )в —, 1в а а~+2дх тм — + 4» 2 +2сов 2 х» — 2сх сос — +с а 2 4сдс сдп и дб хс »3 — агсь6 2дх с1п— 2 [Ь <0) Ла 146 (8) и Ла 146 (6) 2. ~ — = — 1в — [Ьи > О[' г х (х 1 сх'+1 2 Л, 2й с»х+В 2»1»япя и 4»пдпп пх Ьсх»+ (Ь' — 2сс) х Ь* — Вис б(х Ьс хд Вх л Ла 146(9) и Ла 146 (7) ;) лб )л, + ( ) л, + г ) бдх Ьсх»+(Ьб — 2ис)х (4е — 7) Ьс ( ххб)х Ли (Л д + 1 сд Ли д + ) лбб-д [а > 11.
Ла 146 (10) В Тийпппс иихссдпхси (т — й+й ) Ь (' М -д-'дд,,с . (и)+2йв) с,) хсб Щ$ 2йес 1 „, длй д + Ьйв 1 т»А дЛи д (х т+2йе т+2йе 5 т+2йв с 2 161 Формы, содержащие трехчлен В = а+Ьах+схд. ь Ь 1 сб, б д »б»' — б, б д» вЂ” Дбх — б» б-у ь — и» б= уб-', г с 82 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ННТЕРРИЛЫ От ЭЛЕМЕНТАРНЫХ Фе пипия Ла 147 (12)и 2.17 Формы, содержап1ие квадратный трехчлен а+Ьж+сх" и степени х О б о з н а ч е н и я: А = а+ Ьх+ схх; А = 4ас — Ьа 2Л71 ~х Н(ха е ' — . х-Л (х х Л лап 1 ат „, а е(т+2а-1-2) е(т+2п+2) — $ х )т с(х.
Т(97) е (т+2п+2) 1 " ""' — - 1 " + Л" их Л""' Ь(п — т+1) (' Л" ах е(2а — т+2) (' Лаах хт е атх'" + ат хт ат хеа-е Ла 142(3), Т (98)и Т (94)и 2Л72 Р.178 Ь+2ех ) 2е ~ их (см 2 172) 2,174 хт ах — хт 1дх Л" (2п — т — 1) еЛ" е (2п — т — 1) е,) Л" + (т — 1) а Г При т=2п — 1 ета формула неприменима, вместо иее можно применить хеп еих 1 ( хха еих а ~ хе" елх Ь ( хе" еах Л" е,) Л" е е ) Л" е 2 Л" (см.
2.172). (см. 2Л72). — = — 1НЛ вЂ” — ~— хсЪ 1 Ь Г ах Л 2е 2е е Л 2.175 2 ах 1 (т+2п — 3) Ь (' ах х'"Л" (т — 1) ахе' 1Лае е (т — 1) а ' е х"' еЛп (т+Ьп — 5) Ь (' ах (т — 1) а е х"' еЛае их Ь+ 2ех (4п — 2) е (' их Л" = .ЛЛ-+ .А ~Л.. а — е (2ех+ Ь) ~ 2" (2а+1) (2п — 1) (2л — 3)... (2п — 21+1) еп Лапе 2а+1 а(п — 1)... (а — Ь) Аа"и™ 1=0 +2 )А" 3Л' и (2л — 1) 1! е" Г Нх Их 1 Ь+ 2ех — Ье — А — 2 Ь+ 2ех — -1п .
= АРЬЬ— — 2 Ь+2ех 2 Ь+2ех — агс19 у'А у'Ь Т (96)и (еъ < 01; (А =О1; Р> О1., вл Рап;иснальньаи ФРННИНи 'ь х ь'х сьь+Ьх ЗЬ (Ь+2сх) ЗЬс 1 ььх (см 2 172) ,) Вв 2ДВв 2ДвВ Дв с В 4. ~ — = — — —, (и В+ ~с, ~ — * (см. 2.172). х ь)х аЬ+(Ьь — 2ас) * 2а ( ььх ( см. хв ььх аЬ+(Ь' — 2ас) х (2ас+Ьь) (Ь+2сх) 2ас+ Ьв ( йз Вв 2сДВв 2сД'В Дв ~ Я (см.
2.172). 8, ~ — = — )ИЛ ав ь)х 1 ) Л а (2ас — Ьв)+Ь (Зас — Ьв) х Ь (Вас — Ьв) Г ььх 2св + свДВ ЗсвД 5 В (см. 2.172). 9. ~ В, — ( + + ), — $ - )Г (см. 2.1731.). ь)х — 1 Ьььп+п — 2) Г ььх х"'Ва (пь — 1) ахвв ьВа ь аьпь — 1) ) хвв ьВ" 2Л76 с (ьа+2а — 3) ( ььх а(пь — 1) З х ь-вВх Г )х 1 х Ь Г ь)х 1. ~ — = —,)и — — — ~— хЯ 2а В 2аЗ В (см.
2Л72). (см. 2Л72). 1' ь)х 1 1 1 хв Ь Г ь)х Ь Г ь)х Ь Г ь)х 3. + -)- — )д — —— З хВв 4аВв 2авВ 2ав В 2а З Кь 2ав,) Вв 2ав .) й (см. 2,172, 2Л73). Г ь)х Ь хв 1 Ьв — 2ас Г ььх 4. ~ — = — — )и — — — + — ~— З хвВ 2ав В ах 2а* З В (см. 2Л72). ььх Ь хв а+ Ьх (Ьв — Зас) (Ь+2сх) 1хвВв ав ~ В вЯ + вДЯ 1 /Ьь 6Ьвс бсвьГ Зх (см. 2.172).
6 ~ в — в ~ я ~ в (см. 2.173 и 2.$773.). хвВв ( 2ахв 2авх) В ( ав а ) ~ хВЗ 2св ~ и* (см 2Л731. и 2.1772.), 9. ~ — ",*,=(=', + —.",.) — ')-( — "„', — — ':~~ .„, +-"„,"-'~ — „", (см. 2Л732.„2Л773.). 6а 84 г. нвопгвдклвнныв инткггвлы от элкмкнтвгных етнкцик 2.18 Формы, содержащие квадратный трехчлен а+ох+схг и бином а+))х Обовначевия: В а+Ьх+схг; г=а+рх; А=а))л-аЬр+саР; В=Ьр — 2са; А=4ас — Ьг. (т+2и+Цс (1в+2в+Ц с ) (т — Ц А ~ т-гЛп с (т+2в+Ц с 1 лв ДвА Г Вп 'сЬ (т — 2и — ц () Я 1 (т — 2и — 1) рс ) хщ ил Г Лв-1гЬ вЂ” Ла 184 (4)и — () Дп~г (т — и — 2) В Г Вп с)х (т — -2в — 3) с (' Л 1(х (т — ЦА ) з"' ' (т — ЦА С 1 2.
Ла 148 (5) Ла 148 (6) Д» иВ ( — ц() .=+( — ц()* 3. 1 —— лс1 с)х Сп1 1 .Вв (т — 2в+Цс Дв 1 (л1 — 2и+ ц с ) Вв (л1 — цА Г ст 11ь (т — 2и+Ц с 3 Вп Ла 147 (1) лт — 1 3 ДП-1 Ла 148(З) 1 2(т — 2и+3) с Г сп'лх Вт "— )а 3 л" ' — л Ь+2сх ст ( — ца д- 1(Х вЂ”,~ГДп в(т Ц.4 лт 1 (т+и — 2) В Г Ых 1ди-1 (т ц,4 ) п1 1дв (т+2и — 3) с (' 4х (т ЦА 3 хт — 1Дп ) В Г Ь (т+2в -3)31 2(и Ц 1 т-1лп-1 2 1 1 лт-1лв + Ла 148 (7) 2(и — ЦА 3 лтдп 1 Ла 148 (8) При т=1 и ипп 1 йх )1 лп В Г 1)х — = — 1в — —— лВ 2А Д 2А 1 Л При А=О ~ь 3 сшлп (т ) и Ц В стлп-,1 (т+ 2и — 2) с Г «(х ( + — ц В 3 - л ' Л 148(8) 2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2.20 Введение 2.201 Интегралы ~ г1( х, ~ — *+ ), (- — ), ...)11х, где г, з, ...— рацио- *+г ух+~ = а"де вг общий знаменатель дробей г, с, ...
ФП57 налъвъ1е числа, приводятся к интегралам от рациональных функций под- становкой 86 з. нжопгидилвнныи интвгеалы от элимкнтаеных етнкции ) — =~ — —,+ — ) 1/х+ — ) = (см. 2.211). Гу'*1х . 1 1. 1 Г ь ~1 з1 11 ~х узах Г х Ьах ~2~ х 15а ухаз ( 22136) ~ Ь Ь'/ з) Ьз .( з) з/ '/' Обозначения: з = а+Ьхз, аз= 1/ —, а' = зг 2.216 1. ~ У = ) — — ~~ = ~ж. 2.214). Ь 2 за)/х 2. ~ Ь х — Ь У (см.
2.215). зь ь2 3. ( = = —, + — ( (см. 2.214). ,~ зз у'х 2азз 4а,> з ух + ' У *"' ( 2.215) з) 2азз 4а,) 5. ~ у = — ) + — (см. 2,214). з1 2Ьзз 45,1 з 6. ~ = — — + — ~ — (см. 2.215]. Г х*У'*4* хУ'* 3 Г У'х1х з$2Ьзз 4Ь 2 зз 8. ~ = ( — + — ) х )/х+ — ~ — (см. 2.215) 6 Узах Г 1 5 ~ — 5 1 )/хдх з1 (, 4аз1 1еаззз ) 32аз,) зз 2.22 — 2.23 Формы, содержащие Ь/(и -~-Ьм)" Обозначение: а=а+ Ьх. З вЂ” " ( — 1) (Ь) з" ~а" 1 ~/,от+О+1 з'*= (.'1 ~ — и+~( +~>+/) 2.220 2ьа з~ а'+у'х а' / ( Ь 1 1/хИх 1 Г а+ау 2х+аз а1/2х1 Г а 2.215 ~ — = — ~ — 1н + агс16 —. ~ ] — > О~; -у-2~ = —,1 1а + 2агс18 —, ~ ~ — < О~ . 1 Г а' — Ух 2Ьа' 1 а + у'з Квадратный корень +~~ '" . + (2ив — 2и+3) (Ьж — 3п+5)...
(2ж — 2п+ 25+1) Ьп 3и (п — 1) (и — 3)...(п — Й вЂ” 1) хи И"~ ии+з З-1 (3щ — 2и+3) (2т — 2и+5) (2щ — 3) (2ги — 1) Ьи з (' У" ах + 2" 1(и — 1)! х При а=1 4. [а (01 2.221 2.222 1. 2. 3. 2.225 2 з 2.2 Алткнхзн'чнсиик Фхнкции ( — 1)" зи "и" ~ х" ф З ' спи ~,Я 3и 35+~ +1 — зз аз+ аз~) Ь/з .
~.5 3 / Ьз 1 ~-= Ь— =(з+а) —. = — — 2аз — аз),,г-- ° з'" Р з 2ла — 2п+3 Ь Г зии их „,+ (и — 1) ихи з 2(п — 1) и х хи а )/з ' 1( — 1) ахи ~ — аххи + а ~ =Их. Ф/з (2 — 1) $/ х $/ ззв 2ит-ззз дх = с(х= У. +а х 5/з й) (2Ь вЂ” 1) )/ з === 1в (а > О); Их 1 ')/ з — )/а х Ь/з )/и )/з+Ь/и 3 У'з == агой 2 )/а+а ~ = х )/з )/з Ь Г их + х 2 зз хЬ/з 5~ из Ь )/з Ьз 1 ах 2ихз 4их 8и 3 х Ь/з (см. 2.224 4.). (см. 2.224 4.). (см. 2.224 4.)„ 3.
НКОПРВДКЛВННЫВ ИНТВРРАЛЬХ ОР ЭЛКМКН'РАРНЫХ ФЪ'НКЦНИ 2.228 (см. 2.224 4.), (см. 2.224 4.). (см. 2.224 4.). ЗЬ Г а(х 15Ь' ~ 1 15Ьа Г ах .— + 3, ~ у,. (см. 2.224 4.)1 2.224 4.). Кубический корень 2.231 1 а Зв — Зва+4 Ь ( а" Зх "+з (ва — 1)аха' 1 3(ва — 1) х,) хы-а ф' аа + 5. При т=1 ахах +а х ))" ха (Зв — 2) )) аа 6, * — ',+ хз-У.Н ( — 1) — .+ ах 1 ах хфха 1 ~ Узах 2.2ав 1. 2. За =(3 +а)2У +аз ~ = РЗ ЗЬ Г у'ЭЗ + Г 3 х 2 1 ~ Зх — Х + — 1 —.
(2й+1) -йай )/ х' 3 . у'х ' й 0 в ( 1)й / 1 хв-йвй 3 )Ухав+а а~ аЗ Зв — Зй — 3(ва — 1) — 2~ Ьв аф З1в-11+а й=з х 1, й (~"'' 1 1~1 Зв — Зй+3 (и+1)+2) Ь'"' ( ~ в ( 1)й ("~~ хв-йхй 3 ))"дви~ а ~~З Зв — Зй — 3 (ва — 1) — 1~ Ьв а ))" аж — 1)+1 й=с а (см. 2.224 4.). (см. 2.226 1.). (см. 2.226 1.), (см. 2.224 4.). 89 2.232 2.234 1 зп ах хаввуз При 2.235 2.236 1 ))' з+2ф а (2ю+ 2аь+О () и (2и+ 2ив+ () Д,) р'~ Ла 176 (1) и з Х Ц Ьз Х ( 1) Я 2Ь вЂ” 2р-(-~ В-0 х-О зивви Дх ф' л ~ Гила'ах Ь/з Х.З АЛРЙБРАИЧВСКИИ ФУНКЦИИ ~ — =3 рх+а ~= ф'зФх з))з Ь з, Ь Г ах — = — — + — )~х+ — ~= хв ах а 3 3 х))"зз + /р .')х з Г Ых ))'з 2Ь Г Гх .в Ев в ах За ) х))"х~ — — .) п Зх зи ф зв Зи Зли+5 Ь ~л ~у-= (ви — () ахви в З(ив — в) а 5 т= 1: .«ах З.и (..и-в ах +а( 'х ))з (Зз — $) ф з ) х)) з ( = ~ — 1и + р~ Ззхс18 ах ( Г 3 )~з — фа х()'з фаз в 2 х )) звйх Р зв Ь з,— з 2Ь Г в)х = — — + — ухз+ — ~ = ах а 3 З хфз 6 2.24 Форин, содержащие )/и+Ьх и бином а+рхз Обозиачанииз а=а+ Ьх, Г=а+()х, А=а)) — Ьа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
