И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 19
Текст из файла (страница 19)
3 2 3 81пахсоззх4Ь= — 8)пз х! — + — Соззл-соз4л~ 3 1 . 1 зш' л со84 х Ых = — х — — зги 4х+ — зш 8х. 128 128 1924 3-1 ° ~! (23 — р — 2) (2а — р — 4) ... (23 — Р— 25) 3п-33-1 ). + Л! (23 — З)(23 — 5) ... (2а — 22 — Ц 3 ! (2а — р — 2)(2а — р — 4)... ( — р+2) ( — р) (' ° Р + (2а — 1)! ! 148 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ дЛЕМЕНТАРНЫХ ФРИКЦИИ 2.515 — — 1 совесв — ' х+ Вх сова '( В)п«1х 1-1 т1 2«(1 — 1) (1 — 2) ... (1 — й) Н 2«1 + ~, (21 3) (21 3)... (2( 2й 1) СОВЕС Т (242) пх 91011" х 1-1 +,'У вЂ” — — ) совес" х+ 21 (21 — 1) (21 — 3)...
(21 — 2й+1) совесв' — 2" х 1+ 2" (1 — 1)(1 — 2) ... (1 — й) + ( ' 1Н1Р— * '. Т(243) 211) 2 2.51о т с1х 1 91пв "1 х сов х ~-~ (2т — 2й+2) в«пвх 9«9 х + 1п1хх. «=1 в' ~ / + (п 18(' —;1, ып«х х сов х а-) (2~ 2й ( 1) 91п ваь-9«чх «,4 2/ ' 2.518 910Р х в)пп-«х — 1(х= — (р — 1) 1 в(НР вхЫх. сов« х сов х совпхпх сова 1х в)пвп х 2п — 1 и — 1 + -~ (2п — — 2) (2п — р — 4) .. (2а — р — 2й) (2а — 3) (2« — 3) ... (2« — 2й — 1) СОВЕС и-2 — Х + «=1 2, (2п — р — 2) (2а — р — 4) ... (2 — р) ( — р) (' Р + (2п — 1)1) ~ СОВ Х 1(Х.
9-1 + Х (2а — р — 1) (2п — р — 3) ... (2п — р — 2й+1) вес2"-2«х 1 + 2" (и — 1) (а — 2) ... (а — й) «-1 ! (2а — Р— 1) (2п — Р— 3) ... (3 — Р) (1 — Р)' (' вппп х 2"п ~ 3 совх - вх. Эта формула применима при любом действительном р. При Л=О и р натуральном имеем: Г 910«1'«хВх ~-1 9102«х 2, ~ = — ~' — 1п сов ж. сов х, Ь 2й ' «=1 ~ "",",;." = —.р, ","„'"",+ кЯ+О «1 149, в ь в 6 тРигономРРРииескиг Функт(ии 2.519 1. ~ — = — ~весзв зх+ Ох в(их Г совз'х 21 — 1 1 1-1 2" (( — 1) () — 2) . -.
() — )з) и вз, ~ 4 (2) — 3) (2) — 5) ... (2Š— 2)з — 1) З=з т(24О) И-з ° ~~ (2з — 1) (2( — 2)... (2) — 2)з+1) 2в() — 1) (( — 2) ... (1 Ь) т <241), 2.521 + Х (2и — р — 1) (2п — р — 3)... (2а — р — 2)з+1) в вз ) совес х~ + 2в(а — 1) (и 2)... (и — Гз) (2и — р — 1) (2п — р — 2)... (3 — р) (1 — р) (' сових + 2и-и! ,) в(о Зтв формула применима при любом действительном зо. При л =ХО и р натуральном имеем: 3 Р З~" х Ь совввх 2. = ~~~ — + )ив(пх.
ЫОХ 2В «=1 ~сов" х Ь ~ совзз.зх х з з 2,522 .-. -х Рх 1 +1п(,дх. в1ихоовзиззх хз (2вз ИВ+2) . ззз-зз зх в з з =~ +)п(К вЂ”.. ГХ 331 15 . -х «)х 1 х В1О взих Л~ (2 2Р+1) сов. в. х 2 И ) и=в Р совзи х совзи з х 2.523 ~ —.Г(ххи — —.— (Рз — 1) ~ сов" зхЫхз в~ в)азх в(ох Эта формула применима при любом действительном р. ~ сов" х зй» ° при р натуральном см.
2.512 2., З..и 2.513 3.„4" .При л *(),;и р целом отрицательном дли етого интеграла имеем: 2.8 — 2 З ТРИРОНОМИТРИЧИСКИИ ПсУНКНИИ 10. ~ — = 68х. сх~ савв х с!х всп х 2 1 12. ! — = + — Фдх= — 13вх+вдх. ,! сов42 Зсоз'х 3 3 с!х в!пх 3 в!пх 3 ! с х ° ~ .=.... ~- -) совзх 4совсх 8 соввх 8 о~ 2 4 ) 5 ' +1 32 +5 "в 5 в +3 Г с!х вшх 4 2 ~А» вшх 58!пх 5вшх 5 ! / х л '~ ° ~ — = .
— '(- -) аи~з ссовсх +24совсх+16соввх 16 сс ~,2 4 ) ' $6. ~ — *, = — Фдвх + — Фдзх+ 522 х+ ФКх. Г в!ах 17. ~ — 41х = — 1п сов х. 3 совх Г в!пвх гд х.с $8. ~ — 41х = — вш х+ 1п 18 ! — + — ) . 3 совх ~,4 2)' Г з!пзх в!пвх 19. ~ тххх — — -1псовх= — соввх-1псовх. 2 2 Г з!п4х 1 Гх х 20. ~ 81ххх — — 21п х-вшх+1И18~ — + — ), 3 ~,2 4)' 1 в!пхссх 1 ,1 савв х сов х Г в!пвхс!х Г вспзхосх 1 23. ~ =совх+ —. савв х СОВ Х Г 8!п~ х сХХ 1 3 24.
~ =1дх+ — вшхсовх — -2-х. соз' х 2 25. Г в!и х с!х 1 1 = — аз х совсх 2соввх 2 С з!и хс!х вшх 1 Гп х~ 26. = — — — 1п 1ц ~ — + — ! . совсх 2совзх 2 ~.4 2) * 27. ~ = — в+ 1п СОВ х. Г вшвхс!х 1 савв х 2 созв х Г в!псхс!х 1 в1пх . 3 с х х~ 28. ~ = — — +вшх — — 1п18~ — +-) савзх 2 созвх 2 ~,2 4) в!и х с!х 1 совс х 3 сазз х Г вшвхс!х 1 30. ~ — — = — 188 х. сов' х 3 31.
. ~ — "'""'*- — ' + созсх совх+ Зсозвх Г з!п' х сХХ 1 32. ~ = — 1цвх-1дх+х, савв х 3 33. ~ . = 1И зшх. Г совхсСХ ВШХ 34. 1 . = х+ь18 —. ВШХ 2 ' 152 3. НВОПРВДВЛВННЫЕ ИНТВГРАЛЫ ОТ ЭЛРИВНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 50 51 53 56 57 58 59 созз х Зх созз х +' . + П1 ВШ Х. 31ПХ 2 =-.-"+-х+' 'Ы сов х 1 — 81х = — —. 31пз х 81П созз х —.— 4Ь вЂ” айвах — х. 31аз х — - ° соФх . 1 г — СЬ= — вшх —— япз х 31П Х сов 4 х 1 3 81хзх — с1дх — — 81ахсовх — -х х.
81ПЗХ 2 ссзх 1 81х =— зшзх 23ш*х соФХ созх 1 4Ь= — . — — 1а18 —. ыазх 281азх 2 2 соФ х 1 — 41х = — . — 1а 81ах. 81пз х 2 81аз М -- — =- ° созз х 1 соз х 3 х — СЬ =,— — —. — сов х — — 1а $8 —, ЗШзх ' 2 81пзх 2 о 2 соз х 1 —.— дх=— зпТХ 331пзх сов% 1 — 41х = —,— С18 х. зшзх ' 3 соФа 1 — 81х = —. япзх зшх Зяпзх соззх 1 3 — 4Ь= — — сбд х+сйдх+х. 81пзх 3 = 1П1ах.
81П Х СОЗ Х Зх 1 х = — + 1ай8 —. 81а хсоззх сов х 2 ' Зх 1 = — +1л1их. з!п х созз х 2 соз* х + вх 1 1 '.х = — + + 1аво —, 31п х соззх сов х 3соззх 8 2 ) Их Гп х'1 = 1а 18 ~ — + — 1 — совес х. 3!пзхсозх .. ~4 2 ) = — 2 свд 2х. Зх 31аз х соз' х СЩ с~х 1 8 31пзхсоззх 331ахсоззх 3 дх 1 — = — — +1айцх. 31пзхсозх 23шзх ( 3+ 81азхсоззх созх 1, 28швх 2 l 2 2 !ПМ вЂ”. — + х. — +21пз х 81аз х соФХ 31пз 2Х 2.$ — 2.в ТРигОИОмп'гРичпскин юункции 60 !!х 2 1 совх 5 ) х + вшвхсовсх сова Зсоввх 2в1авх+ 2 6 2 ' — + вш! х сов х в$п с Зв1пвх + ~.
2 4.~ ' !2х 1 8 в1п! х сов» х 3 сов х в!ав х 3 6З. 1 в!па 51 ~х к1 вшсхсоввх в!ах З»1авх 2 соева + 2 о ~ 2 + 4 ~ 64 ~ м ".= 8 "62х — 3 с16'2*. с!х 8 2.527 1. ~Сйвхдх= З вЂ” ~ 26! 'хЫх (р ~ 1). 2. ~ 162"" х!(х= ~' ( — 1)"'» ~" )2»~~в, — ( — 1)" 1псоах= ( — 1)»- !З =;Е, 2„-+, — ( — 1)" ) А=! 1 2 -г»+! 162 х!(х = ,!', ( — 1) +( 1) х. й=! с18Р хс(х = — ~ — ~ сгдв"в х ах (р Ф 1). с16~ +Ахах= Я ( 1) +А+ ~ ) +( 1)а1пв(пх й=! А ! гх1 (3311 (12) 2.53- 2.54 Синусы и косинусы кратных дуг, линейныл н бовен сложпых функций аргумента 2.531 1. ~ в(п (ах+ Ь) с(х = — — сов (ах+ Ь).
1 1 2. ~.сов (ах+ Ь) дх = — вйп (ах+ Ь). 2.532 1, ~ в!и (ах+ Ь) в(п(ох+а)!Ах= в'и йа, '! + вш йа+с) в+5+3] 2(а+с) 6. ~ с16 ' х=,'3 ( — 1)"" „+', +( — 1)"х. ГХц3311(14) Формулы частного характера для р = 1, 2, 3, 4 см. 2.526 17., 2.526 33., 2.526 22,, 2.526 38., 2.526 27., 2.526 43., 2.526 32,, 2.526 48.. 155 е ь — 1 е тгигономвтгичвския а гнкции 2.
~ виРхвш(2п+1)хе(х=(2п+1)~~ вш""ехах+ и! (» [(2»+1)а — 1Ч [(2»+1)* — 3!) ... [(2»+1)~ — (2й — 1)*[ С . »»,и +Х(- ) (2й+1) [ ! в(ц ' "хе(х г, » ! Т (299) ( р — 1 Г ( — + и — 2»~) +( — 1)" ', „, ) в[на-в»-!ха[а(2п — 2й)х + '2!»"Г (р 2») ( — 1)" Г Р+ — и 3 ~ "'"'*и). УХ!(332!(5 ~ 2'иГ (р — 2»+ 1) ! в1»ии'* 3. ~ в1а" хвн! 2пх !(х=2п.[ 2 + р+2 и — ! — 1 "( )( ) '" [ ( ) [в[а!»""ех1; Т 303 + ~! ( ) (2й-[ 1) [(2»+р+2) '"" ~Г »=! [" '( — 1)»'Г( +и — 2») х сов (2п — 2Й) х— Г ( —,+и+1) 2 ( — 1)" à — +и — 2й — 1) — ( — ' -). 2 2!»'»Г (р — 2й) в(ни — »»-! х вш (2п — 2)е — 1) х [р не равно — 2, — 4, ..., — 2п]. ГХ1[332)(5с) 2.536 1.
~ вшихсовахе(хии — ~впРхв(аах-р ! вцР хв(а(а — [)хНх~ . 1 ! -! р+а ГХ1 (332) (ба) е(аи+! и 2. ~ впРхсов(2п+ $) хИх= + и с~ » [(2»+1)* — 1Ч [(2»+1)' — 3Ч" [(2и+1)' — (2й — 1)Ч . 2»+и+1 х Т(301 »-! Хр — 1 Ф 4 ( — 1)»г( — + — нй 1 ) вши — а»-! х сов (2п — 2)е) х + 2 2а»" еГ (р — 2й) ( 1) г( — ) / р+3 г 2 Р( 2 1)Ч [ )' (р не равно 3, — 5..., — (2п+ 1)1, ГХ1 (332) (бс) 158 2.
НВОПРВДВЛВННЫК ИНХВРРАЛЫ ОР ЭЛВМВНХАРНЫХ ФУННПИЙ 3. ~ в)В *. 2 Ь = ~ в)В * Ь+ и + ~', ( — 1) ( ) 1 ~ я2нвп+2)х)(х; Т(300) „(. „~,)~ ~ .' ° (, .+ ° ~ 2 (э — 1)п Г ( — + и — 2)6 — 1 ~) 2 А Г(р — ВВ) ( — 1) г( —" — +1 ) — "*6*~. ГХ2 )332) )6 ) 2" пГ (р — 2и.+ 1) 2.537 1. ~ сова ха)пах)1х= — ~ — соя" хсовах+р ~ совР 1хв)н(а — 1)х6(х) .
р+а )) ГХ1 1332] (7 а) с пп" а 2. ~ сов" хвш(2п+1)х)6х=( — 1)""1 +1*+ р ), [(2и+1)2 — 12) ((2п )-1)2 — 36) ... И2п+1)2 — (2)) — 1)2) +~~ ( — 1) . 3 "+ сов 'Р"1х~; А=1 Т (295) 1 ( У., „„' „6 -" ))л — 66-)) 6. (-~.* П) 6.2),6*~; )р'не равно — 3, — 5, ..., — (2л+1)1. ГХ1 13321(7Ь)и и 1ССПП 2а 3. ~ еовяхя(В2лхах=( — 1)" ~ — + р). 2 и-1 ), (4и2 — 22) (4п2 — 4*) ...
!4п~ — Д)6)~) + 3') ( ) (2й+1)1(2)6 1-р-)-2) 1 Г ( — +и — й~) 'х. 2 г ( РВ+1) +. 1, 1 ~ сов хя(ВВХ)вх) 2 "Г (р — и+ 1) )р не равно — 2, — 4, ..., — 2л). ГХ11332)(7Ь) и 2.538 1. ~ соврхсояах)6х= — ( совпхвшах+р ~ сов'"Ххсов(а — 1)х)1х~ . р+а ГХ1 1332) (8а) 156 БХ [71] (2)и 2.542 в!а 2х г 1. —. Б(х = БП18 х (а — 2) Б1п в х При п=2: 2. 1 ., в(х =21пвшх, ,) 81ав х 2.543 818 2х вх 2 сов" х (и — 2) сов" *х ' При п=2: 2.
~ — Ых — 2 1п сов х, Г 81П2х ссвв х 2.544 2.541 1 2 З 4 5 6 г 2. ИПОНРидилинныи интиГРАлы От влиминтАРных ФункциИ вш(п+1)хвшв 1хс(х=*-вш" хв(ппх. БХ [71] (1)и вш (и+ 1) х сов" вх а(х — — сов" х сов пх. в сов(п+ 1) хв(пв вхс(х= — 81пвхсовпх.
сов(п+ 1) х сов вх 1вх= — сов" хвшпх. БХ [71] (4)и ~ вш ~(п+1) Я вЂ” х)~ вшв 1хс(х= — вшвхсовпЯ вЂ” х), БХ [71] (5)и ~ сов ] (и+ 1) ( — х)1 вп1 ~х((х= — в(цвхвшп( ' х) БХ [71] (6)и сов 2х <Ь = 2 сов х+ )а йд —.. х БП1 х. 2 ' сов 2х Вх — = — сСд х — 2х. Б)а сов 2х вх сов х 3 — — — — 1п Сд —. 81пвх 28П1вх 2 2 со8 2х 1)х /л х~ СС8 Х = 2вшх — (ива( —.(- — ~. '1,4 23' = 2х — Сцх. = х+ 81п 2х.
81ав Х вЂ” ".а — х с(х=З)Н1и х+4совх. 2 — 1(х= -ЗОВдх-4х. 81п Зх 81ПВ Х ь— в(пйв 4 1 сов"х (л — 3) сов" вх (в — 1)сова 'х 2.2 — 2.6 тРитономмтРичискии Фъ'нищ%и При л=1 и и 3: 2. 1 ш Их=22)ивх+1асовх. ,) сов х Г в(азх 3. ~ — Нх= — — т — -41асовх. савв х 2сов х '* 1 сов Зх 4 1 вш" х (и — З)в)аи *х (и — 1) вш" 1х При и=1 и л=З: 2. ~ . баххх — 2вшвх+1авшх. Г соввх вш 1 сов х ٠— 4(нв(ах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
