И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Нж Г я юЫ 1 1 ,) ~~ А,) 8 л Й А — й' Г совх~Ы Г дх 1 1 — А 74. ~ —.— = ~ с1 х — = — 1п: ,) в1ах А,) А 2 1+А Вх А совх 1+й 1 А+воях ,) А в1аях 2в1аях 4 А — соя х ,78 хх А 1 1 А — й мах А вшя х соя х вш х 2й' А+й' ша х ' 77. 4х А 1 А — сов х — !и Азтхсояях й'яссах+ 2 Л+соях ' Нх Аз1пх 2йв — 1 1 А — й'в1пх 78. ~ —, + 1и —, А совв х 2й'Я сояв х 4й'Я А+ й' шп х Г в1пх Вх А 79.
~ — — =, .) соявх А й" сов х Г совх дх Ь 80. 2- я1ав х А з1а х 81. ~ — = —, 1п, . — — огсз)п(йз(пх). Г я1авх Вх 1 А+й'яшх 1 соях А 2й' Ь вЂ” й'я1ах й 83. ~ л,, = — ( — А с18зх — А(2йя+ 3) ссдх+(йя+ 2)Р(х, й)- — 2(йв+ 1)Е(х, й)). 84. ~ ~; я — ~ (сдх+2сВдх+с18хх) — = . Нх Г Нх Ь 1 Ь+ й' йв+2 1+Л + —. 1п —, — — 1п —. 2в1пях 2й' Л вЂ” й' 4 1 — А * 85.
~ „,, = ~ (18ях+2+с18ях) —,х = — — с$8 х )Л +:, Е (х, й) + 2Р (х, й), г щх йв — 2 86. ~ ., = ~ (с18х+218Х+48ях) — *= Л 1 1+Л 2 — зйв А+й — — — — 1п — +, 1п 2й' савв х 2 1 — Л 4й'Я Л вЂ” й' ' Г з1ах Хх Г Их А йв А+й' 88 я 18х(1+18 х) — — 2йя я — 4йя1пл й ~ соях 1 А й* 1+А 1п —. вш'х А 2я1авх 4 1 — А ' ав — 2.в тгигономитгичвснии Фъ'нкции 1 Для а= -)- — имеем: й вх 1 ( йсовхЛ 11~ йв1п х)хЛ (2х — 1) й'в 1 (1 ~йв)пх)" ах (' ох +( — 1)(5-Вв) 1 (1 й,.( )„, — 2(2В-3) 3 И й,„)„,л + ~-~ — 2) ) х„". с ) .
ГХ!о41! (1 ) Этот интеграл сводится к интегралам: хх й сов х Л ' 1 (1-~й~)пх)Л -~ йсв(1-~в;пх) +й'~~(Х' Э ~ Г ~Гх 1 ~ йй'всовхЛ й(5 — йх) сова Л (1~йв)пх)'Л 2й'с (. ~(1~йв1ах)вл- 1~йв)пх — Ж'Р(х, й)-)-(5 — Ьв)Ь'(х, й)1. ГХ(~24$] (7с) 2.587 ° 1 (Ь+сов х)п+х Юх 1. —, ~(Ь+ сов х)" а)ахи+2(2р+ 3) ЬИ ~ — о+со" — с +вь ь) ) вхм'-к'х ~ Л +(2р+1)Ь<Ь" — Ьв+ Ьйв) '1 ('+' *'"" + +р(4-Ь)(Ь'в+а Ь) ~ "~ Л ~р~ 2, Ь~ -)-4, Ь:р.— „1. При р =и натуральном этот интеграл может быть сведен к следующим трем интегралам: 2. ~ с(х=ЬР(х, й)+-агсв)п1Усв)пх). 3.
~ <Кх= й, Р(х, й)+ —,й(х, й)+ — агсв1п(йв(пх). Г (Ь+сов х)в Ьвйх — й'в 1 2Ь 4 Лх Ь ~' Ь ~ ~ сов х ах (Ь+совх) Л Ьт — 1 ~, ' Ьх — 1 ',/,) (1 — Ьх — вшв х) Л где 5. сов х с)х 1 (и— )С 1 — Ь Л+ й ЬГй' д-йхЬ М (1 Ь в)а х) Л 2 $l (1 — Ьв)(й с+ась ) 1' 1 — ЬзЛ вЂ” й $Г й в+йово)п 2.588 вх 1 в)ахЛ (Ь+совх)" Л (и — 1) (1 — Ьв) (й'*-1- Ьвйв) ( (Ь+ сов х)"-' — (2п — 3) (4 — 2)св+ 2ЬЧсв) Ь ~ — (и - 2) (2йв- 1 — 6Ьвй*) ~ -(4 — Ю)ЬКв~,ь ~*.,„„+(В-3)йв 1, ' „,л 1 [и+1, Ь~ -)-1, Ь~ 4. (84 к ннонгидилннныи интнггллы от алиминтлгных функции Этот интеграл сводится к следующим интегралам: 2, лх (Ь+ осе х)' о 1 с(х 3.
1, Г в1пхЛ (Ь+совх)ха 2(1 — Ь')(й' +Ь*йв) ) (6+сов х)' — 3Ы1 — х'.~. 2Ь'~ ~ — ох — $ — балл ~ * — 2ьй'Рс, п1 ~ . 2.б68 2. 2 БВ7 4,~ 2.589 (с+Се х)Р" сх 1 Г (с+СЛх) Л ) 2(2 ( 3) й~в С (с+Фаях)~ ох — (р+1) (1+й'в+бсвй'в) $ — +(л ) + + (2р + 1) с.'($ + й'в + 2свй 'в) $ ( + ~ х) — р($+ св)($+й'св) $ (+ в ) ~ Грай — 2). При р=п натуральном этот интеграл может быть сведен к следующим трем интегралам: 2. ~ с+1ях 1 Л (-и' А ' 2й' Л вЂ” й' Ых=сР(х, й)+ —,1~ —, 3. ~ а С(Х=й,в 10ХЬ+С Р(Х, й) — — й,в Е(Х, й)+ — „, )П Г (+1~;х)с 4. ~ = — Р(х, й)+ П (~х, й) сх с 1 Г 1+св (с+Всх)о 1+св ' с(1+св) ( ' с* в1п х сов х сх (св — (1+ св) ваяв х) А где 5.
в1 и х сов х ~(х ф' 1+ свй'в+ Г' 1-)-св о (с' — (1+сс) в'сс х! Л 2 у'(1+сй) (1+с й') р'1+ссй' — у'Г+ст а ' 2.591 сх 1 о (с+во х)" Л (л — 1) (1+сс) (1+йвсв) ( (с+$д х)л 1 вовс х +(2и — 3) с(1.+ й" + 2с'й') ~ + а.а — 2.6 туигономитгичкскик Функции Этот интеграл сводится к интегралам: 2. вх 1 ( — Л (с+Фях)ва ($+св)(1+Л'ввв) ) (с+Сях)сов'х +с(1+й'в+2свй") 1 — 2сй'в С + в с(х+й'в ( ( + в ) с(х~ .) (с+Вях) а ' 1 а .) (см. 2.589 2., 3., 4.). лх 'Г 3.
ФЮ (с+Фях)вЛ 2(1+св)(1+а всв) ) (с+)ух)всоввх +Зс(1+й'в+2свй"в) ~ — (1+й'в+бсвй') ~ +2сй"Р(х, й)~ (см. 2.591 2, и 2.589 4.). 2.592 Р (в+в1а х) И Рекуррентная формула Рв~в (2в+3) Лв ((а+ в1п х) в1пхсовха+ (2н+2) (1+й +Зай ) Р„1 1 . — (2н+ 1) [1+ 2а (1+ йв) + Зав)св] Р„+ 2на (1-1- а) (1 -)- й*а) Р ] сводит втот интеграл при и целом к интегралам 2. Р см.
2.584 1. и 2.584 4. 3. Р см. 2.584 1. При а=О Ж37 (124) и Л (Л+хв)ввх)" Л вычисляется при помопгв рекуррентной формулы: — (2п — 3)[ьх+2йл(1+йв)+Зйвйв]Т г+2(п — 1)й(х ) й)(З тййв)т' ) 2.593 1. Ц„= 1 " **'" Ы . а Рекуррентная формула 4',)„в= (2 2 Л, ~(Ь+ совах)" в1пхсовхЛ вЂ” (2п-)- 2) (1 — 2йв —. Ьйв)(3„, + (2ю+ 1) [й'в+ 2Ь (йв — йв) — 3Ъвйв] ~„— Зло ( 1 — Ь) (йв — йвЬ) ~ сводит этот интеграл при п целом к интегралам: 2.
Д, см. 2.584 1. и 2.584 6. 3. () см. 2.584 1. вх (ь+совв х) А ь+1 11 (. ' ь+в ' ) 186 в. нкопгкдклкннык инткггллы от олнмкнтлгных егнкпии При Ь=О 5. ~, см. 2.584 72. 2.594 (в+СЛв х)в дх Рекуррентная формула + (2п+ 1) (1 — 2с (1+ й'в) + Зева'в) В„+ 2лс (1 — с) (1 — А"'с) Вх,~ Ж 37 (123) — (,", (1 — гв в)авх) )/ 1 — рв виР х р ~. Р* Р .г БФ (283.02) д ~ х р~ ~х ( вх *, ~*. гг —,ч~Р ~ш при рв> 1 можно пользоваться формулами 2.583, 2.584, проивведя в них предварительно следуявцне изменения: 1) й заменить через р; 2) й'в через 1 — рв, 3) г'(х, )в) через — Р(п, — ), 4) Е(х, й) через рВ(а, — )-~— Р(а, — ~, Например (см.
2.584 15.): 2.596 1. х вх в)п х сов х Г' 1 — р' пав х 4р* — 2 Г ° 1 ~ в1вхсовхМ Г вЂ” р'в)авх рв — гр,у 1 ~+ 4рв — 2 В у ) 1 в, 1, Зр' зр' ~ ' р Г Эр' сводит этот интеграл при и целом к интегралам: 2. В см. 2.584 1. и 2.584 90. 3. В, см. 2.584 1. Прн с=О см.
2.582 5. 2.595 и Р (в(ы *. *, гг — р' ~ ' )ю р р')~ О б о з н а ч он н е: а атсв(п (р в)их). Основные формулы . )ГЗ= —,;Х. =,в(.,— ') — г='г(.,— ') ~, >ыь ВФ (283.03) 1) )св заменить через — рв; 2) Ь'в через 1+рв; Например (см. 2.58490.): (см. 2.584 37.): 2. — — Л(а, г~(1 г-р'в)овх)в р 1+рв ~ )~1+рв) 2.599 Интегралы типе ~ В (вшх, совх, )/аввшвх — 1)дх [ав > Ц Обозначение: св=агсв(п асовх Г' а* — 1 Основные формулы: вша ах Р ав в)осх — 1 сов х ах У ав виР х — 1 а а (ав> Ц. = - (и ~а в$п х+ )/ав вшв х - 1 ) 1 а (ав > Ц. ах в1йх г' аз в!о х — 1 а,с сов х Уа* яав х — 1 3) 4) 5) 6) з. ниопгидилинныз ннтвггалы от элжмзнтагных егнкпии Р(х, Й) через Р(а, в "1+ ра ' в,~ 1+ рв г ' Я(х, Й) через )~ Г+р~ Е(а, ) — р'= — )н (Ь сов х+ Ь) через — вгсвнг "' + й — '*.
ь аа а — 'ъЬ *+Ут+РБ"). Р Вивх ах 1 — = — ] $9'х 1+ рсв)пвх— у'1-)- р* в)з* (1 + рв) ] 1 р сзх р 1+р ~ ' у 1+рв,/ у'1+рва)ов = — — Р (св, — ) )ав> Ц. БФ(285.00) и 1гззь — тю йг( ~ ) — е(, сэ т)! >о, БФ (285.06) ц ах П а, (1 — гвв)звх) Г' ос вшах — 1 а(" 1) ~. а (" 1) а ) ~ав> 1, гв> Ц. БФ(285.02) и — агой (ав > Ц. ~' а* в)ов х — 1 1 г' ав — 1 в1зх+ г'ав в)ос х — 1 — )и 2 ~г ав — 1 р" ав — 1 вгз х — у ав виР х — 1 (ав» ц, Б.Б — Б.Б твитономитгичвскик эвикции 8. 13»22» 1 )р'а~ — 1+ур арсрпр» — 1 Э/арп1пр» — 1 2)2рар — 1 11 а* — 1 — $~ ар Брпр х — 1 9. ~ = — агсз1п —.
[ап > 1]. с23 ха» 1 г' а2 Б1пс х — 1 аз!Пх 26ид р (В($ *..1 рар* — 1)й1')и можно воспользоваться формулами 2.583, 2.584. Для этого надо: 1) В правых частях этих формул произвести замену следующих функций равными нм интегралами: Р(х, й) Ь (х, Й) заменить через заменить через — — 1п (й соз х+ 2Ц 1 )р 1 — агсз1п (Й э(и и) й заменить череа заменить через 1 Л вЂ” соах 2 а+соз х л+ь и 2)2 Л вЂ” Й Бш» Ь+ )2' 2»' А — )рр 1 — Л вЂ” )в— 2 1+й заменить через ааменить через заменить через заменить через 2) Затем з обеих частях равенств в этих формулах заменить 24 через 1]/арэ(псх — 1, й через а и 12" через 1 — ос. 8) Умножить обе части полученных равенств па 2, в результате чего в обеих частях равенств должны оказаться только действительные функции (ас) 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
