И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 25
Текст из файла (страница 25)
( (в сов Ьх+ пЬ вш Ьх) е соз 2 Ьх+ + я (и 1) Ьз ~ е'" соз а Ьх !1х ~. 2. ~ еь[=. 1 3. ~ е'»в[па Ьх Нх= =Х (2 ДЬзза»а!п2 -'"-'Ь [2т — 2й) ! [аз+[2з»)з Ьз) [аз+[2т — 2)' Ьз[ ... [аз+ (2»з — 2й)з Ьз[ (2т) ! Ьзззза» Х [о з[п Ьх' (2л2 2Я) Ь сов Ьх1+ [ з+[2т)з Ьз[ [»2+[2 2)з Ьз) [ з+4Ьз[ за = ( ) —,, + —,, ~~~~~ (-1) (~ Ь) ...„,(а соз 2Ьйх+2йз[п2Ьйх). 4. ~ е в[п +' Ьх а[ха» =Х (2»з+1) ! Ьз"аа» з!аз'" -зз Ь» [а з!и Ь» — (2т — 2Ь-[-1) Ь еоз Ь») [2т — 2й)-1)! [аз+[2т+1)зЬз) [аз+[2т — 1)зЬз) [аз ! [2т 2Ь+1)зьз) ! о .Я~ аз+[2ь+1)зЬ, („ь) [авш(2й+1) Ьх-(2й+1) Ь сов(2й+ 1) Ьхе2.
14 таза»аз из»»гааза +р(р — 1) ~ еа»з!пзз 'х сова *х Нх+ +(д — р)(р+о — 1) ~ еа*з[пзхсов~ зх!зх~. ГХ1 [334)(1а) При р=я2 и о=я натуральных и четных интеграл ~ е'»в[п хсов" хЫх сводится с помощью этих формул к интегралу ~ е Их; когда же' четно только и или только и, то к интегралам вида ~ е соз»хз[х или, соответственно, ~ еа в[п хе[х. 210 3. неоппеделенные интРРРАлы от элементАРных ФУнкпии 5. ~ е'"сов' дхссх= т-с — Х (2т) $ Ь™ес» совет з" з Ь» [а сов Ьх + (2т — 2Ь) Ъ в(п Ьх[ (2т — 2Ь)1 [аз+(2т)з Ь'[ [аз+ Гвт — 2)з Ь"[ ... [аз+(2т — 2Ь)з Ьз] + в=О 2.664 1„Ь „и "Г Г а в$п(Ь+с) х — (Ь+с) сов(Ь+с) х 1.
пса бхсонсх хю» — „+ ГХ1 "334" (6Ь 4 аз+ сз а сов (2Ь+с) х+(2Ь+с) в[п (2Ь+с) х аз+(2Ь-~ с)з асов(2Ь вЂ” с) х+(2Ь вЂ” с) в[п(2Ь вЂ” с) х $ аз+(2Ь вЂ” с)з ]( ) 3. ~ еа'н[а Ьхсонзсхс]х= — [ 2 ' * + а в[п (Ъ+ 2с) х — (б+2с) сов (Ь + 2с) х аз+(Ь+2с)з а в[п (Ь вЂ” 2с) х — (Ь вЂ” 2с) сов (Ь вЂ” 2с) х~ аз+(Ь вЂ” 2с)з ГХ1 [334] (бс]) (2 )$ Ьзт ах [аз+(2т)з Ьз[ [аз+(2т — 2)з ЬЧ ... [аз+4Ьз] а ( т ) 2з"а+ 2зт з Е ( — Ь) аз 4Ьзйз[асОВ2)СЬх+2ссьв[а2ссбх].
й-3 6. ~ е сова "Ьхсххс (2т+ 1) $ Ь'"есх совзт зз Ьх [а соз Ьх+(2т — 2Ь+ 1) Ь в(п Ьх] Х (2т — 2Ь+1)$ (аз+(2из+1)з Ь'] [а'+(2т — 1)' Ьз] ... [аз-$-(2т — 2Ь+1)з Ьз] Ьяо — Я ( ~ б) +( [асов(2]с+ 1) Ьх-[-(2(с+ 1) Ь пса(2(с+ 1) Ьх]. »=О 2.663 1. е в$а Ьхах = "+Ьз сх ° ° еах (а в[п бх — Ь сов Ь») т, . з.
зе . еа" в[п бх(а в(ЕЬх — 2Ь сов Ьх) 2Ьзеах 4Ьз+аз + (4ь+ ) = — — [ — сов 2Ьх+ Ь в[а 2Ьх) аз+ 4Ьз ах Г [ еа" (асовьх+Ьв[о Ьх) з [ Ьз 4. $ е'з сове Ьх йх — с ест Ьх(а сов Ьх+2ЬО$п Ьх) 2бзеах 4Ьз+ аз (4Ьз+аз) а еах еах / а = — + 2а аз-(-4Ь* ~ 2 ~ — сов2Ьх+Ьв[а2Ьх) .
211 в,ь — в,в тгигономктгические Функт[ни 2.665 еах Зх сова Ьх 2.666 1 еах вахьбвхе[х — 16в вх — — 1 еах16х 'хе(х — ~ еах16" ахах. р — 1 р — 1~ Т (527) в ' ссбв х е(х ха — + — в в"" с16в ' х е(х — ~ еах с16в ' х с[х. Т (528) р — 1 р — 1,) еах ва х 1 Г еах ~(х в' 16хе[х= — — ~ в (см. примечание к 2.665). еах16вхе(х — (п16х — 1)-а ~ еах$дхв[х (см. 2.666 3.).
Т 355 а еаасвпх 1 Г ааааа е с$6хе(х= + — ~ . (см. примечание к 2.665). а а г в(пах еах е с16вхе(х= — — '(ас16х+1)+а ~ еахсьбхе[х (см, 2.6665.).- И н т е г р а л ы т и и а ~ В (х, е, в1п Ьх, сов ех) е[х Ь Обозначение: з[п(=— В' ах+ Ьв сов 1= 2.667 вовах хввахввп ЪхЫх= (а з[п Ьх — Ь сов Ьх)— а'+ Ь' — 'в хв 'е "(а а[и Ьт — Ъоов Ьх) Ых; ае+ Ьв,) +ь = — в1п (Ьх+ 1) — р Гвх" 'е вьп (Ьх [- 1) в(х. хве'*сов Ьх е[х = = ав-[-Ьв — (а соз Ьх+ Ь в1п Ьх) —, ', ~ хв 'е "(а соз Ьх + Ь в[п Ъх) евх; ав+ Ьв — сов (Ьх+ 1) - =р Г1 х" 'в' соз (Ьх-[-1) е(х. реве+ Ьв еах [а в)п Ьх+(р — 2) Ь сов Ьх[ (р — 1)(р — г)Ь в пв- Ьх "+( — 2Р' ' '"'* .
т 53 ( р — 1) ( р — 2) Ь' в я по в Ьх ' еа" [а сов Ьх — ( р — 2) Ь в!п Ьх] 2. (р — 1) (р — 2) Ь совР в Ьх е — + ае+(р 2)вьв ( вахах +(р 1)(р г)ьв~ .. -вьх Т(526)п Последовательным применением формул 2.665 при р натуральном мы еах Вх Г еах Вх Г еа" Зх Г еах ах которые не пыражаютсн с помощью конечной комбинации влементарныл функций. 212 1)й+! „! аа-йа! в1п (Ьх+ ЙЙ. (и — й+ 1) ) (ай-~- 6!) й! ! х"е в1п Ьх с1х е !", й=! а+1 х"е'* соя Ьх г)х = е" й=! = "+ хе'" в)п Ьх е(х = 1)й.! а! аа-й.! сов (Ьх + ЬС). (а й+ 1 ) ! (а! ) Ь!)й!2 ) еаа хааа сов Ьх Их = - Зг ~ хйе "сов Ьх!(хаа ааа ! ) й 2(а! — Ь!) 2а(а! — ЗЬ!) П + ~Ьхй — ', й х+...
~ Яйп Ьх~ . ГХ1[335], МФК 274-275 2.672 1, 2.671 1 2 3 4 к нконгкдклкннь в й!ыткггйлы от элкй!Знтлгных !йгнкции ~( а —,, )в)пь — ~Ьх-,+, ~сов Ьх~. ~(ах — ',,+~~,) совЪх+ + (Ьх —, ) в!п Ьх ~ . хйе"*в!и ЬхИх = еаа ) ( й 2 (а! — Ьй) 2а (аа — ЗЬ!) ') -[ '-. 4аЬ 2Ь (За! — Ьа) ) й+ьй х+ ( + совЬх ( 2.67 Тригонометрические функции и гиперболические функции в)й (ах + Ь) я1п (ах + а!) Их = —,", с)й (ах + Ь) в)п (ах + Ы)— , ', я)й(ах+ Ь) сов(ах+а), в)й(ах+ Ь) сов(сх+г() Ых=,, с)й(ах-~- Ь) сов(сх+Ы)+ +, „я)й (ах+ Ь) вйп (сх+ Я. ~ с)й(ах-)- Ь) вцй(сх+И) !1х=,, я)й(ах-)- Ь) в!и(сх+ И)- , сЬ (ах + Ь) сов (сх + <1).
с)й(ах+ В) сов(сх+с1)ах= й+ й в)!(ах+ Ь) сов(сх+сК)+ +, +, с)й (ах+ Ь) я)п (сх-)- сК), ГХ1 (354) (1) в)йхв(паях — —,(с)йхя1пх в)йхсоях). 1 2 З.Ь вЂ” 2.а тРНГОИОМЕтРНЧЕСкие ФУНКЦИИ 2. ~ вЬхсовхс(хаа — (сЬхсовх+вЬхвшх). 1 2 3. ~ сЬхвшхс(хаа — (вЬхвшх-сЬхсовх). 1 2 4. ~ сЬхсовхсухаа — (вЬхсовх+сЬхв1пх). 1 г 2.673 1.
~ вЬ~(ах+ Ь)зш~~(сх+су) 1КХ=, „( ) ( ) 1'+ а-1 + 2са'са ~ ( и ) Х (2а — 2цс ( В ) вуи [(2п — 2)с)(сх+сК)]+ + (-1) --'-' ~-'~'"(', ) ('") 2са са с Х Х (2а — 2йс ас+12а — 2/с1сее Х =о о=о Х ((2т — 2у)а вЬ[(2т-2у) (ах+ Ь)] сов[(2п — 2й)(ох+с))]+ + (2п-2Ус) с сЬ [(2т-2у) (ах-К 5)] вш [(2и — 2)с) (ох+ суй.
ГХ1 [354] (За) 2: ~ вЬо (ах+ 5) зуава 1(ох+ сК) 1Кх = а-1 2'а'са ' ( ) Х (2 — 2й — 1)с ( й ) сов[(2и-2Ус — 1)(сх+1К)]+ (уф ) (2а — 1) + 2сасйа 3 е 1,а ~ (2щ 21)й ас+12а 2Ус — 1)с сй Х Х ((2т — 2у) а вЬ [(2т — 2у) (ах+ Ь)] вуа [(2и — 2Ус — 1) (сх + 1К)]— — (2и — 2ус — 1) с сЬ [(2т — 2у) (ах+ 5)] соз [(2п — 2уо — 1) (ох+ сК)]). ГХ1 [354] (ЗЬ) 3. ~ вЬ1 в(ах+ Ь) вуива(ох+ 1К) сух = сЬ [(2т — 2у' — 1) (ах+ 5)]+ с=о .
--'-' -' "('", ')(.) + 2са'са-с Х Е (2ас — 2у — 1)с ас+(2н — 2ус)с е х ~=о о=о Х ((Зт — 2у' — 1) а сЬ [(2т -2у'- 1) (ах+ Ь)] сов [(2и- 2ус) (ох+ сК)]+ + (2 — 2ус) Ь [(2 - 2у — 1) ( + Ь)] зуп [(2и — 2ус) ( + 1К)]). ГХК [354] (3 ) 4. ~ вЬ '(ах+ 5) в1ева 1(сх+сК)сух=. , „--.—,-, -"(-;)(.—,) „ 2са-аа е — о (2ль 21 1)с ос+(2а 2/с — 1)с ее х ((2т — 2у — 1) а сЬ [(2т — 2у — 1) (ах+ Ь)] з1и [(2п - 2Уе — 1) (со+ сК)]— — (2и — 2ус — 1) с вЬ [(2т — 2у' — 1) (ах+ Ь)] сов [(2п — 2ус — 1) (ох+ 1К)]). ГХ1 [354] (Зй) 214 з. нкопвкдклкннык инткгввлы от злкмкнтввных эуннции 5. ~ вЬ™( +Ь) *"(*+ж) Ух= ',, ',~"„(~)(гв)х+ ( ") — -ц (™".) + гат,ав ь ~~ г г. ВЬ[(2т-2У)(аХ+ В)]+ (ги) (2в ) + г, „„, ',Р. ~ .
„в)а [(2п-2й) (сх+ д)]+ а а ( ц(г )(2) га""ав а Х .а ' (гав-2Цааа+(гв — га)ааа в=о в=о х ((2т — 2у') а вЬ [(2т — 2у) (ах+ Ь)] сов Н2п — 2й) (ох+ су)] -(- + (2п - 2й) с сЬ [(2т - 2у) (ах + Ь)] ви. [(2п — 2й) (ох + а)]). ГХ1 [354] (4а) 6. 1 вЬв ( +Ь) во" 1( + ()ах= --('")-' ( ') ц а в(л [(2п — 2й — 1) (сх+а)]+ о о -"('"у) (".') 2 . — ~ (г 2Цаа*+(г — гй — Цаса =о о=о Х ((2т — 2у)а вЬ[(2ж-+2у) (ах+ Ь)] сов [(2п-2й — 1) (сх +а)] + + (2п — 2й — 1) с сЬ [(2т — 2у) (ах+ Ь)] в(о [(2п- 2й — 1) (ох+ Ы)]).
ГХ1 [354] (4а) 7. ~ вЬ' '(ах+Ь)совав (сх+4Ыхав Х У сЬ[(2 — 2у'-1)( *+5)]+ ~=о гав аа а а ~ ~~ (гж — 2/ — Цааа+(2в — га)ааа ~-о о=о Х ((2т — 2у'- 1) а сЬ [(2т — 2у' — 1) (ах+ Ь)] сов [(2п — 2й) (ох + <М)] + +(2п-2й) свЬ[(2т-2у — 1) (ах+ Ь)]в(л[(2п — 2й) (ех+а)]Ь ГХ1 [354] (4Ь) 8. ~ вЬо '(ах+5)совок '(сх+Ы)с(х= < ~ ~ ( ц,(ге — 1) (2в — 1) га"~~аа а Х Х (ги — 2у — цааа+(гв — га' — цаса в О а=о Х ((2т — 2у — 1) а сЬ [(2т — 2у'- 1) (ах + й)] сов [(2п — 2й — 1) (сх+ с))] -(- +(2п — 2й — 1) с вЬ [(2т — 2у — 1) (ах+ Ь)] в(л [(2п — 2й — 1) (ох+ а)Ц.
ГХ1 [354] (4Ь) я,о — 2.6 ТРИРОНОМВТРИЯИСКИЕ ФУНКЦИИ у ге~ у~ге~ 9. ~ СЬ~ (ах+ Ь) в1пва(ев+е() е)х = а;,—,,а х+ < — 1! (г ) — ( — ц~(г~) + ...„~ ~ „вш[(2п — 2уе)(ох+ Ы)]+ В=О +„..=, Х ' ~[(~ -Ю( + )]+ (га) „, ~г у=о ( ц„"-'"-' ( — 1)" (, )(~) гаа"аа а Х Х (гж — гу)ааа+(га — гй)аеа у=о О=О х((2т-2у)авй[(2т — 2у)(ах+ Ь)]соя[(2п-2й)(ех+е()]+ + (2п — 2й) с еЬ [(2т — 2у) (ах + Ь)] вш [(2п — 2й) (сх+ Щ. ГХ1 [354] (5а) 10. $ с)2® '(ах+ Ь)яш~" (сх+4~ухаа — ОЬ [(2т — 2у — 1) (ах+ Ь)]+ С.) "-' (,') 2=О , „.
---- — с-лет~ + гка аа-а Х Х (гт — гу — 1)а аа+(га — га)а еа 2=о а=о ,е ((2т — 2у — 1) а вЬ [(2т — 2у' — 1) (ах+ Ь)] сов [(2п — 2й) (ех+ су)] + +(2п — 2й) с СЬ [(2т — 2у' — 1) (ах-)- Ь)] я(в [(2п — 2й) (ох+ Щ. ГХ1 [354] (5а) 11. ~ с)Ра(ах+Ь)я(па" '(сх+д)Ык= 'Я г гв 2 сов [(2п — 2й — 1) (ех+ е()]+ , „=-.-- -- — стк"-. ) + гаа"аа а Х еа (гв — г!)ааа (га — гй — 1)аеа у=о а=о м [(2т — 2у) а ОЪ [(2т — 2у) (ах т Ъ)] 21С [(2п-2й — 1) (ох+ д)]— — (2п — 2Уе — 1) с сЬ [(2т — 2у) (ах+ Ь)] сов [(2п — 2й — 1) (ох+ сЩ. ГХ1 [354] (5Ь) 12. ~ ОЬР" ' (ах + Ь) вшо" ' (ох + о() дх = -', „-.= -- — с;- ~с.—,'~ = г "- Х Х <г г2 — 1)ааа4-Р— го — 1)ааа ~=-о а=о х ((2т — 2у'- 1) а яй [(2т — 2у'- 1) (ах+ Ь)] вш [(2п — 2й — 1) (ох+ гу)]— — (2п — 2й — 1) с с)2 [(2т — 2у'- 1) (аж+ Ь)] сов [(2п — 2й — 1) (ох + а)]).
ГХ1 [354] (5Ь) 216 в. нвопвву1елкн~ыи ивсввхРвиы от опиоовлтАвиых омииций (2аа~у 2ю~ 13. ~ с)Р (ах+Ь)сова" (ох+И)Их=, „„х+ ('-) -' (.) . + ...„, ~, „— в1о[(2и — 2й)(сх+Ы)]+ о=о + 2,,",„, 'Я~ 2 2. вл [(2т — 2у) (ах+ Ь)]+ (".Э "' ('™Э 2а~~аа а Е~ .4.4 (2т — 2У)а аа+(2а — 2а)ааа !=о о=о Х ((2т — 2у) а вЬ [(2т — 2у) (ах + Ь)] сов [(2п — 2й) (ох + су)] + + (2п — 2й) с сЬ [(2т — 2у) (ах+ Ь)] в(о [(2п — 2й) (ох+ а)]). ГХ1 [354] (6) 14. ~ сЬ' ' (ах+ Ь) сова" (еж+ о() о(х = 2ат+аа-о с.д (2и 2у 1) а ВЬ [(2т — 2У вЂ” 1) (ах+ Ь)]+ ( - ) --' ( , '3 ~=о 2аа~~аа о с-~ с 4 (2т — 21 — 1)а ао+(2л — 2О)а ао >=о о-о х ((2т — 2у' — 1) а вЬ [(2т — 2у — 1) (ах +.
Ь)] сов [(2и — 2й) (ох+ с()]+ +(2л- 2й) с сЬ [(2т — 2у — 1) (ах+ Ь)] в(о [(2п — 2й) (от + Ы)]). ГХ1 [354] (6) 15. ~ сй (ах+ Ь) сов'" ' (ох+~2)о(х= — — „—, '~Я вол [(2п — 2й — 1) (ох+ Ы)] + (-Э -' ( ') 2иа+аа а ~-г с-' (2оа — 21)аа*+(2а — 2в — 1)ааа а=о в=о х ((2т — 2у) а вЬ [(2т — 2у) (ах + Ь)] сов [(2п — 2й — 1) (ох+ су)] + +(2и-2й — 1) с ой И2т — 2у) (ах+ Ь)] вуо [(2п — 2й — 1) (ох+ Щ. ГХ1 [354] (6) 16. $ са* ' (ах+ Ь) сова" 1(сх+ 4) ах = (2 — 1)(~ — 1) 2~~ о" а Х Х (2иа — 2у — 1)*аа-1-(2а — 2а — 1)оао !=о «=о х Ц2т — 2у' — 1) а в)о [(2т — 2у' — 1) (ах + Ь)] сов [(2п — 2й — 1) (ах+ Щ] + -)- (2и — 2й — 1) с сЬ [(2т — 2у' — 1) (ах+ Ь)] в(и [(2и — 2й — 1) (ох+ Щ, ГХ1 [354] (6) 8,7 лОРАРиФиичжскАЯ ФУнкциЯ; ФУнкцни, ОВРАтныи гипжРноличкским 217 2.674 е(а+Ы х 1 ~ е ~ впЬхвшсх(Ахах [(й+Ь)мосх ссОвсх(— а(а-Ы х — На — Ь) вп сх-с сов сх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
