И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 26
Текст из файла (страница 26)
е(~+ы 2. ~ е 8ЬЬхсовсх((Х=2,, [(а+Ь)совсх+св1псх1— (а-Ы * , [(о — Ь) сов сх + с мп сх]. ( +ых 3. ~е ОЬЬхвшсх((х= +,,+, [(а+Ь)вшсх — ссовсх[+ (а-Ы х + 2 (( ер+ а) [(о — Ь) 81П СХ С СОв схг (а+Ы х 4. ~ е ОЬЬхсовсх((х=в в),, [(а+Ь)совсх+свшсх1+ а(а — и х +, ' Аа, [(а — Ь]совсх+с81псх). 2.7 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ; ФУНКЦИИ, ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ 2.71 Логарифмнчеекаи функция 2.72 — 2.73 Логарифмичеекан и алгебраическаи функции 2.721 «~1( ю 1. ~ х" 1п~хдх«а — — 1 х" 1п~ 'хдх (см. 2.722). и+1 х+1 д При и= — 1 1и"' х ах (пач х 2.. = „Щ+1 ° При и= — 1 и т«а — 1 3. ~ — 1х- 1п (1пх).
2 722 ~ х" 1п х(1х = — Я (- 1)~ (т+ 1) т (т — 1)... (т- й+ 1) т+Й (д+ОА 1 ' а-е Т(604) 2.аз 1. ~ х«1п.хсЬ-х~+( ~ — '; —, Т 375 2.711 ~ 1п х((х=х1п х — т ~ 1п (х(1Х= ~~)'( — 1)" (т+1)т(т — 1)...(т-й+1)1п Ах (т РО). Т(603) пв+ 1 218 г НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕИЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ „,Г Г!пах 2)пх 2 2. 1х"1п хах= ""[ — 1 — ( 1,+(+1),1. -1 °,Ь -. Г!пах 31пзх б! 2.724 1. х" Ых х"" а+ 1 ха ах — Щ- + (1пх)И (т — 1)(!пх)~' 1 пв — 1 ) (!пх)тв-1 При т=1 2.
~ — = П (х""), 2.725 Т 375 е (и+1)а Л (а + Ьх) 1п х Ых = +1)Ь [(а+Ьх) *'1пх — ~ "*~ . Т 374 (а+Ьх) 1пхю(х= [(а-1-Ьх) т' — а"'+!11пх— (ш+1) Ь ( ,, ) а -Ььпх . — '(.+1) х=п При тха — 1 см. 2.727 2. 2.726 (а+ Ьх)1пхЫх= [ —.— — —, ~ 1пх — [ах+ — Ьха) . Г(а+Ьх)а аа и ~ 1 2Ь 2Ь ) [, 4 (а+ Ьх)а1п х3х = — [(а-)- Ьх)а — аа) 1пх — (пах+ — аЬха -(-~~*~~ (а+ Ьх)а1п ххххх — [(а-)- Ьх)' — аа) 1п х- 1 4Ь вЂ” ! а х+ — а Ьх + — аЬ'ха-(- — Ьаха~, г 3 1 4 3 Гб 1. 2.
2.727 )пхни)х 1 !" )па (' ах 1. 1 = [ (а-)-Ьх)=" Ь(т — 1) [ (а+Ьх) + 5 х (а+Ь ) 13 При тха1 Т 376 — — +- —. )пхНх !пх 1 х (а+Ьх)а Ь(а+Ьх) аЬ а+Ьх ' !пхах !пх 1 1 (а-)- Ьх)а 2Ь (а+Ьх)а 2аЬ (а+Ьх) 2ааЬ а+Ьх ' — = —.(!(1пх — 2) )/'а+ Ьх+)/а1п" а+ — +) 1 [а > О); у а+Ьх — 1 = — [(1пх — 2) )/а+бх+2~х — аатс1ц )/ + *~ [а < О1. вл лоГАРиФмичискАя Фгнкция, Фгнкции, ОГГАтныв Гипевволическим 219 2.728 ~х 1п(а+Ьх)Ых= — ~х "1п(а+Ьх) — Ь ~ 2.
~ ' ' 1(х с помощью конечнои комбинации елемеитарных )и (а+ Ьх) функций не выражается; см. 1.511 и 0.312, 2.729 2.731 Д (623Л) 2.733 1 2 3 4 5 '] х 1п(а+ Ьх) 1(хии — [х 1 — —,„„~ 1п(а+ Ьх)+ т+1 1 ( — 1)" х"' "'«а" 1 ж+1 Х ( Ь+2) Ь«-1 1Г а«Ч 1 Гх«ахТ х1п(а+ Ьх) йыхви — рв — — ~ 1п(а+ Ьх) — — ~ — — — ~ . 2(Ь«] 21 2 Ь] 1 г а«-1 1 Гав ах«а«х 1 х«1п(а+ Ьх)архив — ] ха — — ] 1п(а+ Ьх) — — ~ — — — + — ] .
Ь«] 3~ 3 2Ь Ь«]' 1 г а«1 х«1п (а+ Ьх) ох= — ] х« — — ] 1п(а+ Ьх)— 4 1 Ь«.~ 1 Г ' а'*' а' 41 4 ЗЬ+2Ь«Ь«(' х«" 1п (хв+ а ) 11х * — !2«в" 1п (х«+ а*)+ ( — $)в 2а«"'«агс16 —— 2в+1', а п 1 — 1) а2в 2«Х2«+1) Х 2«+1 х«"" 1п (х«+ а«) а(х = Х(х«"'2+ ( — 1)" а«в'2) 1п (х«+а*)+ 2а+1 1 в+1 'Ч ( ) а2в-2«+2Х2«) й «-1 1п (х«+ а«) ах = х1п (хв+ а«) — 2х+ 2а агс18 — . и 1п (х«+ а«) Ых = — ((хв+ а*) 1п (х«+ аа) — х«]. 2 х«1п(ха+а«) ах=- "х«1п(ха+а«) — -х«+2а«х-2ааагс1я — ], з Д (623.2) ~ х«1п(х«+а«) 1(хии — ] (х«-а )1п(х +а )- — +а«х* ] . Д(623.3) ха 1п (х«+ а«) 1(х == — ( ха 1п (х«+ а«) - — х«+ — а«х«- 2а«х+ +2а«агой — 1 .
а 1 220 й. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФРНКНИЙ х'"1п )хв-аз~ 122= — 1хй" 11п)хв — ай(+ай"*'1п!х+ 2й+2 1 1х — а[ 1 2 ~; д2~2вхйй+1~ 2 22+1 2.734 хв"'11п)хй — ай~1йх=, )(хай*в-два+в) 1п ~ха-ай~— 2й+2 1 й+1 д2й — вй+2Хйй~, 2.735 2.736 1. 1п)хй — ай(с(х=х1п(хй — ай~ — 2х+а1п~ + Д (624) х1п )хй- ай) ах= — ((хв — ав) 1п ~ хй-ав ~ — хв). 2 Д (624.1) й в в 2(з в в 2 в хй 1п ~ ха-ай ~ 1(х= — (хй 1п ~ хй — ав ~ — — хв — 2авх+аз 1п! ~+11 . ~х — ац Д (624.2) ха1п ! хв — ав ~ ах= — )(хй — ай) 1п ~ ха — ав! — — — авив)1 . Д(624.3) 4 2 2, 3.
хй 1п ) хй — ав ( й1х = — 1 ха 1п ~ хв — ав ~ — — хв — — авхз — 2айх+ ='1 ° +ав1п! + Ц.. Д(624.4) 2.74 Обратные гиперболические функции Д (730) =хАгсЬ вЂ” +~У вЂ” а' а Д (732) Д (734) Агс2Ь вЂ” 1йх = х Агс2Ь вЂ” *+ —. 1п (хв — ав). а а 2 Д (736) х АгэЬ вЂ” Ых = ~ — + — ) АгЭЬ вЂ” — — )/ хв+ ай. ~хв ай ~ а ~2 4) а 4 Д(730Л) хАТОЬ вЂ” й(х=( — — —" 1АгсЬ вЂ” — — а~ха-ав 1 АгсЬ вЂ” х>01 1 ( — — — 11 АгсЬ вЂ” + — р'хв — а' [АТОЬ вЂ” < 0~ .
Д(732.1) АгеЬ вЂ” й(х = х АгеЬ вЂ” — ~ха+ а'. х х а а АгсЬ вЂ” *йЬ = х АгсЬ вЂ” — Р1хй- ав а й АТ2Ь вЂ” Их = х АТЕЛЬ вЂ” х + — 1п (ав — хв). а . а 2 ~АгсЬ вЂ” > 0~; ~АТОЬ вЂ” ( 01 . 221 2.2 ОВРАгняк тРигономвтРи"ткскиж ФРВиции 2.8 ОБРАТНЫЕ ТРШ'ОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФЪ'НКЦИИ 2.81 Аркеипуе и арккосивуе 'Л) ~ (агсяп — ) ах=х ,'и ( — 1)" ( „).(И)1(агсв1ВЯ + 1'2 ) + )/а' — хх ~~ь' ( — 1)" ' ( ) -(2Ус — 1)! (агсв1в — ) 6) ~ (атосов — ) с(х=х ,'~' ( — 1)" ( ).(2й). (агссов — ) + 2=о ( — ') + ф~ а2 — хз Я ( — 1)" (22 ) -(2й — 1)1 (агсеов — ) й 2 2.811 2.812 2.813 агсяв — Их=хагсв(п — + Р а — х . з з / а а 3 =( 3 (агсяп — ) Нх=х (агсяп — ~ +2 р а — хв агсв1п — — 2х.
Ф з ) р а ) =( 3 " ( г (агсвш — ~ с(х=х (агсвгп — ~ +3 р а — х (агевш а а~ а ) Х вЂ” бх агсяв — - б у'ав — хв. з 2 814 2 3 агссов — с(х = х агс сов — — ф а — х . з г 2 2 а Ф х '~2 х ~2 з (агссов — ~ Их =х (агссов — ~ — 2 р а — х агссов — — 2х. з,) > з х~в (агссов — ~ ах=х (агссов — ~ -3 ф а2-х* (агссов — ~ з ~ а ) з — бхагссов — +6 ф ав — ж~, 2.821 1 2 2.82 Аркеекаие и арккоееканс, арктаигеис и арккотаигепс з Г .
ю агссовес — ах ~ агсвш — Ых = а з =хагевш — +а1п(х+)~хв — ах) ) О < агсвш — < 2 ); =хагсв(в — — а1в(х+фхз-ав) ) — —" < агсяп — < О) . Д(534) з 2 з з Г ю агсвее — с(х = ~ агсеов — с(х а а Я 1 =хагсеов — — а1в(х+ у хв-а2) ( О < агссов — < — ~; х (. з 2.)' .=хагесов з+а1п(х+~х~ — ав) à — ~ <агссов з < О) . Д(331) з 2 з 2. ПВОНРеделиннып инткгРАлы От влкмпнтАРных юункпип агсьб — «сх = х агс16 — — — 1п (аз+ хз), а а 2 агсськ — «зх = х агесьб — + — 1п (аз+ х*).
а а 2 Д (525) Д(528) 2.83 Аркевнуе, арккоеивус и алгебраичеекаи фувкции х х 1 Г х"'«ах х" агсв)п — ах = — агсв)п — — — ~ а а+1 а л+1 ) у аз хз 2.832 возные 2.833 '3 х «гхз аз ~ х агсв)п — «(х = ( — — — ) агсв1п — + — уга — х . а ( 2 4 г' а 4 х , Г хз аз Х з г— х атосов — ах = ~ — — — ~ атосов — — — у а — х . уУз з а ~2 4~ а 4 х 1 х 1 а+Угас — зз — агсвш — «(х = — — агсв)п — — — 1п аз а а а х 1 1 1 а+У аз — хз — атосов — «(х = — — атосов — + — 1п аа а х а а х )х атсвш х атсаш х 2 . «Г (а — Ь) (а+Ь*)з «)х Ь(а+Ь ) Ьуг з Ь а с18 у (а ( Ь) (1 — х) (1+ ) [аз> Ьз); втсзап х 1 у (а+ Ь) (1+х)+ уг(Ь вЂ” а) (1 — х) Ь (а+Ьх) Ь У Ьз — аз ЬГ(а+Ь) (1+з) — 'У (Ь вЂ” и) (1 — х) хатсвшх ( зтсв«пх 1 у с+«х ,«1+с,), «сх=2,(1+,,) +, + агеье [с > — 11; [с а, — 11.
атсв!и х 1 1 )/1 — х*+х Уг — (с-) 1) 2с аз+ с(1+за ) 4с у — (с+1) у 1 — хз — х у' — (с+1) 1п х зтсв)п х «1х = х — уг1 — хз агсв)п х. У'1 — * (см. 2.263 1., 2.264, 2.27). х х" ' х 1 Г х"'з ««х х" атосов — «(х = — агсеов — + — ~ а а+1 а а+1 у'аз з (ем. 2.263 1., 2.264, 2.27). Г взсв«п х Г атосов х При д — 1 оти интегралы (т. е. ~ .- «зх и ~ ««х) с пах конечной комбинации элементарных функций не выражаются. атосов з .
л, 1 Г атсвш ах= — — ш х 2 223 2 3 агава х ( 1 ) х агсв1В х+ 1 1 (1 2) агсашх 1 1 1-х Д (531. 1) 2.851 2.852 .Лат х а Г хл 1ах ~ х" агсс18 — аЬ = — атоса — + — ~ а а+1 а а+1 ~ а2+ х2 При гг= — 1 гЬ не может быть выражен с помощью конечной комбинации х элементарных функций. 2.841 1 2 3 2 в ОВРАтныи тРигономВТРичкскии Функции х агсвгах ха х г —, 1 Их = — — — 1г 1-хаагсяа х+ — (агсвт х)'. ха агс21п х х2 2х 1 2Ь= — + — — — (ха+ 2) )~ 1-хаагсяп х. р1 ха 9 З З 2.84 Арксекаис, арккосекаис.и степени ж х Г а х агсвес — 21х = ~ х атосов — г(х = а х = — (х агссов — — а у х — а зг (~0 < атосов — < — ~ ~' 1 Г, а г — 2 — 21Г а 22 1, 2 1 х )1 х 2./' = — ~х агссов — +а Р х — а 12 [ — < агссов — < п| . а 2 ( х х 2 а хаагсвес — 0х= 1 х~агссов — 22х= а х = -5-~х агссов — — — х 1/ха — а — —.1о(х+ у х — а )у а а г 2 аа х 2 О < агссов — < — ) ," — ~хвагссов — + — х 1/х — а'+ — 1п(х+)г'х — а )у а а 2 2 2 2 3 ( х 2 2 [+-..— '„ «1.
х агссовес — 2Ь ~ х агсв1п — 2Ь = Г . а — 1 Г а л и = — ~~хвагсяп — +а 1~~ха — аа~ [0 < агсв)п — < — ) 2 х 2 .1 ' а — х агсяп — — а у~х — а у [ — —,<агсяа — < О). 2 х х Д(534 1) 2.85 Арктаигеие, арккотаигеис и алгебраичеекаи функции х" *2 х а Г х" агсгк — Ых — агссб — — — ~ — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
