И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 27
Текст из файла (страница 27)
а а+1 а л+1 2 а2+х2 3.— 4. ОНРЕДЕЛЕПНЫЕ ИНТУХРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФКНЙЦИН 3.0 ВВЕДЕНИЕ ) ч 3.01 Теоремы общего характера 3.011 Пусть ) (х) интогрируема **) в наибольшем из промежутков (р, д), (р, г), (г, д). Тогда (независимо от взаимного расположения точек р, г), г) она интегрируема и в двух других промежутках, и имеет место равенство Я ) гав*=) г(ее*.г~ и и*. Ф 11126 р р г 3012 Теорема о среднем значении (первая). Пусть 1) у(т) непрерывна и д(х) интегрируема в промежутке (р г)); 2) т(~(т)<М'; 3) д(х) во всем промежутке (р, г)) не меняет знака. Тогда существует хотя бы одна точка ~(р<~~д), для которон 1г(хгмг-г~з ~ г(.>г..
ФП 132 р р 3.013 Вторая теорема о среднем значении. Если в промежутке (р, д) [р ч. д) ) (х) монотонно не возрастает н ноотрнцательна, а л(х) интегрируема, то существует хотя бы одна точка й(р<$ (д), для которой т а 1, ~ Ях)б(х)г)х=~(р) $ я(х)г(х. р р Если при сохранении остальных условий теоремы 3.0131. 7(х) монотонно не убывает, то 2. )г( )г( )и !(г) ~ ю(хг р<5 <г!. р *) Определенно определенных н кратных интегралов мы опускаем, так как онн широко изаесчны н нх можно легло нанти в каждом учебнике Мы лрнооянм здесь только некоторые теоремы общего характера, дающие оценки илв приводящие данный интзграгг к более просчому *е) Функция /(х) называется ихлгеерируемоа в промежутке (р, т), если существует е ) (х) Их.
При атом обычно подрааумеаают существование интеграла в смысле р Римана Коли же речь идет о сущестзонанни интеграла в смысло Ст ил т ь оса Л обе ге н т н., то говорят об нятегрвруомостн з смысле Стнлтьзса, Лебега и т. п 1б таслллм интегралов 226 з-з оприпклкнныв интпгрллы от элкмпнтьгных функции илн 4, ~ ~(х)д(х)д[х=А ~ ьд(х)ддх+В ~ я(х)одх р р о где А и  — два любые числа, удовлетворяющие Ар~(р+0) и Вд.=у(([ — О) [еслн у А ~< / (р+ 0) и В > у (д — 0) [еслн / [ <В(([) условиям убывает1, возрастает); в частности, о. )дассо(сд*-доддоо)д<.од ддод-до [о<,од. р р Ф Ф П 138 3.02 Замена переменного в определенном интеграле в е 3.020 ) д (х) Ых = ) д [я (г)) й' (г) аг; х= ь".(г).
Эта формула действительна прн следующих условиях: 1. 1(х) непрерывна на некотором отрезке А ~х~В, заключающеп в себе старые пределы а и р. 2. Имеют место равенства а=и(ф), [)=у(о[о). 3. й(г) и ее производная ь (г) непрерывны на отрезке ф <г <о[о.
4. При изменении о от ф до о[о и(д) изменяется всегда в одном и том же направлении от д(ф) =а до я($) = р*). 6 3.021 Ивтед рал ~ у (х) Ых может быть преобразован в другой интеграл с заданнычи пределами ф и ор при помощи линейной подстановки [[ — а аф — [Ьр х=- — д+ —— ф — ф Ф р е . $~(.) =,— '.",1~~К +:,"3 ' а Ф в частности, при ф = О, ф = 1: Р (до од*=(з — о) доо — одд- одд.
а *) В случае, если последнее условие нс удовлетворено, отрезок ф~г.с о[о следует разделить на части, а [дотсрых зто условие удовлетворяется; Р Фз ез е 1 Пх)а =~ [[а(з))у'я и+( [[ю(з)[а'(з) а+...+ 1 ([г(з))а (з)и. Ф е Фд ер-д Кслн в про дежутке (р, д) [р с„([) у(х) монотонна, а я(х) ннтегрируема, то з. (до >д~ од =ддр>(до ~д*о.д~до~дочд* ~р<д<дд, р р 3 о Вввдвннв При зр О, ф=со: зз з. ]з~,)з,=о — о(з(+з'), "„. а о 3.022 Имеют место такзке сведующие равенства: в В 1. ~ ~(х)зЬ= ~~(а+() — х)Ых. а а а з. (п*~з.=) зЕ-*~з' о о ' 3.
$П*)(*= $И-*)~*. 3.03 Формулы общего характера р р ~ /(х)з(х=2 ~ ~(х)е(х. — р о ФП 159 2. Пусть 1(х) — функция, интегрируемая на отрезке ( — р, р) и удовяетворяющов ва этом отрезке соотношению ~ ( — х) = — / (х) (такую функцию называют нечетной); тогда $ г'(х)ззх=О. р Ф П 159 г г 1. ~ ~(зшх)е(х=* ~ /(созх)езх, о о где у(х] — интегрируемая на отрезке (О, 1) функция. гзз зз з. ')за ~-з )а з)~Ьз'~Р )з*.
о где ях) — интегрируемая на отрезке ( — )~ рз+ 9з, )/ р'+ дз) функция. ФП 160 ФП 159 ]за зо. з ~ ~л зе ° а*. о ФП 161 45» где ~(х] — интегрируемая на отрезке (О, 1) функция, 3.031 1. Пусть ~(х] — функция, интегрируемая на отрезке ( — р, р) и удовлетворяющая па этом отрезке соотношению Д вЂ” х) ~(х) (такую функцию наззевают четной); тогда 228 а — а. опгнйвлвннын ннтвггАлы от елгмвнтлгных ч гнкпии 1, Если ~(х+и)=~(х) и ~( х)=~(х), то 6 ОЭ 2 /(х) — с)х= ~ у(х) <Ь. е 2. Ейлн Дх+и) — у(х) и у( — х) =у(х), то О» з х у(х) — ах= у(х)созхгЬ, ЛоЧ 277 (3) ЛоЧ 279 (4) В формулах 3.033 предполагается, что интегралы, стоящие в левых частил формул, существуют. ОЭ 3.034 ) Р (~ )с(х=Ц(0) — ~(+оэ)) 1в м Р е если ~(х) — функция, непрерывная при х>0, и если существует конечный предел У(+ оэ) = — Иш У(х).
ФП 633 .~++О> 3.035 л + )+~( ', )и = —,«а+р) ) 1 — 2 ое + еУ(а+с )+у(а+ с )) мх и(Па+ Р)+7(а)) е Ла 230 (16) Пр! < Ц. Б 169 3. ~ 1 а, в1вхдх= —. (1(а+р) — У(а)) [~ р~ < Ц. е Ла 228 (6) Б 174 3.037 Если у — функция, аналитическая в круге радиуса г, и если ~[г(совх+1вшх))=~,(г, х)+1~,(г, х), Б 169 В формулах З.ОЗЬ предполагается, что функция ~ аналитическая в аамкнутом единичном круге с центром в точке а. 3.036 3.0 Векдвкнк то Ь(г, х) ~х и ге р рз ) вв Лр ОЪ 2.
~ 1,(г, х) ~~ ~ „= —" [/(ге ") — ~(0)). в \ р> 3. ) * ' ах= х (1(г)-1(0)). Ла 230(21) 0 Сб 3.038 1 * Р(дх+ру'1-)-хв)= ~ Р(рсЫх+двЬх)вЬхах= . У1+. =2у ~ Р' (в)бар. Г~рв- )ввЬх) вЬвх Ых з 1Р— функция, имеющая непрерывную производную в пронек<утке ( — со, со); все использованные интегралы сходятся).
Ло П1281и, Ло1П 391 и. Ла 230 (Я) Ла 230 (20) Ла 230(22) 3.04 11есобственвые интегралы 3.041 Пусть функция 1(х) определена в промежутке (р, +со) и интагрн- руема в любой его конечной части (р, Р); тогда во определению +ОЭ Р ~ 1(х)е(х = 1пп ~ 1(х)дх, р '"ч р если втот предел существует. В случае существования указанного предела +ОЭ говорят, что интеграл ~ )(х)дх существует или сходится.
В противном р случае говорят, что интеграл расходится. 3.042 Пусть в любом промежутке (р, д — Л) (О < т) < д — р) фупкция /(х) ограничена и интегрируема, но оказывается неограниченной в канском пронек~утке (д — гв д) слева от точки о. Точка д носит в атом случае на- звание особой точки. Тогда по определению ~ 1 (х) с(х = Иш ~ 1(х) дх, р "'р если втот предел существует. В атом случае говорят, что интеграл 1(х) ах существует или сходится.
р 3.043 Если сходится не только интеграл.от у(х), но и интеграл от )/(х)(, то говорят, что интеграл от 1(х) сходится абсояютио. +СО 3.044 Интеграл ~ /(х)сЬ сходится абсолютно, еслй можно указать такое р Ф 330 3 — 4 опгедвленные интеГРАлы от злементАРных Фтнкции число а > 1, при котором предел 1(ш (ха ~ ) (х) 1) ю ++аз существует; есл'.и же 1(ш (х ~ ч' (х) [) = Ь > О, +(О г~ то интеграл ~ ~~(х)~Ых расходится. Р 3.045 Интеграл ~ ~(х)Нх, для которого верхний предел д является особой точкой, сходится абсолютно, если можно указать такое число а<, ~, при котором предел 11ш((р — х) )/(х)~] существует; если же 11ш1(р-х)(~(х) О =Х, > О, то интеграл ~ 1(х) Их расходитсн. г 3.946 Пусть функции ) (х) и л (х) опрелелгшз в промежутке (р, + оо), причем /(х) внтегрируема в каждом конечном промежу1ке (р, Р).
Если интеграл Р ~ Ч(х)пх Р представляет собою ограниченную функцию от Р, а д(х) — монотонная . функция, причем л(х)-эО при х — ~-+ со, то интеграл +СО ~ у(х)л(х) 4х Р ФП5ЧЧ сходится. 3.05 Главные значении несобственных интегралов 3.051 Пусть функция Дх) имеет одну особую точку г внутри промежутка (р, д), в котором она определена, и интегрвруема в каждой части етого промежутка, не содержащей точки г. Тогда по определению ч г — ч 9 ~ /(х)Их= 11ш ~ ~ ~(х)с(х+ ~ Ч"(х)дх)~, Р ~+а причем предел должен существовать прн н с з а в н с н и о и предельном переходе ио Ч и по т)'.
Если указанный предел не существует, но существует предел -ч % Иш ~ ~ )(х)дх+ 1) Ч" (х)~(х~, р г+в ЗЛ вЂ” Э.Х СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕВРАИЧИСКНЕ Чстпнпни 231 рп' расходится, но существует в смысле главного значения. ФП 605 3.053 1эасходящийся интеграл от положительной функции не может существовать в смысле главного значения. ФП605 3.054 Пусть в промежутке ( — оэ, + со) у фушсции 1(х) иет особых точек. Тогда, по определению, +со Я ~ ~(х) в(хоо 11ш 1( ~(х) в(х, со О-с+со р причем предел должен существовать при независимом предельном переходе по Р и по О. Если указанный предел не существует, но существует предел +Р Пш ~ 1(х) вЬ, Р-с+со то этот последний называют свавнмм влечением несобственного интеграва ~ Дх)е(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
