И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 23
Текст из файла (страница 23)
4) Вместо интегралов, стоя1цих в правых частях равенств, подставить их значения, взятые из формул 2.599. Примеры: 1, Равенстве 2.584 4. переписываем так: откуда получаем: ,2 ~~ ... + ~ Уозз(псх-1дх~= Г у ар — 1., - --Л ~ а, — ~~ [аз:> 1]. а ' а Б! па» Нх Р а' Брпр» — 1 2ар(ар — 2) Брпрх — (Зар — 5) а2 э)п х соэ »в 3(1 — ар)22» )р (арарпрх — 1)2 Г лх 2ар — 4 3(1 — а2) 2 уРБББ1пр» 1 3(1 — а2)* 2(Х 12 у (арпшрх — 1)2 21П2 х 1 22'Х 1 22» = —, 2 )'ар Бшр» †а Э 2 )рр аа Б1пр » вЂ” 1 ар .> 2. Рамнство 2.584 58. переписываем так: ~ Н» ~ 2".'2 ИХ, Б1П Х 2(Х Срв Х 2(Х Д ° Лсозх ' 1 1зх с( ~ ссбх 19() 3. нБОНРБДБлянныв интБГРАлы От элвмкнтАРных ФУннпий откуда получаем: 1п 1 1/аз — 1 -(- )/ ах з1аз х — 1 1/ а' — 1 )/аз — 1 — )Газ з)сз х — 1 1 — агсв1о — .
аз1о х Л (вшх, совх, 3/1 — й'с~з'х ) с(х. з)о»сов » )/а'зшзх — 1 2 [аз > 1[. 2612 Интегралы типа Для нахождения интегралов типа ~ Л (вшх, созх, у'1 — Йз совах)дх я следует сначала сделать подстановку ххх — — у, которая дает 2 а( „,, Г -1' **) *= — [а( Интеграпы ~ Л (сову, вшу, у'1 — 1сзв(псу)1(у находятся по формулам 2.5831 2.584.
В реаультате использования этих формул (предполагается, что исходный интеграл приводится только к интегралам первой и второй лежандровой формы) после замены функций Р(х, й) а К(х, й) соответствующими интегралами получится выражение вида — у (сов у, з(п у) — А '1 '" — Л ~ [/ 1 — /сз в)па у в1у. Переходя обратно к переменным х, находим: Л (в)пх, совх. [/1 — )засовах ) 1(х»х ,1»....1 А 1 " - з [ гт.—.т'-,~-. ш.
х 1/1 — хз созх х Входящие в это выражение интегралы находятся по формулам: —..- ( ах Р агсвш з!а х , 1С (/ 1 — 41 соз' х ~ )/1 — Вз сов* х ) ~ У1 )сз з ( Л (~~се( юах )с) Ыы~ созх 2.613 Интегралы типа ) Л (в(ох, совх, у"1 — разов'х) пх [р > Ц. Для нахождения интегралов типа ~Л(в1пх,совх, [/1 — р'сов'х)с(х [р > 1[ поступают так же. как и и 2.612. При этом пользуются формулами: ах ! Г 1 '~ 1. 1, = — — Рабатов)п(рсовх), — ) [р> Ч. ) )/1 —,гРсозз» Р откуда получаем: ах 2а4 (аз — 2) з1сз х — (Заз — Ь) аз ! вшхсовх+,, х У (азз1азх --1)З 3(1 — а~)~ )/(азз)сзх — 1)з 3 (1 — аз)з а х [(аз — 3)Р(а, ) — 2а'(а' — 2)Г (а, )) [а'> 1[. 3. Равенство 2.584 71. переписываем так: ах с1а х 1)х ( Ся ах з1я » созх 1 1/аз з1а'х — 1 ) 1 1'а' з1ахх — 1 а 1 (1/ах з(с'х — 1 2»в — 2,6 тгигономитвичисяие Фъ'нкцни 2.
1 Г»1 — р'сов'хссах=~:Р~ агсв)п(рсовх), р Р» 1 ~ — рЕ (агсв1п (р сов х), 2614 и * р ~л(», *,гт» р~'*)» . Для нахождения интегралов типа ~ Н 1в)ах, сов х, )»'1+ ра совах )»1х следует сделать подстановку х= — — у, которая дает В)вшх, совх, )»1+рвсовах) ~Ь= — ~ В (сову, в)ну, )» 1+рве)вау) Ыу. Л ~-» — )а( ю, а». Г».»»""»)»» а* пользоваться скавапаым в 2.698 и 2.612, а сатен, после обратного перехода к переменным х, формулами: 1. 1 РГ., Р )»'1+расозаа )» 1+ра ~ у 1+ р» ) 2.
~ 'у' 1+ рв сова х Ых = у'1+ рв Е (х,— ' у'1+я 2616 Интегралы типа ~В(вшх, совх, )»агсоввх — 1)Ых )а> 1]. — ( аа 1 ( . аыйх Г'а~ — 1') = — Р(агсвш, ~ 1а ) Ц. )»~а»сааза — 1 а 1 Р/аа — 1 ' а / ~ ~" авсоввх-1Ых=аЕ~агсвш, ~ )— )»'ав 1 ' а 1»' . аа1ва $/ а* — 1) — — Р ~агсв)п „Р~ ~а> Ц. ж»»» и р )а(» *., г» »вЂ” »яР,Г»-»' а' )» 1/ 1 — р» а»в а Обоаначение: сс=агсвш Уг1 — р' ыв* а у»(1 — »аа аиР а) (1 — аа в$ва а) у 1 — ра ~ г 1 Р I ) 0<р'<Ч'<1, 0<х< ~ ) .
БФ(284.60) Для нахождении интегралов типа ~ Л(в)пх, совх, )'аасоввх — 1) Ых следует сделать подстановку хаа — — у, которая дает л(м,, уа *-1)» = — 1В( ю, ь», ФЗ»г»» — Ч)»». д„.р — ) н~ ». », г 'ю '»-»)»» .»» польвоваться скававвым в 2.611 и ватем, после обратного перехода к переменным х, формулами: 2. — 2Я ТРИГОНОИНТРИЧКСКИК ФУНКЦИИ 193 9.
° / Их, /ь — ро выло х 1+(роге — рв — ге) выло х У 2 — оо выло х П~а,г, у — в) ) 0(рв<ь)в<1, 0(х<2 ~. л1 БФ (284.02) 2.617 Обозиачснис: а=агсзш . / У'Ьь+ — Ь пв — о х 2 У Ь'+ев 2 У'Ье+ ее г= а+У Ьь+ео ььх 2 Р(сь, г) Уа+Ьвьпх+есовх $/а+У Ьв+ев 0 < ф'Ьв+св < а, агсзш — я<х < агсзш 1; БФ(294.00) У Ье+ее ЬгЬе+ее — — Р(а, г) ггР+ ев 0 < ~ а ] ( у~ Ьв + с', агсзш — агссоз ( — ) < х < <агсвш 1. БФ(293.00) У Ье+ее ) 2.
в1пхвх У 2Ь вЂ” — (2Е(аь г) — Р(а, гИ+ У'а+Ь впь х+.е сова у/ (Ье+ ее)е 2е + —,в~а+ Ьзшх+ссовх [ О< ~а~ < УгЬв+св, агсв(н — — — агссозь — = УгЬ'+ ее ) < х < агса(п ~ . БФ(293.(5) Ь ЬГЙ+ев 1 — — = 2 )/а + Ь вш х+ с соз х. )/ а+ Ь впв а+ е сов х ь ь~о.ьь * ь', е ь~~--~~о~ ~в~ ~+ У а+Ь ьпп х )-е сов х га,.ь [о<1/ь +" <,, ьь — ь ~~о- ) ~- ь ь ' 4- ' — (* с ~: вх ььоь.оо Ь Ь )г Ьо+ ее Ьгье+ е' = — 2~~ 2)г' Ьв+свЕ(аь г) 0 < ~а~ < ф~Ьв+св, агсзш — агссоз( — 1<х< у"Ье+ ее 1 < агсзш ~ . БФ (293.01) Ь У Ье.+ ев 13 Таслион аятеоеелее 2,0 — 2 Б тРиРОномитРи'чзскиз юунимии БББ ББ1П" 1Б х зш" хдх= (тз1пх — пхсозх)+ ББ + — ~ х яп" БХНХ вЂ”, ~ х Бзш" ХЫХ.
хм 2 сОБ» ~а х'" соз" х ах =, (т соз х+ их зш х) + $ Г Б~ 1 2 Ю(юп Ц Г ш в . 2- ~ИВ~ х з(п ХЫХ=~~ ~ .Б + + ~а-1 (-1)" ( ) ~х"соз(2ж-2й)ХБ(х (см. 2.633 2.). ТЗЗЗ 2-0 5. $ х"зшзе+'ХЫХ= ( ) ~~~~~ ( — 1)Б( + ) $ х"зш(2т — 2)Б-+1)ХЗх (си. 2.633 1.). ТЗЗЗ «+Б ')х соз хНх=( ) 2Б~Б(п+Ц+ эи-1 +,~, "5, '(~~) ~ х" соз(2т-2й)х~Ь (см. 2.633 2.). ТЗЗЗ 7, ~~ х" соз' +БхНХ=.— ~, '~,+ ) ~ х" соз(2т — 21+ 1)ХБ(х. Г а-0 (см. 2.633 2.). ТЗЗЗ 2.632 хз-' з(а()ХБ(х= — (ф) Ру (р, фх) — — ( — ф)-зу(р, — фх) [Вор > — 1, х> 01.
ИП13$7(2) хн"' зш ахНХ= — — ~ехр ~ — (р-1)1 Г(р„— Бах)+ +ехР( ~ (1 — )Б)1 Г()2, Бах)) (Ве)2<1, а>0, х>01. ИП1317(3) — ° ().~*=-,.'((*-В-»7(Р. () )+(- В- 7(Р— ~*)) 1Кер > О, х> 01. ИП1 319(22) 4, ~ хз-'созахдх= — — ~ехр~2)Б — ~ Г(И, — (ах)+ -Г р( — 02 — ") Г(~, 1 )~. ИП(319(23) $ х зш ахах= — "!~Р И("„) *~ соз( ах+ — Ы) Т(487) 193 о.
ниоптилвлжнныиинтиггйлы от элкминтйгных атнкцин 2. ~ х" сов ахах = ~ И ( ") — вш (ах+ — йп) . 3„~ х'"вшхг(х=(2л)1( ~ ,'>'„( — 1)"" „) созх+ т(486) «-о + ~' ( — 1)" „й)~ з(п х1 ~ хйв "й вш х с~х = (2л+ 1)' Я ( — 1)й ' соз х+ и хйв йй + ~~ ( — 1) вшх~. хан-ай хйв сов х 4х = (2л)' ~~ ( — 1)" „, в(п х+ а-1 йха-йй о + Х ( 1) ( 2 1)! созх1 й=о $хо~"> совхах=(2и+ 1). ( ~~ ( — 1) 2 2 о Гзшх+ й-о хов йй +х (--" -*1 й=о 2.634 1. ~ Р„(х)вшвйхсЬ в+о 1)й ~„(~) +~~~ ~ ~~ ( 1)й-, Р~ (х) ( ° ) х зй 3,'В воой-й й % '(т) винил Ч ( 1)й Р~ о(х) ш ,вой в=о В формулах 2.634 Р„(х) — мпогочлен изводяая по х. Обозначение: в,=а+Ьх. ~ вйз(пахах — ь в, совах+ — „, вшйх.
1 ь ь 2. ~ з,созйхЫх= — з,зш йх+ — совйх. 1 йй (х) сов айх й=о 2. ~ Р (х)совии~Ъхх + у ( Фй— щ т~й ' А 1 л-й степени, Рв ~(х)-его а-я про- $99 г.а — гх ТРИРОНОМЗТРИзДИСКИЖ ФУНКЦИИ 1 /2»з 2Ьзд з- еш Йх а(х = — ~ — — зд ) соз йх+ — ' ип Йх. «1.»з ) йз з', соз йх !ах — ~ зз- — ) вш йх+ — сов йх. йз ) йз лд /6«з ЗЬ Г з 2«з'д з'Зш Йх ддх = — ~ — — з ! сое йх+ — [з, — — ~ д «~«з йз [ йз ) созйхд(х= — !д з — ) зш йх+ — [ з -р- ) зд / д 6Ьз д ЗЬ д д 2Ьз д ! — й*) «(,д 1 У 12Ьз з 24«а'д з,' еш Йх д(х = — — ~ з,' — — „, з', + й,, ) соз йх+ 1 д 12«з з 24«а д з',созйХд(х= — „(д з-,— —,з,'+ —,) ешйх+ ЗЬ ~ а 12Ьз д 24Ьа'д з'вш Йх д(х= — ~з' — — з'+ — ) здвйх— 1 «з \ д йз д»а ЬЬ Г 12Ьз з 24«а'д з,'совйхд(х= —,~ з; — —,з',+ — ) совйх+ 6Ьзд д 2ОЬз, 120Ьа д з',еш йха(х= — ' !д з' — — з'+ — ) 6(нйх— йз [ д «з д йа / 1 д а ЗОЬз а 360«а з 720«а'д ,а За ( Зз ! (-д !з д+ 1,а д»а) ~созйха(х= — -' [з'- — з'+ — ) созйх+ «з [.
«з « ) 1 д а ЗОЬз , 360«а 72ОЬа д + — ~зд — г + — 3 « ~ »з «а ° йа ) 6Ш ЙХ. сов Йх. нв йх. соз йх. в(н йх. сов йх. 610 Йх. уддад х соз хдах 2(, ( ц— (г) ' ( ц.дзвш 2х+ 2за (дд — 2»)! азад х"здизхд(х= („ц+ 2за (дд — 2й)! а О зз ха 1 хзшз хЫх= — — — в(н 2х — — сов 2х. 4 6 [ — ".') ц«+азад за-д сов 2х 2з»'д (дд — 2й — Ц ! ГХ1 [333~ (26) [ — ".') ц«ад дд-за-д со62х . 2з»+д (дд — 2« — 1)! ГХ1 [333! (Зе) 200 В.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЕНТЕРРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ 4. ~ хв з[а х с(х = — — — соз 2х — — ~х — — ) з1е 2х. в х' х 1Г в 6 4 4~ 2) 5. ~ хеоз хс(х= — + — з(е 2х+-4-соз2ж. 1 4 4 6. ~ х еоз хс(х= — + — соз2х+ — ~х — — ) зш2х. в з хз х в 2) 2.637 МфК 241 МфК 245 2.638 1. ~ — с(х— хв в(по з х [(р — 2) в)п х+ в х сев х) (р — 1)(р — 2) ' ' Ов ( в~вохзх д(ч — 1) (' в)пз 'хЗх (р — 1)(р — 2) ) — +(р 1)(р 2) 3 [р оп 1, р ~ 2].
Т (496) 2. ~ '— -*<(х— хв совв ' х 6 р — 2) сзз х — д х зоп х) (р — 1)(р — 2) " ' дв ( совв х зх (р — 1)(р — 2) .) созе з х зх хв з + о (о — 1) (р — 1) (р — 2) (р —; 1, р ~ 2]. т(495) в1пх 1 ( совхоз (р — 1)хз" р — 1 ) 1 Мп™ хв з1п х 1 (' зопх х (р — 2) 3 сов * (р — Цхп ' (р — 1)(р — 2)хв в (р — 1) (и > 2). Т (492) Я) 1. ~ х" з[езхс[х=* — ~ ,'з, . Г ' — Зсозх)— пГ Г -~ ( — 1)" хз з" /совЗх (и — 2х)) Звз Г з=о .( — ",') — Я ( — 1) „1( — -Зз[ех)~ . ГХ11333] (21) Е("-) а-о '(=.') + Я ( — 1) ( „, ( '„+Зсозх) ~ . ГХ1 1333] (31) 3 3 х 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
