И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ф П 607 3.055 Для четной функции главное значение несобственного интеграла существует только в том случае, когда этот интеграл сходится (в обычном смысле). Ф 11607 3.1-3.2 СТЕПКППЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 3 11 Рациональные функции со 3.111 (, ~ ~* е(х = —. (р — чг соз Х) (главное значение)*) 3 гт+тгх сео Х+эв гэ1э Х с (см. также 3194 8. и 3.252 1. и 2.). БХ (22] (14) о) В спраэочивке даэы эиачеипя собственных и иесобстэеиеых сходящихся интегралов, а также ггаэныв вначениг расходящкхсн кктвгралог (см.
3.05), если таковые имеются. В дальнейшем главные значения ничем пе выделгются. то этот последний называют главным значением несобственного интеграла ч ч 7(х)в(х и говорят, что интеграл ~ 1(х) бх существует в смысле ававного р р значения. Ф П 603 3.052 Пусть функция ~(х) непрерывна в промежутке (р, о) и обращается в пуль в одной лишь точке г внутри этого промежутка. Пусть в окрестности точки г существует первая производная 1' (х), причем пусть 1' (г) ~ О, и в самой точке г существует вторая производная 7" (г). Тогда 3.112 Интегралы типа ~ ь > х„(х) Ых Ьа(х)Ь (-х) г О где д (х) = Ь,хха ' + Ь,хга "+ ... + Ь„ „ И„(х) = аоха+ а х" г+... + а„ (все корни а„(х) лежат в верхней полуплоскоств1. с 1.
(х) Ь» ( — ') ао А где а, а а ... 0 а а, ... О 0 а, ах ... 0 000...а„ Ь Ь Ь ...Ь„, а, а, а, ... О 0 аг аг ... 0 0 0 0 ... а„ 2. Ьг(х) Ьг( — х) Днг454 — Ь+— аоЬг пг' аг аоаг го 3, Ьг(х) Ьг ( — х) аоагЬг — агЬо+ аоЬг —— Я( аг ао (аоао — агаг) Го (х) ~х Ьг (х) Ьз ( х) О Дгк454 Ло(х) Лх Ьо (*) Иа( — х) О аоЬа Ьо ( — агао+агаг) — аоагЬг+ага,Ьг+ — (аоа,— агаг) =ко Дгк455 ао (аоаог+ агао — ага ао) 6.
оо (х) = Пг ЬБ (х) )го( х) аоао 232 е — а. опгвдвлвнныв интвггалы от алвмвнтагных фтнкции Зл — 3.3 ствпкнныв и АПРВВРАичискив Функпии где 1)гь Ьс( — асасаб+а1а +аа,-аьа,а,)+а,Ь,(-а,а,+а,ас)+ + асЬ3 (асаь — огас) + аьЬ3 (-асах+ агаь) + — 4 ( — а огас+а а,*+ а',ас-а,аьаь), 43 =а,'а,' — 2а,агаса — а„а,ахаь+а,а,*ос+а,*а,'+ага,'ас — а,а,аьас. Дж455 342 Произведения рациональяых функций и выражений, приводящнхся к квадратным корням из многочлелов первой и второи степени 3.121 1 ах агп И „- -'"""2 1 2.
= " [О <р <д]. Ч вЂ” Рх )Гх(1 — х) )Гс (с — р) Вх ./ 4"-Гх з 1 1Гг 1+г 1 — 2гх+гс Г $~~~ 4г г Г~г и1 — г БХ [10] (17) БХ [10] (9) Ли [14] (5), Ли [14] (16) ЗЛ3-3.17 Выражения, приводяп1иеся к квадратным корням иа многочленов третьей и четвертой степени, и их произведения с рациональными функциями В ЗЛ31 — 3.137 положено: я=агсз(з [/ —, р=агсз)п ~ / и — с . / (а — с)(Ь вЂ” и) У =агсз1п [/ ь, 5=агсз1п Ьгг ь / (а — с)(и — Ь) .
Га — и и = агсз1п у )ь= агсз)п 1гг —, У (а — Ь) (и — с) ' ]/ а — Ь и — а Га — с Га — Ь /Ь вЂ” с 11=атее(п у —, т=агсз1п [/ —, рси Ь/ —, д= [à — . и — Ь и — с ' У а — с ' [~ а — с ЗЛ31 Р;(у, р) [а> Ь>и > с]. БФ(233.00) БФ (234.00) — р(6, д) [а > Ь > и > с]. )г а — с и 1. Ь' (а — х) (Ь вЂ” х) (с — х) сх р' (а — х) (Ь вЂ” х) (с — х) 3.
1/ (а — х) (Ь вЂ” х) (х — с) ь )I (а — х) (Ь вЂ” х) (х — с) и 5. г' (а — х) (х — Ь) (х — с) ь — Р (н, р) [а > Ь > с > и]. БФ (231.00) — Р ([), р) [а > Ь > с > и]. БФ (232.00) )Га — с — р (я, р) [а > и > Ь > с]. БФ (235.00) Г' а — с 234 а — с. ош*вдвлвнныв интигиьлы от элвмвнтатных эь нкций 3.132 с [ср(6, р)+ Ь' (а — х) (Ь вЂ” х) (е — х) Ь~ а — е и -Ь(а — с)Е([), р)] — 2]/ ь и ь — Р (у, а) — 2 ]Га — с Е (у, а) )~(а — х) (Ь вЂ” х) (х — с) ~/ а — с [а > Ь > с > и].
БФ (232 19) [а > Ь > и > с]. БФ (233.17) хах )~ (а — х) (Ь вЂ” х) (х — е) а хах ф~ (а — х) (х — Ь) (х — с) [а > и > Ь > с]. БФ (235.16) а хах )/ (а — х) (х — Ь) (х — с) и [а > и > Ь > с]. БФ (236.16) хвх )~ (х — а) (х — Ь) (х — с) а 3.133 и ах 2 [Р(а, р) — Е(а, р)] )Г(а — х)с (Ь вЂ” х) (с — х) (а — Ь) )Га е [а> Ь> с>и].
БФ (231.08) ах 2 ф (а — х)с(Ь вЂ” х) (е — х) (а — Ь) )~ а — с — — [РФ р) — ЕФ, )]+ В 2 ~~ с — и + а — с г (а — и) (Ь вЂ” и) [а > Ь > с > и]. БФ (232.13) а ах ~ (а — х) (х — Ь) (х — с) и ~(х ~" (х — а) (а — Ь) (х — с) с сх ~ (х — а)(х — Ь) (х — е) а — Р (Х, р) [а > и > Ь > с]. БФ (236.00) — Р((ь, д) [и > а > Ь > с]. БФ(237.00) — Р(ч, д) [и>а> Ь> с]. БФ(238.00) — [(Ь вЂ” а)П(Ь Ф.
Ю+аР(6, Ч)] [а > Ь > и > с]: БФ (234.16) — [(Ь вЂ” с) П(и, ра, р)+ср(к, р)] — Р ()" Р) + 2 — 'е' а — с Е Р, Р) — [а(а — Ь) П()с, 1, а)+ЬЧ'((ь, а)] [и > а > Ь > с]. БФ (237. 16) Зл — В.х степенные и АлРИБРАические авункп;ии и ах у'<а — )з <Ь вЂ” ) < — ) 2 <а — Ь) <а — с) в' Ь 2 [а> Ь>и>с[, БФ (233.09) < — ь) ь": )/(а — х)з (Ь вЂ” х) (х — е) [а > Ь > и>с!.
БФ (234.05) а [р(и, р)-е(к, р)[+ )/(а — х)з(х — Ь) (х — с) (а — Ь) Р' а — е Е(м, в7)+ 1 ~" (х — а)в (х — Ь) (х — с) (Ь вЂ” а) 3lм:с БФ (235.04) х ах 2Ь а — с Е(и )/<а х) <Ь х)в <с х) (а — Ь) (Ь вЂ” с) БФ (238. 05) Ех 2 )~ (а — х) (х — Ь)з (х — е) (а — Ь) а/а — с — Р()Ь, р)— 2 ф~а — с 2 /(а — и) <и - с) Ь (а -ь)(ь-е) ( ' р) + <а-ь)(ь -с) ~ и — ь [ " 1 БФ (238. 09) в)~ 2ф а — е Е( ) ф (х — а) (х — Ь)в (х — с) (а — Ь](Ь вЂ” с) а с ()в, д) [и >а> Ь> с!. БФ (237.12) гх, в> — —,' ~Г„',„" „, ~ >в>.з.В вадввовв в<х 2 Р'а — с Е(р ) —, р)- у (а — х) <Ь вЂ” х)з(с — х) (а — Ь) (Ь вЂ” с) и Рф, р) [а> Ь> с> и!.
БФ(232Л4) в<х 2 9. — р((в в7)— р'<а — *) <Ь вЂ” х)в < — с) <Ь вЂ” ) ) ' — с с 2 )Га — е 2 /(а — и)(и — с) а — ь)<ь — е)Е(( в7)+(а — ь)(ь — е) [' ь — и [а» > 1' х БФ (233Л0) з — а. опввдяляняыя интвгтьлы от злямвнтаяных финкпив Ю 12. — ) Е(т, а)— у (х — а) (х — Ь)а(х с) (а — Ь) (Ь вЂ” с) и 13. — Е(а, р)+ ~'(а — х) (Ь вЂ” х) (с — х)с (с — Ь) )Га — с +Ь Ь/ [а>Ь>с>и]. 2 Г Ь вЂ” и БФ (238.
04) БФ (231.10) а ф (а — х)(Ь вЂ” х)(х — с)с (Ь вЂ” с) ф~ а — с — [Р(6, д)— и — е(ь, дя-~-~ )I „" „", ( > ь > > а БФ (234.04) и Е(и, р) [а>и> Ь>с]. )/(а — х) (х — Ь) (х — с)с (Ь вЂ” с) йа — с ь БФ (235.01) и 1, — Х ~(а — х)с(Ь вЂ” х)(с — х) 3(а — Ь)с )~(а — с)а Х [(За — д — 2с)Р(а, р) — 2(2а — Ь вЂ” с)Е(о„р)]+ с 2, — Х у' (а — х)с (Ь вЂ” х) (с — х) 3 (а — Ь)с )Г(а — с)е Х [(За — Ь вЂ” 2с) Р ([), р) — 2 (2а — Ь вЂ” с) Е Я, р)] +. 2 (4ас — ЗаЬ вЂ” 2ас+Ьс — и (За — 2Ь вЂ” с)) / с — и + 3(а — Ь)(а — с)с К (а — и)с(Ь вЂ” и) [а > Ь > С > и]' БФ (232.13) а Нх 2 16.
Е(2, р)— У (а — х) (х — Ь) (х — с)с (Ь вЂ” е) ф' а — с и —, )/ „, [а > и>Ь > с]. БФ(236,10) 17. ~Г(х — а)(х — Ь) (х — с)* (Ь вЂ” е) ф' а — е — — [Р(И, Ч)-Е(И, Ч)]+ а 18. — [Р(т, д) — Е(т, д)] )' (х а) (х — Ь) (х — с)с (Ь вЂ” с) Р а — а [и>а > Ь>с]. БФ(238.03) 3.1 — 3.2 стипинныБ и АВГББРАияискии Функции Ь Х ]Г(а — х)е (Ь вЂ” х) (х — с) 3 (а — Ь)с [/(а — с)* х [2(2а — Ь вЂ” е)К(Ь, д) — (а — Ь)Р(Ь, а)[— 2 „ /(Ь вЂ” и)(и — с) — 3( Ь)(, ~ ( „,. [а>Ь>и>с[.
БФ (234. 05) 5. х у' (а — хР (х — Ь) (х — е) 3 (а — Ь)ь ]/(а — с)е х ИЗа — Ь вЂ” 2с)Р(и, р) — 2(2а — Ь вЂ” е) Е(и, р)]+ 2 [ьас — 2аЬ вЂ” Зас+ Ьс — и (За — Ь вЂ” 2с)), / ы — Ь + 3 (а — Ь)' (а — с) (а — и)с (и — с) БФ (235.04) сс 6. 2 ]/(т — а)ь (х — Ь)(х — е) 3(а — Ь)е У (а — с)с и Х [2(2а — Ь вЂ” е)К(М, а) — (а — Ь)Р(м, а)[-]- 2 [4ае — 2аЬ вЂ” Вас+де-]-и (Ь+2с — За) ° /' и — Ь + 3 (а — Ь)Ь (а — с) Г ( — )*(.— ) ь[и ) а ) Ь > с[. БФ (238.05) и )/(а — х) (Ь вЂ” х)е(с — х) З(а — Ь)*(Ь вЂ” с)* у' а — с х [2(а — с)(а+с — 2Ь)Е[а, р)+(Ь вЂ” с)(ЗЬ вЂ” а-2с)Р(са, р)]— 2 [ЗаЬ вЂ” ас+2Ьс — Ьдс — и(2а — ЗЬ+с)] у/ с — и 3 (а — Ь) (Ь вЂ” с)* Р (а — и)(Ь вЂ” и)с [а > Ь > е>и[.
БФ (231.09) с 8. — Х )Г(а-х) (Ь вЂ” хр (е — х) 3 (а — Ь)с (Ь вЂ” с)е )са — с х [(Ь-е)(ЗЬ-а — 2е)Р(р, р)+2(а — с)(а — 2Ь+е) К(р, р)[ ] + З(а — ь)(ь — с) [/ (ь и), [а) Ь> е > и[. БФ(232.44) 9. — — Х )/(а — х) (Ь вЂ” х)' (х — с) З(а — д)е (Ь вЂ” е)ь )' а — с с Х [(а — Ь)(2а — ЗЬ-]-с)Р(у, д)+2(а — с)(2Ь вЂ” а — с)Е(у, <])[+ 2 [ЗаЬ+ Зде — ас — Зье — 2и (а — 2Ь+ с)) з / (а — иКи — с) + 3( — ьр(ь — р р (ь и)е [а> Ь> и> е[ БФ (233.
10) 3. ° 1 — х Ь' (а —.и)'(Ь вЂ” х)(х — с) 3(а — Ь)с ф (а — с)с с х [2(2а — Ь вЂ” с)К(у, д)-(а-Ь)Р(у, а)[— 2 [Зас — ЗаЬ вЂ” Зас-[- Ье — 2и (2а — Ь вЂ” е)] „ / (Ь вЂ” и)(и — с) 3( — Ь)с(а — с)е $~ (а — и)з [ > Ь> и > 1. БФ [233,09] 3 — С ОПРКДКЛКННЫК ННТКГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУННПКИ 11. — Х у'(х — а) (х — 6)с (х — с) 3 (а — Ь)с (Ь вЂ” с)с у' а — с а Х [(а — Ь)(2а+е — ЗЬ)Р()с, у)+2(а — с)(2Ь вЂ” а — е)Е(р, д)]+ 12. Х )/(х — а)(х — Ь)с(х — с) 3(а — Ь)с(Ь вЂ” с)с с' а — с и Х [(а — Ь)(2а+е-ЗЬ)Р(х, д)+2(а — е)(2Ь вЂ” с — а)К(х, д)]— 2(ЗЬс+2аЬ вЂ” ас — ЬЬс+и(ЗЬ вЂ” а — 2сИ,/ и — а З(а — Ь)'(Ь вЂ” с) с (ц — Ь)с (ц — с) и>а > Ь>с). БФ (238,04) 13. — Х с' (а — х) (Ь вЂ” х) (с — х) 3 (Ь вЂ” с)* )Г(а — с) Х [2(а+ Ь вЂ” 2с) Е(а, р) — (Ь вЂ” е)Р(и, р)]+ 2(сь — Зас — 2ьс+Ьсс+и(2а+Ь вЂ” Зс)] // Ь вЂ” и + 3 (а — с) (Ь вЂ” с) с (а — и) (с — и)с [а > Ь > е > и].
БФ (231.10) ф~ (а — х) (Ь вЂ” х) (х — с)с 3 (Ь вЂ” с)с ф' (а — с)с ц Х [(2а-(-Ь вЂ” Зе)Р(Ь, д) — 2(а+Ь вЂ” 2с)К(6, д)]+ 2 (сЬ вЂ” Зас — 2Ьс+Асс+и (2а+Ь вЂ” ЗсЦ / 6 — и + 3(Ь вЂ” с) (а — с) й (а — и) (и — с)с [а > д > и > е]. БФ(234.04) 15.
— Х с' (а — х) (х — ц(х — с)с 3(Ь вЂ” с)с )/(а — с)с Х [2(а+Ь вЂ” 2с)Е(к, р) — (Ь вЂ” е)Р(к, р)]-(- 2 /(а — и) (и — Ь) +3(а с)(Ь,) ]' (ц,)з [а>и> Ь>е]- а 16. — Х )/( — )(х — Ь)( — с)' З(Ь- ру'(а с)с и Х [2 (а +- Ь вЂ” Зс) Е (Л, р) — (,Ь вЂ” с) Р ()., р)]— 2(аЬ вЂ” Зас — Зьс-4-5сс+2и (а+Ь вЂ” 2с)),/(а — и) (и — Ь) 3 (Ь вЂ” с)с (а — с)* с' (и — а)с [а > и > Ь > е].
БФ (235.20) БФ (236. 10) а 10. Х У'(а — х)(х — Ь)с (х — с) 3(а — 6)*(6 — с)с ф'а — с и Х [(Ь вЂ” с)(ЗЬ вЂ” 2е — а)Р(Л, р)+2(а — е)(а+с — 2Ь)Е(Л, р)]+ 2 (Зсь+ЗЬс — ас — Зьс+2и (2Ь вЂ” а — с)) . / (а — ц)(и — с) + 3 (а — Ь)а (Ь вЂ” с) с [а>и> Ь>с]. БФ (236 09) 3Л вЂ” 3.2 степкнные и АлГееРАияеские Фуннции ОЭ 18. — — Х )/(х — а) (х — Ь) (х — с)с 3 (Ь вЂ” с)с у (а — с)с Х [(2а+ Ь вЂ” Зс)Р(м, Д) — 2(а+ Ь вЂ” 2с)Е(У, (()]+ 2 / (и — а! (и — Ь) +2( )(Ь У ( [и>а > Ь > с]. БФ (238.03) 3,135 1. — Х )/(а — х) (Ь вЂ” х)с (с — х)с (а — Ь) (Ь вЂ” с)с у а — с х [(Ь вЂ” с)р(и, р) — (а+ Ь вЂ” 2с)Е(а, р)]-(- + 2(Ь+с — 2") [а>( >с>и].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
