И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ЬА=7 ) 1(1)зш ! 11 ° 2 Г . йя! о Признаки сходкмости для рядов 0.325 1. и 0,326 1. аналогичны признакам сходимости для ряда 0.320 1„(см. 0.321 — 0.324). 0.327 К о э ф ф и ц и е и т ы Ф у р ь е а, и Ьй (определяемые формулами 0.320 2. и 0.320 3.) абсол!отпо иятегрируемоя функции стремятся к нулю при )г — ь оэ. Для функции 1(х), интегрируемой с квадратом в промежутке ( — 1, 1), выполняется уравнение эамвнутостпи сь ! — 1+ ~~ (а$+Ьй)= ! ~ 7А(х)в(х. (А.
М. Ляпунов.) ФШ 705 й ! 0.328 ПустЬ !'(х) и !р(х) — фуякции, интегрируемые с квадратом в про- мегкутке ( — 1, 1), а ай, Ь„и ий, рй — их коэффициенты Фурье. Для таких фуякций выполпяется вбобщевное уравнвнив замкнутости (раввнсгпво Пар- сввали) г ~Я~ (ай~ха+ Ьй()й) ! ~ 1(х)т(х)(х. ФШ 709 Примеры тригонометрических рядов см.
1.44, 1Л5. Различным способан деления отрезка (а, Ь] (т. е. различному выбору точек деления х,) соответствуют, вообще говоря, различные суммы. Если этя суммы в их совокупности ограничены сверху, то !оворят что функция 1(х) па отрезке (а, Ь] имеет вгринижннвг иэмеэгннг (или вгрипичвн ную вариаиию). Точную верхнюю грань этих сумм называют полным изменением (или полной вариацией) фупкции 7(х) па отрезке (а, д]. ФП191 0.324 Пусть функция 7(х) кусочно непрерывна па отрезке (а, Ь] я в каждо отрезке непрерывности имеет кусочно непрерывную производную Тогд» в каждой точке хв отрезна [а, Ь] ряд Фурье для функции 1(х) сходится к — (7 (хв+ О) + 7 (хв — О)).
1 0.325 Функцию (~х), определенную в промежутке (О, 1), можно разложить а ряд по коси я усам вида о ввкдкпик 0.33 Асимптотические ряды Определение асимптотическозо )>валов>селил. Расходящийся ряд чч А„ — о представляет собой асимптотическое разложение функции / (х) в данной области значений аг8 з, если выражение Й (з) = с"'1/(з) — о„(г)], где э 3„(г) = ,'~~ —, удовлетворяет условию. 11ш В„(з) = 0 при определенном и, А» о=о и)-кк> Ф 11 820 Расходящийся ряд, представляющий собой асимптотическое разложение некоторой функции, называется асимптотичесиим рядом.
0.331 Свойства асимптотвчсских рядов: 1. Над асимптотическими рядами можно производить действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень, точно так же, как и над абсолютно сходящимися рядами, ряды, полученные в результате этих действий, будут также асимптотическими. 2. Два асия>птотяческпх ряда эожно делить друг на друга при единственном условии, что первый член Ао делителя не равняется нулю Ряд, полученный при делении, будет также асимптотическим. Ф11 823 †8 3. Асимптотический ряд можно почленпо интегрировать, и полученный ряд будет также асимптогическим.
Дифференцирование же аскмптогического ряда, вообще говоря, подопустимо. Ф11824 4, Одно и то >ке асимптотичоское разложение может представлять собой разные функции, С дру>ои стороны, данная функция может быть только единствеинь>м способом разложена в асимптотнческий ряд. УВ1208 0.4 НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 0.41 Дифференцирование определенного интеграла по параметру аы> 0.410 — „~ /(х, а)>:(х==~бр(а), а) — ~(>р(а), а) — „+ э>а ч>>а> + 1 — „~(х, а)с(х.
>о>а) Ф Н 680 0.330 Среди расходящихся рядов можно особо выделить обширный класс рядов, называемых асимптотич вски ми или полусходящиинся. Несмотря на то, что зтв ряды расходятся, значения функций, которые они представляют мо> уз быть вычислены с большой точностью, если взять сумму надлежащего числа членов этих рядов. У знакоч е ре д у ю >ци х с я асимптг>тических рядов наиболыпая точность получается при обрыве ряда на том члене, который прели>ествуег члену наименьшему по абсолютной величине; в этом случае по> решность (по своей абсолютной величяне) не превышает абсолютной величины первого из отброшенных членов (сравни 0.227 3.).
Асимптотичегкие ряды имшог очень много свойств, аналогичных свойствам сходящихся рядов, и играют поэтому болыпую роль в анализе. Асимптотическое рааложение функции обозначается так: СО 1»- Х,А. ". о ввкдкнвк 0.432 1. БР(х)=(2 )" Р'"'(хз)+ п )(2 )" Р'" "(хв)+ 2! и (л — 1) (п — 2! (л — 3), »-а,><а-и! а л (и — 1) (а — 2) (а — 3) (л — 4) (а — 5! . а — ь . 1» — в! ° в. + 3! ~н в»а, 2 и а ( а(» — 1) а(л — 1) (л — 2) (а — 3) 1)ип ( Х) ( + 1! (4ахз! + 2! (4»И!" + л (л — 1) (п — 2) (л — 3! (л — 4) (л — 5) ) + 3! (4»»1)1 + - °- 3. р(р — 1)(р — 2! ...
(р — а+1) (2»а)и — (1+ ах ) (1+ а! -и х 1+ а !» — 1) 1+»»1 п (п — 1) (» — 2) (а — 3! (' (+пал ~* 1((р — и+1) 4а»1 2((р — и+1)(р — а+2) ~. 4ахп / ' ' ')" 1 4., (1 — хи) ~=( — 1) ' ' виь(юи пиесов х). 0.433 А (7363.1) А (7363 2) А (7363.3) А (7363.4) ~Р' ! -~ Р!»1()/а) п[а — 1) Р1» 1>(у т) (»-(-1) п(а — 1) (п — 2! Р1» ~1(1/ х) А (7364.
1) 2! (2), а) ° и 2. — „(1+а3' х) " '= „'0=(а4 — — ) . А,7364.2) А (737.1) А (737.2) 1. дЛБМЕН')'А$'НЫК ФУНКЦИИ 1.1 СТЕПЕНИ ЬИНОМОВ $.$1 Степенные рнды 1.110 (1+х)4=1+дх+ х*+... + " г" 4- 21 1.111 $.112 1. (1+х) '=1 — х+х- — х'+... = ~" ( — 1)" ' та-1 4=1 (см также 1.121 2).
2. (1+х) а=1 — 2х+Зхт — 4хо+... = ~~" ( — 1) '/гха-', ! 2 1 1 1 а 1 1 3 а 3. (1+-х) =1+ —.х — — х'+ь— ,"ьха 2 24 246 1.1 3-6 „ 2468 + ! т 1 13 135 4. (1+х) = 1 — —,х+ —.ха —, '..«'+ 2 2.4 2 4.0 1.1(З „*,, = у; йх' (х" <1). 1.1$4 + — — ~ — у~ +...
~ (ха < 1 д — действительное число(. А(6351,1) 36 Если а) не является ни натуральным числом, ян нулем, то ряд сходится. абсолютно при )х) < 1 в расходизся при )х) > 1; прв т = 1 ряд сходится для д > — 1 и расходится для д «( — 1; прн х = 1 ои сходится абсолютно для (( > О; при х = — 1 он сходится абголгОтНО ДЛН д > О и расходится лля д < О; при д =л натуральном ряд 1.110 превращается в конечную сумму 1 111.
Ф П 425 ! элемвнтАРнын Фуннции с (ча†1')(Еа — 3') ... (О' †(2)!†1)Ч за , + !)х+д ~ (22+1)! [х' ~ 1, з) — денстннтельное число], А (6351.2) 1 12 Ряды рациоззаззьныл дробей 1.121 2 ! 2 ~Ч~~ 22-зха а=! 1+х а 11 — а х 1. 1 — а А (6330. 3) ! 2а-з 2. — = ~Р— [ха > 1]. х — 1 2а-! а=! х +1 А (6350. 3) 1.2 ПОКАЗАРКЛЬНАЯ ЮУНКПИЯ 1.21 Представление в виде ряда 1.211 Оз *= 1 — *а сз (х!И а) а =~~ о а=о а хза 3.
е — хз= '~~ ( — 1) —. е! а.-о 1.212 ех(1+х) = У'. а=о х х В!ах!а 1.213 — = 1 — — + ~~~, — * [х < 2л]. е" — 1 2 ' (22)' а ! 2хз 5хз 15ха 1.214 е' =е! 1+х+ —,+ — + — +...) 2! 3! 4! ФП520 А (6460.3) 1.215 хз 3 ха Зхз Зх" 56х' 1. е"""= 1+х+ —. — —, — — + — + — + 2! 1! 5! О! 7! 4ха 31хз 2. е за =о~~1 — — + — — — +...) . 2! 4! 6! хз Зхз 9хз 37хз 3. е'е"= 1-!-х+ —.+ — + — + — + ... 2! 3! 4! 5! А (6460.4) А (6460.5) А (6460.6) 1,216 ха 2хз 5хз еагсаза х 1+ х+ + + 2! 3! ' 4! А (6460. 7) А (6460.8) аа ха 7хз еазсзкх = 1 + х+ — — — + —"— 2! 3! 4! Оа (, а 2а)(, з 4а) (Оа (2ь)з) хзазз 2. (х+ 'У 1+х ) = 1+ Р~ (22+2)! + а-о 1.3 — 1,1 ТРигономвтРичкскиВ и ГипВРБоличискии Функции 37 1.217 е +е ее 1 1 (сравни 1.421 3.).
А (6707.1) 2, " = — + 2х ~'„( — 1) —,, (сравни 1.422 3.). А (6707.2) еее — е е-! 1,22 Функциональные соотношения 1. а*=ее!а". ! 2. а!ез'" = а"Я'" = х. 1.222 1, е" = СЬ х+ яЬ х. 2. Еге = СОВ Х.+ 1' яШ Х. СО 1.223 яе — ее"=(а — Ь)хехр [ — (а+ б) х[ П [ 1+( ь МО 216 1.23 Ряды показательных функций ОЪ 1.231 '~Р а""= — „[а > 1 и х(0 или 0(а (1 и х > 0[. 1.232 СО 1, ьЬх=1+ 2 ~ ( — 1)яе-я"' [х > О[. ОО 2.
яесЬх=2 ~ ( — 1) е — !Я"+'1* [х> О[. 1-о ее 3. совесЬ х = 2 ~ е-'з" Е11* [х > О[. ь — о 1.3 — 1.4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1.30 Введение Тригонометрический и гиперболический синус связаны соотношениями. 1 1 вЬх= —.Б(п1х, я!Вх= —.БЬ1х. 1 ! Благодаря такой двойственности каждому соотношению, в которое входят тригонометрические функции, форчально можно поставить а соответствие некоторое соотношение, в которое входят соответствую!дне гиперболические функция, и наоборот, каждому соотношению, в которое входят Тригонометрический и гиперболический косинусы связаны соотношениями: СЬх=соя!х, соях=сЬ!х. 1 !.
елкмкитхецык еункции гиперболические функции, формально можно поставить в соответствие некоторое соотношение, в которое входят тригонометрические функции. Во многих (одпако кс во всех! случаях обе пары соотношений действительво имеют смысл. Идея двойственности соотношений проводится в приведенном киже списке формул.
Однако, в списке укаааны пе все «двойники», имеющие смысл. 1.3 11 1. 2. вЬх= — (е" — е *); вш х= — (е -е ); »« -«и, 2 = — «вЬ »х. = — ! в!и («х). 4. сЬх= — (е" +е *); 2 совх= —,(е'*+ е '*); 2 = сЫ «х. = сов «х. шеи 1 !ух= = — 1Ь гх. (Ов е воя 1 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
