И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 5
Текст из файла (страница 5)
= „..!„.)! )~..). УВ1144 Ф 11721 Жл(165) жл (184Ь) жл(184Д) Х( 1) '=Ж А+! 1 я! Э 158и 1 кФ (2й — 1)! 8 Э 163 В ! ч! ( — 1)" (2й+ 1)! Ф П 482 ( — 1)й! я Э 163 (2й — !>~,32 й-! 5. Э 163 (Лс — 18 еЬ 0.231 Прогрессии 1. Х аа'= —,' (~))< Ч. к е 2. ~~Р (а+ йг) д~ = — + а е 1 ~х~~ ( — 1) +' — =!и 2 (сравнв 1.511). й ! сю С [) д) < 11 (сравни 0.113). о. ввиднниж 0.244 1 1. Я „, = — ~ Ых (Р) — 1, 9) — 1, Р+д). ГК 11: (90) О\ 1 2.
~ ( — 1)'+' +,„' ц — ~ —,'„„0 (р>0, 9>0). Бр 161(1) Суммы величин, обратных факториалам 0.245 1. ~ — „, =а=2,71828 2. ~~', ~ „, = — =0.36787... а=с СО в=! 4- .а (1+19 =1. 5. ~ —,,), — ~ ( + — ) = 1,54308 .. в-о 6. чч, = — ( с — ' — ) = 1,17520... 7. ~~~ ( ), — — сов 1 = сов 57'17'45" = 0,54030 .. 8. 'Я = в(п 1 = в(н 57'17'45' = 0,84147 (2й — 1)! в 0.246 1..Я вЂ” „,. =Го(2)= 2 27958530 2. ~~,' „, = У,(2) = 1,590636855,, 3 ~~~~, а, + ), — 7 (2).
-~-д.)~- = Ую (2) = 0.22389078 . -- 25 о.э числоэыв инды и ввсконэчпыз и!оизвэдвния 5. '$' „! =./! (2) = 0,57672481 ь! (ь-)-1)! ! ОР ! П! 6. Х ь)(ь+„)! =/ (2). С 0,247 У л1 (л+й — тр (и — 2].(в — 1)! е=! 0.248 Жл (159! К,=2е, Х,=бе, 3, = 203е, 3! = 877е, Я =15е, Юе = 4 140е. 3! е, 3! =52е, ° О (+ ) =15. е.
е=! Жл(185! Жл (76) 0.249 0.25 Бесконечные произведения 0.250 Пусть дана последовательность чисел а„а, ..., а„, ... Если сущел ствует предел Йш Ц (1+ ае), конечный или бесконечный (но определена оЬ=! кого анака), то этот предел называют аначевием оескоиечиого ироиэеедеиия ОЪ Ц (1+ а„) и пишут: а-! Иш Ц (1+а!) = Ц (1 )-а„). л~ «ю»о е=! й=! 0.254 Из абсолютной сходимоств бесконечного произведения следует его сходим ость. 0.255 Произведение Ц (1+аз) сходится абсолютно тогда и только тогда, е-! когда ряд Х ад абсолютно сходится.
ФП 406 Если бесконечное произведение имеет конечное о т л и ч и о е о т н у л я, значение то его взвываю! сходли)имсл, э противоположном случае бесконечное произведение называют расходящимся. Ф П 400 0.251 Для того чтобы бесконечное произведение 0.2501. сходилось, необходимо, чтобы !ппа„=О. ФП 403 0.252 Если для всех значении индекса )е (начиная с некоторого) эсе а„> 0 или все а ( О, то для сходвмоств произведения 0.2оО 1.
необходима и достаточна сходимость ряда ~„аь. СО 0.253 Произведение Ц (1+ аь) называется абсолютно сходящимся, если А ! ОР произведение Ц (1+. ~ а„!) сходится. ФП 406 е — ! о. ввьдкпив 0.26 Примеры бесконечных произведений !ь 0.261 П (1+ ) = 1!' 2. й ! 0.262 3 171 1. Ц(1-,1,)=1. й 1 СО 2. И (1 — — „)= —. 3 П(1 О ) 4 й=! 2 ~ 4 'р (З 8 й ( 10 12 14 16 ~й ОО 0.264 И ", =е, -! 1т/, 0.266 и 11-1- '") = 1 [1х! с 11.
0.3 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Ф 11 401 ФИ 401 ФН 401 ФП 402 — ФН 402 Ф Н 401 0.301 Ряд ,! Уй (х), составленный из функции. называется функ!1ианальным рядам. Мне!кегтво значении незавигинои нареченной х прн которых рял 0.301 1. сходится. образует область сходимосгли этого ряда. 0.302 Ряд. сходящийся для всех значений х из области М, нааызается равномерно стадла!имгз в атой области, если для каждо!о е) 0 существует такое число Л', что при и ь !Ч неравенство ~ 2 7'»1х)~Св »=п+ ! выполняется для всех т иэ !11.
0.303 Если члены функкиональибго ряда 0.301 1. удовлетворя»от в области.!)т неравенствам ~ 1»(х)~ < ий 1к 1, 2, 3, ...), где и суть члены некоторого сходящегося числового ряда и» вЂ” — а +и +... +ай+..., й 1 27 0 э ФункцяонАльп1як Ряды то ряд 0.3011. сходится в М равномерпо. (Вейерштрасс.) ФП449 0.304 Пусть ряд 0.301 1. сходится равномерно в области М, а функции аь(х) (при каждом х) образу<от мов последовательность и огрзяячевь< в совокупности, т. е. для некогорого числа ( и для всех и и х выполняются неравенства 1.
(у„(х)) (Ь; тогда ряд Х 7 (*)у~(~) сходится разномерно в области М. (Абель.) ФИ 451 0.305 Пусть частичные суммы ряда 0.301 1. ограничеяь< в совокупности т, е. пусть для некоторого г.' и для всех я и х иэ М эыиолияюгся вераяенства ~ ~ У,(х)! С Ь; пусть, кроме того, функции у„(х) ( каждом х) образуют моиотоннук< последоВательность, которая сходится к нулю равномерно к облзсги М. Тогда рял 0.304 2. сходят<я равномерно в области М, (Д и ри хле.) Ф(1451 0.306 Бслн функции ~ь(х) (й=1, 2, 3....) интегрируемы на отрезке [а, Ь) и согтавленпый нз них ряд 0.301 1. сходится па этом отрезке равномерно то его мокко почленяо интегрировать, т.
е. $ (~~' 7„(х))<(х= 'Я~ $ ~„(х)<гх (ач х<5). Ф 11459 а А=< а=< а 0.307 Пусть фут<пни;„(т) (й=1, 2, 3, ...) имеюг па отрезке (а, Ь) непрерывные производные ~„'(х). Если на этом отрезке ряд 0.3011. сходится, а ряд ~ч'„~д (х), составленный из производных, сходится равномерно, то ряд 0.3011. можно почленно дифференцировать, т. е. Ш СО ( ~', (а(х)) = 2< гг(х). Ф11460 0.31 Степенные ряды 0.311 Функциональный ряд вида СО ~~" а„(х — Ц"=аз+а<(х — $)+а (и — Ц 4- -.. ь=о называется степенным рядом. Для каждо<о степенного ряда 0.311 1., еслв только он не является всюду расходящимся, обласгь сходимостя представляет собой кру < с цоптром в сечке 5 и радиусом, равным Л, з каждой точке внутри этого круга стспепяои ряд 0.31! 1.
сходится абсол<отно, а вяс его расходится. Круг этот называ<от яругом сходимости, а его радиус — радиусом сходимости. Если ряд сходится во всех точках комплек<"ной плоскости, то говорят, что его радиус сходимости ра«е«беско«ечности (В= 4- со).
28 о Ввидение 0.312 Степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать внутри круга сходимости, т. е. !о ОР 1 ~~ а„(т — $)~ ! Их =,!~ —" (х — $) + ° о=о ~о СО СΠ— ~ ~~~~ а„(х — $) ) = ~~~ Ы„(х — Ц) ь о о=! Радиус сходимости ряда, получающегося в результате почлепного интегрирования или дифференцирования, совпадает с радиусом сходимости исходного ряда. Операции над степенными рядами где 1 ч! с~+ —,~„с~ оа.— Ьь= О, оо '~" о=! или 1 — 1)" са оп А (6360) а, до — ао Ь„, ае та„„... ао а„Ьо — а,Ь, а„,а„... ат 0.314 Воагедеяяе степенных рядов к степень ( ~. а„х")"= ~ с хо, где со=а!, с„,= — '„(йп — т4-й) а,с, при т~1 й=! '1п †натуральн число). А (6361) 0.315 Подстановка ряда в ряд.
~, Ььу" = ~~~~ сохо, у= ~~~~ и„ха; со = аоЬ!+ а,'Ьо+ 2агаобо+ За,'аоЬ, + а,'Ь4, ... А (6362) 0.313 Деление степенных рядов. = — ,'! с„хь, ~6 ~~а,х" ьо о=о а,ь — а,Ь, а,Ь,— а,Ь, соЬО а оЬо а а! ао ... О а, а, ... 0 О Ввпдгнив 0.32 Тригоиомстрич<скис ряды 0.320 Пусть )(х) — периодическая функция с периодом 21 абсолютио интегрируемая (хотя бы и несобствеп <ом смысле) в промежугке ( — <, ().
рл«вм <лурье эгон функция патываегся три! оком етри ческий ряд чт "я* йях — + ~э, а„соз — + Ь» згп— ! » козффициеяты которо<о (ковффи<(веня<и Фурье) определяются по формулалп ! «+г< А а»= — »э ((1)соз — <й= —, э» г(1)соз — «< (й=О, 1, ~, ...), ! Г йя! 1 < йя! -! Й ! +г 3. Ь„= 1 ~ )(1)з<п — <Й= — ~ ~(г) щп — а<1 (й=1, 2, ...). 1 Г йя< 1 < йя! Призиаки гходимости 0.321 Ряд Фурье функции )(х) з точке лв <ходится и числу У(хв-(-О) +-У(хь О) если пра некотором й ) 0 интеграл (У (и<+<)+) (ъе — <! — ) (в<+0) — Г(ха — О) ( <Й е существует.
При этом предпола<ается, что функция У(х) в точке х, либо иепрерывяв либо имеет с обеих с!оров разрывы перво! о рода (сьачки) и что оба продела ! (хе+О) и 1(хв — О) <уществуют. (Дива.) ФШ524 0.322 Ряд Фурье периодической функции ~(х), удовлетворяющей яа отрезке [а, Ь) условиям Дирихле, сходится в каждой точке хь к звачепию — (( (хо+ О) + ) (хь — О)). (Д и р и х л е.) Про функцию ~(х) говорят, что она удовлеа<ворлет условиям Дирихлв на отрезке [а, Ь1, если оиа ва этом отрезке ограпичепа и если отрезок [а, Ь) мол.но раэбигь на конечное число интервалов. внутри каждого из которых функция ~(х) непрерывна и монотонна.
0 323 Ряд Фурье функции г (х) в точке хь сходится к — (г (хе+ О) + ~ (хв — О)), 1 если в некотором промежутке (хз — а, хз+Ь) с центром в атой точке функция у(х) имеет ограниченное иэмевепие. (<Кардак-Дярихле.) Ф П) 523 Определение функции с ограпичеипым изменением Пусть функция ~(х) определена яа некотором отрезке [а, Ь) где и ( Ь. Разобьем этот отрезок произвольным образом иа части с помощью точек деления. а = хв с. х< ~ х ( ... х„, ( х„= Ь и образуем сумму ( г (х») г ( '»- )! 31 в.з Фупкциопйльпыв Ряди +,У ай сов ! > вг йяэ й-! где ай = — ~ 7(1) соз — !11. 2 Г йя! й — 1) 0.326 Функцию ~(х), определенную в промежутке (О, 1), можно разложить е ряд по с вкусам вида ;г„' Ьйзйп— йяв й ! где 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
