Часть 1 (1125035), страница 8
Текст из файла (страница 8)
та часть когерентной интенсивности,которую дало бы рассеяние на полностью беспорядочном скоплении частиц.Второй член N 2 X 1 содержит радиальную функцию распределения и,следовательно, описывает межмолекулярную дифракцию на этой системечастиц.OPPQ34Третий член N 2 X 2 очень быстро убывает с ростом H и описывает малоугловоерассеяние, характеризующее форму рассеивающих частиц. На рис.1.11 показанобщий характер этой зависимости. Видно, что функция Φ H L убывает гораздоb gбыстрее, чем множитель sin(x)/x, непосредственно входящий во второеслагаемое формулы Дебая.351.4.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯДИНАМИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ1.4.1. ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ В СОВЕРШЕННОМ КРИСТАЛЛЕВ общем случае, когда взаимодействием падающей и рассеянных волнпренебречь нельзя, то есть когда скорость распространения поля в средеотличается от скорости в вакууме, распространение электромагнитной волны всреде должно в общем случае описывается системой уравнений Максвелла[1,2,4,5,11]R| rotE = − 1 ⋅ ∂Hc ∂tS|1 F ∂EIrotH = ⋅ G+ 4πJJK|Tc H ∂tdivE = 4πρdivH = 0(1.62)Константы среды здесь учитываются через вектор поляризации P(r,t), которыйсвязан с вектором электрической индукции D(r,t) соотношением D = E + 4 πP ;c - фазовая скорость поля; диэлектрическая проницаемость ε связана споляризуемостью среды, коэффициентом преломления и скоростью поля Rλ21ε = 2 = 1 + χ = n2 ; n - коэффициент преломления; χ r = −ρr πce2поляризуемость среды, R =- радиус электрона, ρ r - распределениеmc2электронной плотности в веществе.Для того что бы получить более привычный вид уравнений дляволнового поля в среде, уравнения Максвелла необходимо несколькопреобразовать.
Для этого подставим значение вектора E, выраженное черезвектор электрической индукции, в первое уравнение Максвелла, тогда онопримет вид1 ∂Hrot D − 4πP = − ⋅(1.63)c ∂tВоспользовавшись соответствующими теоремами векторного анализа, можнозаписатьbgbgbbggb g bgrot rotD = ∇ divD − ΔDУчитывая отсутствие свободных зарядов в среде т.е. divD=0 получим1 ∂ rotHΔD − ⋅= −4π ⋅ rot rotPc∂t1 ∂E∂P1 ∂DrotH = ⋅+ 4π ⋅= ⋅c ∂tc ∂t∂tbgFGHb gIJK1 ∂ DΔD − ⋅+ 4π ⋅ rot brotP g = 0c ∂t(1.64)(1.65)(1.66)222(1.67)361Так как ε мало отличается от единицы, можно написать χ = ε − 1 ≈ 1 − , тогдаεиз D = E + 4πP следует, что 4πP ≈ χD и, следовательно, в окончательномвиде уравнение (1.67), описывающее волновое поле в среде с поляризуемостьюχ(r), примет вид неоднородного волнового уравнения1 ∂ 2DΔD − 2 ⋅ 2 + rot rotχD = 0(1.68)c ∂t1 ∂2Волновое уравнение ΔD ( r, t ) − 2 ⋅ 2 D( r, t ) = 0 является частным случаемc ∂tтолько что написанного уравнения (1.68) и описывает свободные колебанияэлектромагнитного поля в среде с поляризуемостью среды χ(r).
Здесь Δ оператор Лапласа.После несложных преобразований и учитывая известные векторныеi ωt − b K ,r gравенства для плоской волны типа U ( r ,t ) = A ⋅ e∂ 2U(r, t )2ΔU(r, t ) = − K ⋅ U(r, t );= −ω 2 ⋅ U(r, t ) ,(1.69)2∂tbgнаписанное выше уравнение можно записать в более удобном для дальнейшихрассуждений видеbgrot rotχD − 2 K ⋅ D = 02(1.70)Известно два подхода при решении полученного уравнения.
Первый состоит в непосредственном решении уравнения (1.69 или 1.70) и был впервыепроведен Эвальдом и Лауэ. Этот путь очень нагляден и позволяет легко понятьфизическую картину явлений. Второй - сводится к преобразованию уравнения(1.70) в систему дифференциальных уравнений первого порядка в частныхпроизводных. Такой подход был впервые реализован С.Такаги [27,28] и затемД.Тапеном [32,33]. Система уравнений полученная С.Такаги легко может бытьобобщена на случай деформированного кристалла. Вначале мы рассмотрим какэта задача была представлена М.Лауэ.Волновое уравнениеВолновое1 ∂ 2D уравнениеΔD −c2⋅Система дисперсионныхуравненийKn − k⋅ Dn =2Kn22∑χmn−mb g⋅ Dm∂t 2bg+ rot rotχD = 0Уравнение Такаги-ТопенаR| −2iFG ∂ − ∂ IJ ⋅ D = χ CDS| F ∂ H ∂∂z I ∂x K|T−2iGH ∂z − ∂x JK ⋅ D = χ CD − α (r ) ⋅ DF∂ ∂Iα ( r ) = α − 2G − J ⋅ bH , U(r) gH ∂z ∂x K−10n101101hkl37Волновое уравнение (1.70) имеет бесчисленное множество частныхрешений D 1 r, t , D 2 r, t , .
. . D n r, t , например в виде плоских волнb g b gb gD j r, t = D 0 ⋅ e bi ωt − krвеличина k =ωb gg . Здесь вектор k перпендикулярен фронту волны, а его=2πопределяет волновой вектор в вакууме. В случаеcλраспространения волны в среде необходимо учесть отличие коэффициентапреломления от единицы. Тогда уравнение волны следует записатьb gD j r, t = D 0 ⋅ e bi ωt − Krg , где K = 1 + χ ⋅ ω , или K = n ⋅ k .
Общее решениеcпредставляется суперпозицией частных решений и может быть записано в виде(1.71)D r, t = ∑ A j D j r, tb gb gjАмплитуды волн A j не зависят от времени, но могут меняться в пространстве,т.е. зависеть от координат. Дело в том, что электроны колеблются поддействием распространяющейся волны, и испускаемые ими электромагнитныеволны интерферируют между собой и с исходной волной. Устанавливаетсянекоторое стационарное поле, характер которого будет определяться функциейраспределения электронной плотности ρ r в кристаллической решетке.bgПоэтому, если мы имеем дело с кристаллической решеткой, распределениеэлектронной плотности можно разложить в ряд Фурье по векторам обратнойрешетки1ρ r = ⋅ ∑ F hkl ⋅ e−i bH hkl , r g(1.72)V hklПодставляя это выражение в соотношение для поляризуемости среды, получаемRλ2Rλ2−i H , r−i H , rχr =−⋅ ∑ F hkl ⋅ e b hkl g = ∑ −⋅ F hkl ⋅ e b hkl g (1.73)πV hklπVhklbgbgb gRSTb gb gUVWВыражение в фигурных скобках есть не что иное, как Фурье компонентаразложения поляризуемости среды по векторам обратной решетки, и,следовательно, предыдущее выражение можно записать в видеχ r = ∑ χ hkl ⋅ e− bH hkl , r g ,(1.74)bghklRλ⋅ F hklПолученное выражение для коэффициентовπVполяризуемости показывает, что χ hkl = χ H может иметь действительную имнимую части, т.е.
χ H = χ Hr + iχ Hi , что соответствует учету поглощения в среде,причем в общем случае для структур, не имеющих центра симметрии, χ H ≠ χ H .гдеχ hkl = −2b gЧисленное значение действительной части χ составляет величину порядка 10 −6 .Как уже отмечалось выше, решение волнового уравнения можноb gbgb g , где амплитуда A(r) должнаi ωt − K, rпредставить в виде волны, D r, t = A r ⋅ eиметь периодичность кристаллической решетки и может быть записана в видеряда Фурье по векторам обратной решетки−i H , rA r = ∑ Dm ⋅ e b g(1.75)bgm38Индекс суммирования m определяет здесь узел в обратной решетке с индексамиhkl.
Тогда решение волнового уравнения может быть записано в виде пакетаплоских волн, или, блоховской волны, с амплитудой, имеющей периодичностьрешетки.b gD r, t =∑Dmbi ωt − K 0 + H , rm⋅eg =∑Dmbi ωt − K m , rm⋅eg = ei ωt ⋅ D ⋅ ei bK , r g , (1.76)∑ mmmгде K m = K 0 + H .Не сложные, но достаточно громоздкие преобразвания, приводят вконечномсчетекуравнениюсвязывающемуволновыевекторараспространяющихся в кристалле волн с их амплитудами (см. приложение 4).2K n − k2⋅ D n = ∑ χ n−m ⋅ D m n(1.83)2Knmb gb gЗдесь D mKn , а k =n- проекция вектора D m на направление, перпендикулярное векторуω- значение волнового вектора в вакууме.
Полученные уравненияc(1.83) носят название фундаментальных уравнений динамической теории[1,4,5,11]. Они представляют собой систему линейных уравнений, числокоторых равно числу волн с индукцией D n . и связывают между собой значенияволновых векторов и амплитуд волн самосогласованного волнового поля вкристаллической решетке, возбужденного внешней падающей волной, или,другими словами, полученная система уравнений связывает значения волновыхвекторов и энергий соответствующих мод. Поэтому эта система уравненийпредставляет собой дисперсионные уравнения для самосогласованного поля вкристаллической решетке.Очень полезна геометрическая интерпретация приведенной вышесистемы уравнений.
Согласно представлений Эвальда дисперсионныеуравнения описывают m-листную поверхность в обратном пространстве вокрестности точки Лауэ (точных условий дифракции). Если из любой точки M(см. рис.1.12) этой поверхности провести прямые линии в точки обратногопространства с индексами 0,1,...,m, полученные отрезки будут волновымивекторамиK0,K1,...,Knволнсамосогласованноговолновогополяраспространяющегося в кристалле.
Таким образом поверхность, описываемаядисперсионными уравнениями, является геометрическим местом точекраспространения для m-волновой дифракционной задачи.Рис.1.12.Геометрическая интерпретациясвязи волновых векторов с дисперсионнойповерхностью.
Точка M принадлежит mлистнойповерхности,называемойдисперсионной поверхностью. Узлы 0,1,2,3соответствуют узлам обратной решеткис индексами h0k0l0, h1k1l1, h2k2l2, h3k3l3.участвующими в дифракции.391.4.2. ДВУХВОЛНОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ВСОВЕРШЕННОМ КРИСТАЛЛЕСистема уравнений (1.83) в общем случае должна состоять избесконечного числа уравнений, однако даже беглый анализ системы2показывает, что величины Dm резко уменьшаются с ростом разности Kn − k 2 .Действительно, правая часть системы не может сильно изменяться при переходе2от одного уравнения этой системы к другому, т.е. Dm велико, если Kn − k 22мало.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
