Часть 1 (1125035), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Это соответствует возбуждению двухсвязанных точек на дисперсионной поверхности. В симметричном лауэвскомслучае этими точками будут вершины гипербол. Отклонение кристалла отточного брегговского положения будет приводить к смещению точеквозбуждения вдоль ветвей дисперсионной поверхности и соответствующимповоротам волновых векторов блоховских волн двух типов (см. рис.1.17).Следует подчеркнуть, что незначительным по величине поворотамкристалла внутри области динамического отражения (на углы порядка единицугловых секунд) соответствуют повороты вектора фазовой скорости блоховскихволн на угол порядка 2θ внутри треугольника Бормана, т.е. при дифракцииимеет место еще один чрезвычайно важный "эффект углового усиления" скоэффициентом порядка -10 4 ÷ 10 5 .Рис.1.17.Схема, иллюстрирующая динамический эффект углового усиления.
а)-криваяотражения, выделены рабочие точки 1,2,3 б)-дисперсионная поверхность, на которойпоказаны соответствующие точки возбуждения Q1, Q2, Q3 ; в)-участки кристалла исоответствующие направления групповых скоростей блоховских волн, для точек 1,2,3.1.4.4. ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ В КРИСТАЛЛАХ С ИСКАЖЕНИЯМИ.УРАВНЕНИЯ ТАКАГИ - ТОПЕНАПроведенный выше анализ уравнения (1.70) достаточно труднообобщить на случай деформированного кристалла. Однако, как отмечалосьвыше в 1.4.1., С.Такаги [27,28] предложил способ преобразования уравнения(1.70) в систему дифференциальных уравнений первого порядка.Характеристики среды в волновом уравнении можно учесть черезфункцию поляризуемости χ ( r ) . Будем описывать искажения кристалла в виденекоторого поля смещения U(r), связанного с каким-либо дефектом, причембудем полагать, что искажения достаточно медленно меняются в пространстве,т.е.
на расстояниях порядка экстинкционной длины, тогда вместо координаты rнеобходимо записать r-U(r), т.е.bgχr =∑χhklcbi H hkl , r − U ( r )hkl⋅egh =∑χhkl⋅ebi H hkl , rhklg ⋅ ei bHhkl,U ( r )g(1.92)45Первые два сомножителя, стоящие под знаком суммы, точно такие же, как и дляидеального кристалла. Последний экспоненциальный множитель связан с полемсмещений в искаженной решетки.
Учитывая сказанное, решение уравнения дляволнового поля в таком кристалле следует искать в виде [18-23]D( r) =∑D⋅emihklbKgb, r − H hkl , rhklgr(1.93)hklЕсли искажения достаточно слабо меняются на расстоянии экстинкционнойдлины т.е. ∂u(r ) ∂r << 1, то после несложных, но достаточно громоздкихпреобразований уравнение (1.70) для случая двухволнового рассеяния, когда насферу Эвальда попадает только два узла обратной решетки, примет видR| −2iFG ∂ − ∂ IJ ⋅ D = χ CD ,(1.94)H∂z ∂x KS| F ∂ ∂ I|T−2iGH ∂z − ∂x JK ⋅ D = χ CD − α (r ) ⋅ DF ∂ − ∂ IJ ⋅ bH , U(r) g - функция, описывающая локальные− 2GH ∂z ∂x K−101где α ( r ) = α 01101hklразориентации решетки, связанные с полем U(r) дефекта. Полученную системууравнений можно переписать в матричной форме2iFG ∂ − ∂ IJH ∂z ∂x Kχ1χ −1F ∂ − ∂ IJ − α ( r )2i GH ∂z ∂x K⋅D0D1= 0,или в форме телеграфного уравнения вида∂2∂2α(r ) ∂∂χ2−+−+⋅Dj = 0j∂z2 ∂x 22 ∂z ∂x4LMNOPQIJKFGH(1.95)(1.96)Эта система впервые была получена в 1969 году С.Такаги [27,28] и носитего имя.
Для случая дифракции электронов проведенные выше рассуждения ивыводы остаются в основном в силе с той лишь разницей, что исходнымиуравнениями будут не уравнения Максвелла, а уравнение Шредингера и врешении будут фигурировать волновые функции электронов. Существеннымотличием для электронов будет очень малая величина дифракционного угла (θ≈10-2рад), что приводит к возможности использования так называемого"колонкового приближения".
Малость дифракционного угла позволяетпренебречь зависимостью волновых функций в задачах дифракции откоординаты x (в установке принятой на стр.43). В этом приближении длярешения задач о дифракции электронов в кристаллах содержащих дефектымогут быть выведены уравнения аналогичные уравнениям (1.94). Они имеютследующий видΨ (z )d Ψ0 ( z )iπ − w 1= ⋅⋅ 0(1.97)1 wΨ1( z )ξgdz Ψ1( z )Параметр w(r) описывает локальные разориентации кристаллической решеткисвязанные с дефектом и определяется выражениемξ K ∂w( r ) = g ⋅ u( r ) ,(1.98)2 π ∂zFGHIJKFGHIJ FGKHIJK46ξg - комплексная длина экстинкцииπ π= + iμ .
Эти уравнения аналогичныξg Λуравнениям (1.94) для рентгеновского волнового поля и носят названиеуравнений Хови-Уэлана [16,31].Уравнения Такаги (Хови-Уэлана) являются основой для расчетовизображения дефектов любого вида. Для большинства случаев дефектовкристаллической решетки решение этих уравнений может быть проведено лишьчисленно. Например, для случая упругого поля дислокаций функция u(r) имеетдостаточно сложный вид [37]U( x) =R|S|Tx11 − 2ν1⋅ −Ωb −⋅ t × b ⋅ ln x +⋅ t×b ⋅ 2x4π1−ν1−νxU|V|W(1.99)Здесь x - вектор, определяющий кратчайшее расстояние от оси дислокации доточки наблюдения r, Ω - телесный угол, под которым из точки r виднаположительная сторона полуплоскости, границей которой является осьдислокации, t - единичный вектор, определяющий ориентацию дислокации, b вектор Бюргерса дислокации, ν - коэффициент Пуассона.
Для расчетадифракционного изображения какого-либо дефекта необходимо найти значенияамплитуд поля D0 и D1 в узлах сетки (xi,yi), на которую разбивается все поледифракционной топограммы. Распределение интенсивности дифрагированнойволны на выходной поверхности кристалла для случая неполяризованногоизлучения будет определяться сложением интенсивностей для двухполяризаций122I ( x, y ) = ⋅ D(x, y) σ + D( x, y) π(1.100)2Рис.1.18.Сетка, в узлах которой вычисляется интенсивность на рентгеновскойтопограмме -а); сетка для проведения вычислений по методу конечных разностей вплоскости рассеяния -б).Для решения уравнений подобного типа обычно используется методконечных разностей [18-23].
Задача считается в точках сетки (xi,yi) для каждогофиксированного yj, для двух значений поляризации, т.е. в каждом сечении,образованного дифракционными векторами K0,K1 (так называемоготреугольника Бормана). На рис.1.18 показаны схемы разбиения дифракционногоизображения на элементы для численного расчета методом конечных разностей.47ПРИЛОЖЕНИЕ 0Спектр электромагнитных колебаний10-11 – 10-9 см10-10 – 10-9 см10-7 – 0.4 10-4 см0.4 10-4 – 0.7 10-4 см0.7 10-4 – 0.01 см0.01 см – 3-4 кмγ-лучиX-rayУФВидимый светИКРадио волны1Å=10-10 m=10-8 cm=10-7mm=10-4мкм1м=102см=103мм=106мкм=109нм=1010Å1μ=10-6 m1nm=10-9 mПРИЛОЖЕНИЕ 1Выод интерференционной функции ЛауэЗапишем еще раз выражение для суммарной амплитуды волнприходящих в точку наблюдения M.NNNE = E(t ) ⋅ ∑∑∑ em =0 n =0 p =03Nгде L ( s − s 0 ) = ∏ ∑ ea ,b , c m = 0преобразованийikm[ ( s − s0 ),a ]ik ⎣⎡( s − s0 ),( am + bn + cp ) ⎦⎤= E(t ) ⋅ L(s − s 0 ) ,(1.9).
Введем обозначения удобные для последующих48k⋅ ⎡( s − s 0 ) , a ⎤⎦2 ⎣kΨ b = ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , b ⎤⎦2kΨ c = ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , c ⎤⎦2Тогда выражение для суммарной амплитуды можно записать в видеΨa =3NE = E(t ) ⋅ L(s − s 0 ) = E(t ) ⋅ ∏ ∑ eikm[( s − s0 ),a ]a ,b , c m = 03(1.11)N= E(t ) ⋅ ∏ ∑ e 2imψ aa ,b , c m = 0Здесь под знаком суммы стоит геометрическая прогрессия, причем первый член− ik ⎡( s −s ),a ⎤прогрессии a1 = 1 , а знаменатель прогресии q = e ⎣ 0 ⎦ = e −2iψ a , тогда суммачленов такого ряда Sn =a1 (1 − q n )1− q. СледовательноN∑e2 imψ a0=1 − exp ( 2iNΨ a ).1 − exp ( 2iΨ a )Для получения сумманой интенсивности необходимо значение амплитудыумножить на комплексно-сопрчяженное ее значение.
В результате посленесложных преобразований имеем⎡1 − exp ( 2iN Ψ a ) 1 − exp ( −2iN Ψ a ) ⎤I = E× E* = ⎢⋅⎥=⎣ 1 − exp ( 2iΨ a ) 1 − exp ( −2iΨ a ) ⎦==1 − exp ( −2iN Ψ a ) − exp ( 2iN Ψ a ) + 1=1 − exp ( −2iΨ a ) − exp ( 2iΨ a ) + 12 [1 − Cos 2 N Ψ a ]2 [1 − Cos 2Ψ a ]=2Sin 2 ( N Ψ a ) Sin 2 ( N Ψ a )=2 Sin 2 ( Ψ a )Sin 2 ( Ψ a )Вспоминая соответствующие формулы Эйлера и соотношения изтригонометрииeix + e − ix= Cosx2eix − e − ix= Sinx22Cos 22Sin 2и суммируя по всем трем направлениям получаем23sin 2 N ΨaEI =⋅∏2Ra, b,c sin ΨaFG IJH Kbb gα2α2= 1 + cos α= 1 − Cosαg(1.13)Анализ полученной функции показывает, что положения главных максимумовопределяется при Ψ1 = π h, Ψ 2 = π k , Ψ 3 = π l , где h,k,l - целые числа т.е.
Функциястоящая под знаком произведения получила название ИнтерференционнойF EI= G J ⋅e N j .H RK2функции Лауэ. Величина главных максимумов равна ImaxПоложения главных максимумов определяются уравнениями Лауэ3249π⎧⎫⎪Ψ1 = λ ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , a ⎤⎦ = π h, ⎪⎪⎪π⎪⎪⎨Ψ 2 = ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , b ⎤⎦ = π k , ⎬λ⎪⎪π⎪⎪⎪Ψ 3 = λ ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , c ⎤⎦ = π l ⎪⎩⎭(1.14)Положения попочных максимумов определяются при Ψ1 = h ±соответственно Ψ 2 = h ±3535и Ψ3 = h ±.,h ±,h ±2N2N2N2N10I(x)35,h ±,и2N2NN=350048x121620I(x)40N=5200048x12I(x)1001620N=10500048x1240001620N=5020000048x121620ПРИЛОЖЕНИЕ 2Индексы Миллера. Обратная решетка. Её свойства.Пусть a,b,c - элементарные векторы прямой (атомной) решетки.
Ониописывают элементарную ячейку кристалла. Вектор T = ma + nb + pc трансляционный вектор прямой решетки. Здесь m,n,p – целые числа. Тогдаположение любогоузла атомной решетки будет описывается векторомтрансляции T .Вначале введем понятие индексов Миллера. Это общепринятыеобозначения плоскости в прямой решетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
