Часть 1 (1125035), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Это означает, что значениями Dm для всех членов с большим Kn − k 2можно пренебречь, ввиду их малости. Тогда число уравнений в системе (1.83)можно ограничить.Наибольший практический интерес представляет тот случай, когдаориентация кристалла близка к одному из брегговских положений, например, кположению с волновым вектором (вектором отражения) K1 , т.е.
когда толькодва узла обратной решетки с индексами 0 и 1 (индексы Миллера которых (000)и (hkl) соответственно) лежат вблизи сферы Эвальда. Такой случай показан нарис.1.13 и получил название двухволнового приближения [1,4,5,11].Рис1.13.Геометриярасположенияволновыхвекторов для случая двух сильных волн. Точка M'соответствует случаю, когда коэффициентпреломления равен единице, т.е. рассеяниепроисходит в вакууме и носит название точкиЛоренца. Точка M соответствует центрураспространения с учетом преломления, но длячистокинематическогослучая,когдавзаимодействием волн можно пренебречь. TH и T0 следы от пересечения сфер радиуса k и k,проведенных из узлов решетки 0 и H. Точка ихпересечения называется точкой Лауэ.В этом случае в решении волнового уравнения остается только два членаbi ωt − K 0 , rD ( r, t ) = D 0 ⋅ eg + D ⋅ ei ωt − bK , r g11(1.84)Тогда система уравнений (1.83) будет состоять из двух уравненийR|K − k ⋅ D|S K|| K − k ⋅ DT K22002= χ 0D 0 + Cχ −1D 1(1.85)0212211= χ 1D 0 + Cχ 0D 1После несложных преобразований написанная выше система может бытьзаписана в матричной форме40K 0 − k2− χ02K02− χ −1C⋅D0D1K1 − k− χ02K12− χ 1C2=0(1.86)Эта линейная система уравнений будет иметь нетривиальные решения, еслидетерминант системы тождественно равен нулю, т.е.
когдаFK − kGH K20202I FK − kJK GH K− χ0 ⋅21212IJK− χ 0 = C χ −1 χ 1(1.87)Здесь поляризационный множитель C=1 для компонент волнового поля,поляризованных перпендикулярно к плоскости рассеяния (σ-поляризация), иC=cos2θ для компонент, поляризованных в этой плоскости (π-поляризация),1 ∧θ = K 0 K 1 - брегговский угол.2Рис.1.14.Сечение(1,2)дисперсионнойповерхностиплоскостьюрассеяниядлядвухволнового случая. Кривые 1 и 2соответствуют двум листам дисперсионнойповерхности.
Q1 и Q2 - связанные точкивозбуждения, соответствующие двум типамблоховских волн. T0 и T1 - асимптотическиеповерхности, к которым приближаются ветвидисперсионной поверхности вдали от точногоусловия брегговского отражения.Это уравнение описывает двулистнуюповерхность вращения типа гиперболического цилиндра с осью вращения,совпадающей с вектором обратной решетки H1 (называемым векторомдифракции или вектором отражения) и асимптотами T0 ,T1, и носит названиедисперсионного уравнения (см. рис.1.14). Дисперсионные уравнения позволяютв каждом конкретном случае определить амплитуды всех волн участвующих врассеянии и, следовательно, определить интенсивности всех дифракционныхпиков.Не вдаваясь в детали вывода можно получить выражения связывающиекоэффициенты отражения R(θ) и прохождения T(θ) с величинойдифракционного угла и таким образом построить профили дифракционныхлиний, однако в общем случае выражения эти достаточно громоздки.
Длясимметричного лауэвского случая дифракции рентгеновских лучей наплоскопараллельной пластинке при отсутствии поглощения эти соотношениявид41T( y ) =1⋅ y 2 + cos2 ( A 1 + y 2 )1 + y2χ h sin 2 ( A 1 + y 2 )R( y ) =⋅χh1 + y2где A =,(1.88)sin 2θ Bπtλ ⋅ cos θ B,y =⋅ Δθ , Λ =. Из этих соотношений легко видеть,C χ rhC χ rhΛчто, как проходящая, так и отраженная волны зависят не только от величиныугла Δθ, но и от толщины кристалла t.
На рис.1.15 показаны коэффициентыпрохождения T(A,y) и отражения R(A,y) вблизи максимума для случаяпрозрачной плоскопараллельной кристаллической пластики. Эти зависимостиимеют осциллирующий характер и быстро убывают с увеличением отклоненияот точного брегговского положения за счет множителя (1+y2)-1.Рис.1.15.Характер изменений коэффициентов прохождения T(A,y) и отражения R(A,y)в окрестности брегговского максимума.Чтобы проследить изменение коэффициентов T(A,y) и R(A,y) с толщинойкристалла необходимо проинтегрировать выражения (1.88) по параметру yопределяемому величиной отклонения от брегговского положения.
На рис.1.16показана зависимость интегрального коэффициента отражения от толщиныкристалла. Из рисунка видно, что интенсивность дифрагированного пучкаосциллирует с увеличением толщины кристалла. Аналогичным образом ведетсебя и проходящая волна. Этот эффект впервые был обнаружен теоретическиЭвальдом и получил название маятникого эффекта. Такое поведениеинтенсивности дифрагированной и отраженной волн связано с взаимнойперекачкой энергии между этими волнами и совершенно аналогично перекачкиэнергии между двумя связанными маятниками. Отсюда становится понятноназвание эффекта.42Рис.1.16.ОсциллирующийхарактерзависимостиRi(A)интегральногокоэффициента отражения от толщиныкристалла.1.4.3. ВАЖНЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯПоскольку дисперсионная поверхность по существу представляет собойизоэнергетическую поверхность в пространстве обратной решетки, анализ ееформы аналогичен анализу формы Ферми-поверхности вблизи границы зоныБриллюэна [1,5,11,22,23].В рассматриваемом двухволновом случае легко показать, что вплоскости рассеяния вблизи точки M (пересечения двух сфер распространения сплоскостью рассеяния) уравнения описывают гиперболу с асимптотами T0 и T1 ,являющимися следами сфер распространения.
Вблизи этой точки сферы малоотличаются от плоскостей, а их следы в плоскости рассеяния мало отличаютсяотпрямыхлиний.Радиуссферравенk 1 + χ0 ,распространению волн в однородной среде ( k ≈ 10 8 ñì1 +χ ≈1 +что−1соответствует) с показателемχ0. Так как χ 0 < 0, χ ≈ 10−6 , кристалл для2рентгеновских волн является менее плотной средой, чем вакуум. Показательпреломления для рентгеновских лучей всегда меньше единицы в отличии,например от оптики видимого света. Дело в том, что частоты электромагнитныхколебаний для рентгеновского диапазона значительно больше частотсобственных колебаний электронов в атомах и следовательно в формуле (без4π Ne 22собственной частотой ω0 можноучета затухания) n − 1 =m (ω0 2 − ω 2 )преломления4π Ne 2.
Так какmω 2ω 2 - велико, отличие коэффициента преломления для рентгеновских лучей отединицы очень незначительно. Как показывают оценки это различие составляетвеличину порядка 10-6. Эти рассуждения впервые были проведеныодновременно Г.А.Лорентцом и Л.Лоренцом в 1880 году. Формула длякоэффициента преломления приведенная выше носит имя формулы ЛоренцЛорентца.На языке теории зон Бриллюэна каждой точке дисперсионнойповерхности соответствует квазичастица, или, другими словами, блоховскаяпренебречь и тогда соотношение дисперсии примет вид n 2 = 1 −43волна с заданным квазиимпульсом, распространяющимся вдоль нормали кдисперсионной поверхности. На границе зоны Бриллюэна благодаря сильномубрегговскому отражению дисперсионная поверхность расщепляется.
Именноэтот участок дисперсионной поверхности, похожий на гиперболическийцилиндр, представляет интерес для анализа волновых полей в кристалле,находящемся вблизи брегговского положения. Как и всякая изоэнергетическаяповерхность в пространстве обратной решетки, дисперсионная поверхностьперпендикулярна границе зоны Бриллюэна.Двум листам дисперсионной поверхности соответствуют два типаблоховских волн (квазичастиц), различающихся знаком эффективной массы ивеличиной фазовой скорости.
Разница в скоростях блоховских волнопределяется величиной расщепления дисперсионной поверхности. Для точногобрегговского положения расщепление минимально и соответственно равнорасстоянию между вершинами гиперболΔk min = 1 K − 2 K ≈ kC χ −1χ 1 ⋅ secθ(1.89)Если k ≈ 10 8 ñìΔk min ≈ 10 3 ñì−1, а χ ≈ 10 −5 , величина расщепления оказывается порядка−1.Распространение в кристалле двух типов блоховских волн с близкимиволновыми векторами приводит к возникновению в суммарном волновом полепространственных по глубине биений (аналогично биениям в системе двух2πв направлении нормали ксвязанных маятников) - на расстоянии Λ =ΔKвыходной поверхности происходит перекачка энергии из проходящей волны вдифрагированную и обратно. Это явление получило название "маятникогоэффекта"; период Λ в динамической теории называется экстинкционной длинойи определяется величиной2πλ ⋅ cosθΛ==(1.90)ΔK c χ H χ HЭто явление было предсказано еще Эвальдом в 1917 году, но экспериментальнобыло обнаружено только в 1959 году Като и Лангом в виде полос равнойтолщины на клиновидных кристаллах [1,4,5,19].Блоховские волны, принадлежащие разным листам дисперсионнойповерхности, имеют существенно различные коэффициенты поглощения.Физическая причина этого различия состоит в том, что пучности волн 1-оготипа точно попадают на узлы кристаллической решетки, в то время какпучности волн 2-ого типа скользят между узлами решетки.
Величинакоэффициентов поглощения определяется соотношениемμ1 , 2 =Здесь μ 0 = K ⋅ χ 0′′ =2πλμ0cosθFGH⋅ 1 ±C⋅χ ′′Hχ0′′IJK(1.91)⋅ χ 0′′ - фотоэлектрический коэффициент поглощения;χ0′′, χ′′H - мнимая часть Фурье компонент поляризуемости. Два знака относятся кволнам 1-ого и 2-ого типа. Это различие в поглощении лежит в основе явленияаномального прохождения рентгеновских лучей, открытого Борманом в 1941году ("эффект Бормана") [1,4,5].44Если на идеальный кристалл, находящийся в точном брегговскомположении, падает плоская монохроматическая волна, как уже говорилосьвыше, внутри кристалла возбуждается волновое поле, являющеесясуперпозицией двух блоховских волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
