Часть 1 (1125035), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Введем в атомной решетке системукоординат X,Y,Z. В зависимости от типа атомной решетки это необязательнодолжна быть прямоугольная решетка. Запишем уравнение любой плоскости ввиде уравнения в отрезках отсекаемых этой плоскостью на осях координат x1, y1z1 .x y z+ + =1(1)x1 y1 z1Это уравнение можно переписать, если записать все координаты вотносительных единицах через вектора элементарной ячейки a,b,c .50x/a y/b z/c++=1(2)x1 / a y1 / b z1 / cвведем новые обозначения⎧a⎪h = ⋅ rx1⎪⎪b(3)⎨k = ⋅ ry1⎪⎪c⎪l= rz1⎩Здесь r целое число.
Тогда уравнение плоскости можно переписать в видеxyz⋅h + ⋅k + l = r(4)abcили заменяя абсолютные (x/a, y/b, z/c) координаты на относительные (x’, y’, z’)получимx ' h + y ' k + z 'l = r(5)Если r=0 плоскость проходит через начало координат, если r=1 это ближайшаяк началу координат плоскость. Набор индексов (h,k,l) полностью характеризуетположение плоскости в пространстве системы координат XYZ. Эти индексыполучили название в литературе индексовМиллера.Рассмотрим такой пример.
Пусть плоскостьотсекает на осях координат отрезки [[400]], [[010]],[[020]]. Возьмем обратные величины этих отрезков⎛1 1⎞⎜ ,1, ⎟ и умножим эти числе на 4, чтобы⎝4 2⎠получить наименьшие целые значения (142). Это ибудут индексы Миллера для этой системыплоскостей. Причем все плоскости параллельныеэтой плоскости и проходящие через узлыкристаллической решетки будут описываться этой тройкой индексов. Этиплоскости будут различаться только порядковым номером плоскости, которыйвходит в уравнение плоскости в виде параметра r.Обратная решетка.Введем новую решетку с элементарными векторами a∗ , b∗ , c∗ и назовемее обратной решеткой.
Обратная решетка является чисто математическимобразом. Любой узел обратной решетки будет описываться векторомтрансляции H = ha∗ + kb∗ + lc∗ . Здесь h,k,l – тоже целые числа. Введем условия,которым будут удовлетворять элементарные вектора новой решетки.⎧(a,a* ) = (b,b* ) = (c,c* ) = 1(6)⎨******⎩(a,b ) = (a,c ) = (b,a ) = (b,c ) = (c,a ) = (c,b ) = 0Например, равенство (a,b* ) = (c,b* ) = 0 говорит о том, что вектор b∗перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора a и c. Соответственноравенство (a,c* ) = (b,c* ) = 0 указывает на то, что вектор c∗ перпендикулярен к51плоскости, в которой лежат вектора, a и b. Ну а равенство (b,a* ) = (c,a* ) = 0свидетельствует о том, что вектор a∗ - перпендикулярен к плоскости, в которойлежат вектора b c.
Следовательно, можно записать⎧ a* = α1 [bc ]⎪ *(7)⎨b = α 2 [ca ]⎪c* = α [ab ]3⎩Здесь α1,α 2,α 3 неизвестные коэффициенты пропорциональности. Воспользуемсяпервым условием выражения (6). Подставим в него значения векторов обратнойрешетки a∗ ,b∗ ,c∗ из (7).( a,a ) = ( b,b ) = ( c,c ) = ( a, α [bc]) = ( b,α [ca]) = ( c,α [ab]) = 1***123Последние три равенства можно переписать такα1 ( a, [bc]) = α 2 ( b, [ca ]) = α 3 ( c, [ab ]) = 1(8)(9)Однако из векторной алгебры известно, что смешанное произведения трехвекторов a,b,cобразующих параллелепипед равно объему этогопараллелепипеда. Т.е.V = ( a [bc ]) = ( b [ca ]) = ( c [ab ]) .(10)Тогда α1 = α 2 = α 3 =1. Следовательно, выражение (7) можно переписать в видеV⎧ * 1⎪a = V [bc ]⎪⎪ * 1(11)⎨b = [ca ]V⎪⎪ * 1⎪c = V [ab ]⎩Основные свойства вектора обратной решетки.Введем в обратной решетке вектор H = ha* + kb* + lc* .
Этотвектор обладает чрезвычайно важным свойством – онвсегда перпендикулярен плоскости прямой решетки синдексами (hkl). Рассмотрим, например плоскость ABC(см. рис1) в прямой решетке с индексами (hkl). Если векторH перпендикулярен к этой плоскости (hkl), то скалярноепроизведение любого вектора лежащего в этой плоскостибудет равно нулю. Возьмем, для простоты рассмотрениявектор AB . Он будет определяться как разность двухb aдругих векторов AB = OB - OA = − . Если вектор Hk hперпендикулярен этой плоскости, скалярные произведения( H, AB ) , ( H, AC ) , ( H,CB ) должны быть равны нулю.52a⎞⎛ b a⎞ ⎛ *** b⎜ H, − ⎟ = ⎜ ha + kb + lc , − ⎟ = 1 − 1 = 0k h⎠⎝ k h⎠ ⎝(12)Аналогичное рассмотрение можно провести и для любой другой прямойлежащей в плоскости ABC.Другим важнейшим свойством вектора Hявляется то, что его модуль всегда равен обратной1величине межплоскостного расстояния H =дляd hklплоскостей с индексами (hkl).Атомную решетку любой симметрии можнопредставить как семейство параллельных плоскостей синдексами (hkl).
Причем расстояния между этими плоскостями и расстояние отначала координат должнs быть кратно межплоскостному расстоянию d hkl . Есливектор R = ma + nb + pc , текущий радиус-вектор точек одной из этих⎛H⎞плоскостей, то уравнение такой плоскости можно записать в виде ⎜⎜ R,⎟ = sd .H ⎟⎠⎝Здесь d межплоскостное расстояние для этой системы плоскостей, s – целоечисло (например, для плоскости проходящей через начало координат s=0), аHэто единичный вектор нормали к плоскости.векторHsd =111( R, H ) = (ma + nb + pc, ha* + kb* + lc* ) = ( mh + nk + pl )HHHВспоминая, что ( mh + nk + pl ) = s это уравнение плоскости, получим d =(13)1.HПРИЛОЖЕНИЕ 3Уравнения ЛауэЗапишем условия Лауэππ⎧⎫⋅ ⎡( s − s 0 ) , a ⎤⎦ = π h,⎪Ψ1 = λ ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , a ⎤⎦ = π h, ⎪λ ⎣⎪⎪ππ⎪⎪⋅ ⎡( s − s 0 ) , b ⎤⎦ = π k , ⇒⎨Ψ 2 = ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , b ⎤⎦ = π k , ⎬ ⇒λ ⎣λ⎪⎪ππ⎪⎪⋅ ⎡( s − s 0 ) , c ⎤⎦ = π l⎪Ψ 3 = λ ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , c ⎤⎦ = π l ⎪λ ⎣⎩⎭(1)Докажем вначале векторное тождество.
Пусть***⎡⎣( s − s 0 / λ ) , a ⎤⎦ = h,⎡⎣( s − s 0 / λ ) , b ⎤⎦ = k ,⎡⎣( s − s 0 / λ ) , c ⎤⎦ = la,b,c векторы атомнойрешетки, а a ,b ,c - векторы обратной решетки. Тогда для любого вектора rможно написать следующее тождествоa* ( r,a ) + b* r,b + c* ( r,c ) ≡ r(2)( )53Действительно, запишем вектор r в пространстве обратной решеткиr = ha* + kb* + lc* .
Умножая скалярно этот вектор последовательно наполучим(a,r ) = h , (b,r ) = k , (c,r ) = l , что и доказывает написанноеa,b,cтождество (2).Теперь вернемся к условиям Лауэ. Умножим соответственно векторныеравенства (1) на векторы a* ,b* ,c* и сложим их.⎡⎣( s − s 0 / λ ) , a ⎤⎦ = h,⎡⎣( s − s 0 / λ ) , b ⎤⎦ = k ,⎡⎣( s − s 0 / λ ) , c ⎤⎦ = la∗ ( s − s0 / λ , a ) + b∗ ( s − s0 / λ , b ) + c∗ ( s − s0 / λ , c ) = a∗h + b∗k + c∗l = HСравнивая с тождеством (2) можно записатьs -s0 / λ = H или K - K 0 = HПоследнее выражение есть не что иноекак уравнение Брегга в векторнойформе.Рассматривая приведенный рисуноклегко записать скалярную формууравнения Вульфа-Брегга.2d ⋅ sin θ = λПРИЛОЖЕНИЕ 4Законы погасания для примитивной,гранецентрированной и объемоцентрированной решеток12345678910111213N P = h2 + k 2 + l 21234568910111213N F = h2 + k 2 + l 23481112-N I = h2 + k 2 + l 224681012-54141516171819202122232425262728293031321416171819202122242526272930321619202427-14161820222426303232ПРИЛОЖЕНИЕ 5Вывод системы дисперсионных уравнений для многовонового случаяРассмотрим решение системы (1.70) в виде набора волн типаb gD r, t =∑Dbi ωt − K 0 + H , rm⋅eg =∑Dbi ωt − K m , rm⋅emmmmg = ei ωt ⋅ D ⋅ ei bK ,r g , (1.76)∑ mЕсли среда представляет собой кристаллическую решетку иследовательно распределение электронной плотности имеет трехмернуюпериодичность уравнение (1.70) можно преобразовать не решая его до конца иполучить очень важные законы поведения волнового поля в кристалле.Произведение χD можно записать, используя полученные вышесоотношения для χ и DχD =∑∑χHbi ωt − K m + H , rH⋅ Dm ⋅ eg(1.77)mВведя новый индекс суммирования n=m+H и заменив вектор K m + H = K n ,получимχD =b gЕсли обозначить χDn∑∑χ= ∑χmn−mbi ωt − K n , r⋅ Dm ⋅ eg(1.78)nn−m⋅ D m , предыдущая формула примет видmχD =∑ b χD gnbi ωt − K n , r⋅eg.(1.79)nНапомним некоторые соотношения векторной алгебры.
Если векторb gследующие векторные соотношения-заготовки:b g , можно легко получитьi ωt − K , rU(r,t) имеет вид плоской волны U r, t = A ⋅ e55b g c b gh b gb grot crotU br, t gh = K ⋅ U br, t g − K ⋅ cK , U br, t gh = K ⋅ U br, t g ,(1.80)U br, t g- компонента вектора U(r,t), перпендикулярная вектору K.divU r, t = −i K , U r, t ; rotU r, t = −i KU r, t ;22KгдеKПодставляя полученные выражения для χD и D, а также только чтоприведенные теоремы из векторной алгебры в уравнение (1.70), получим− Kn ⋅ ∑ Dn ⋅ ebi ωt − K n , r2FG IJH cKg + ωn= − Kn22⋅ ∑ Dn ⋅ eni K ,r⋅ ∑ χH ⋅ e b g ⋅ ∑ Dn ⋅ e b gi H ,rHbi ωt − K n , rg =(1.81)nnПосле несложных преобразований, исключая временную зависимость,уравнение будет иметь вид2K n − k2i K ,r−i K , r(1.82)⋅ ∑ D n ⋅ e b n g = ∑ ∑ χ m − n ⋅ D n ⋅e b n g2Knnm nУсловием для выполнения этого равенства является тождественное равенствокоэффициентов при соответствующих экспонентах, т.е.2K n − k2(1.83)⋅ D n = ∑ χ n−m ⋅ D m n2KnmЭто и есть система дисперсионных уравнений связывающая волновые вектора иих амплитуды.b g561.5.
ЛИТЕРАТУРА1 . Дж.Каули, Физика дифракции, Москва, Мир, 1976, с.4322. А.А.Харкевич, Спектры и анализ, Москва, ГИ Физ.Мат.Лит.1962, с.2343. Г.Пейн Физика колебаний и волн, Москва, Мир, 1979, с.3904. Azaroff L.V. X-ray Diffraction, 1974, McGraw-Hill Book Company, New York,p.6655. Р.Джеймс, Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей, Москва, ИЛ, 1950,с.5726.
В.И.Иверонова, Г.П.Ревкевич, Теория рассеяния ренгеновских лучей, Москва, МГУ,1978, с.2787. Г.С.Жданов, Основы рентгеноструктурного анализа, Москва, Гостехиздат, 1940, с.4468. А.М.Гинье, Рентгенография кристаллов, Москва, Физматгиз, 1961, с.6049. Б.Я.Пинес Лекции по структурному анализу, Харьков, ХГУ, 1957, с.47610.
У.Вустер, Диффузное рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах, Москва, ИЛ,1963, с.1 1 . Я.С.Уманский, Рентгенография металлов, Москва, Металлургия, 1967,с.23612. А.Ф.Скрышевский, Структурный анализ жидкостей, Москва, Мир, 1976,с.25613. М.А.Кривоглаз Дифракция рентгеновских лучей и нейтронов в неидеальныхкристаллах, Киев, Наукова думка, 1983, с.25114. З.Г.Пинскер, Рентгеновская кристаллооптика, Москва, Наука, 1982, с.39015. Batterman B.W., Cole H. Dynamical Diffraction of X-ray by Perfect Crystals,Rev.Mod.Phys., 1964, 36, 3, 681-71716.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
