Часть 1 (1125035), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . r j , . . . rN . Пусть также f1 , f 2 , ... f j , ... f N множителирассеяния, соответствующие различным сортам N атомов, s0 , s единичныевектора, определяющие направления падающего и дифрагированного пучков.Тогда, как и в случае идеальных кристаллов, можно записать суммарнуюамплитуду рассеянного излучения в точке наблюдения M (см.рис.1.2) в видеNE = E0 ⋅ ∑ f j ⋅ ej =1ik ( s− s0 ,r j )(1.22)20Полученное выражение можно переписать, воспользовавшись понятиемобратного пространства и заменив k s − s0 = H , где H-вектор обратногопространства, тогда рассеянная амплитуда примет видbgNE = E0 ⋅ ∑ f j ⋅ ei ( H ,r j )(1.23)j =1Суммирование производится по всем атомам рассеивающего объема. Чтобыполучить выражение для интенсивности, необходимо умножить рассеяннуюамплитуду на комплексно сопряженную.
Для того, чтобы учесть все членысуммы, следует умножать слагаемые с отличными индексами, т.е.b gI H = E ⋅ E∗ =NN∑∑ fdi H , rjjf j′ ⋅ ei ⋅ e−i dH , r i = E 2 ⋅ N N f f ⋅ ei dH , r − r i =∑ ∑ j j′0j′jj′j =1 j ′ =1j =1 j ′ =1NN= E0 ⋅ ∑ ∑ f j f j ′ ⋅ e2di H , r jj ′i,(1.24)j =1 j ′ =1здесь r jj′ = r j − r j′ . В некоторых случаях может быть полезным другоевыражение для интенсивности, которое может быть получено, если выделить вотдельный член все слагаемые с одинаковыми индексами, т.е.b gI H = E0 ⋅2LM fN∑2j+j = j′∑∑ fdi H , r jj ′jf j′ ⋅ ej ≠ j′iOPQ(1.25)Таким образом чтобы вычислить рассеянную интенсивность, необходимо знатькоординаты всех рассеивающих частиц в любой момент времени. Этаинформация для таких сложных систем как газы, жидкости или аморфныематериалы получена быть не может, так как рассеивающие атомы в этихсистемах находятся в непрерывном движении.
Поэтому имеется единственнаявозможность, используя функции распределения атомов в пространствеопределить лишь среднюю величину интенсивности. Усреднять придетсяфазовый множитель, стоящий под знаком суммы. Если известно распределениевероятности W ( r jj′ ) значений вектора r jj′ , среднее значение величиныэкспоненты в (1.25) будет определяться выражениемdi H , r jj ′ezc hi = ei dH ,r i ⋅ W r drjj′jj′jj ′(1.26)VИнтегрирование необходимо проводить по всему объему, где размещаютсярассеивающие частицы.1.3.2. АТОМНЫЙ ФАКТОР РАССЕЯНИЯРассеяние рентгеновских лучей на электронах в атомах.
Атомныйфактор рассеяния или амплитуда атомного рассеяния это - функция, зависящаяот угла рассеяния и определяемая отношением суммарной амплитуды,21рассеянной всеми электронами одного атома, к амплитуде волны, рассеяннойодним электроном, т.е.bgE = Ee ⋅ f θ(1.32)Так как размеры атома соизмеримы с длиной волны рентгеновского излучения,между волнами, рассеянными на отдельных электронах атома, возникаетразность фаз, которую необходимо учитывать при подсчете суммарнойамплитуды.
Электроны в атомах связаны и имеют собственные частотыколебаний. Поэтому для упрощения будем предполагать, что частота падающейволны существенно больше частот собственных колебаний, другими словами,энергия связи электронов в атоме мала. Из квантовой механики известно, чтоэлектроны в атомах движутся по определенным орбитам, и, следовательно,излучать вторичные волны будут движущиеся электроны. Для упрощениярасчетов будем считать, что период обращения электронов по своим орбитамсущественно больше периода колебаний падающей волны, и эффектом Доплерав данном случае можно пренебречь.Рассмотрим рассеяние на электронах одного атома.
Выберем началополярной системы координат в центре атома, как показано на рис.1.5, и будемсчитать, что электроны распределены непрерывно с плотностью ρ(r) внутрисферы, ограничивающей атом.Рис.1.5.Схема полярной системы координат длярасчетаамплитудыволны,рассеяннойэлектронами атома.Пусть единичные векторы s0 и s определяют направления падающей ирассеянной волн. Тогда разность фаз для волн, рассеянных на электронах,расположенных в точках r и в начале координат, будет Δϕ = k s − s0 , r .bgВыделим элемент объема dv = rdϕ ⋅ rsinα ⋅ dα ⋅ dr на расстоянии r от началакоординат.
Амплитуда волны, рассеянная этим элементом объема, будетопределяться соотношениемbgbgik s− s , rik S, rdE = E e ⋅ ρ r dv ⋅ e b 0 g = E e ⋅ ρ r dv ⋅ e b g(1.33)Обозначим через 2θ угол рассеяния, тогда модуль разности векторов ввыражениидляфазыможнозаписатьввидеsinθk s − s0 = 2k ⋅ sinθ = 4π ⋅= S , а дополнительная разность фаз примет видλ22Δϕ = k ⋅ 2sin θ ⋅ r cosα = S ⋅ r ⋅ cosα .
Суммарная рассеянная амплитуда можетбыть получена в результате интегрирования амплитуды, рассеяннойэлементарным объемом по всему объему атома, т.е.z bgz z bg zE = E e ⋅ ρ r ⋅ eiSrcosα dv = E e ⋅ dϕ ρ r dr eiSrcosα sinα ⋅ dα2ϕv(1.34)αrИнтегрируя полученное выражение по α и ϕ, получимz∞E = E e ⋅ 4 π r 2 ρ( r ) ⋅0sin( Sr )⋅ drSr(1.35)Величина написанного интеграла носит название атомного фактора рассеяния[1-9]. При S=0 множитель под интегралом становится равен единице,sin( Sr )= 1 , а атомный фактор рассеяния при этом будет равен числуSrsinθэлектронов Z в атоме. С ростом S = 4 π ⋅функция f(sinθ/λ) монотонноλубывает, как показано на рис.1.6.Можно показать, что наибольший вклад в амплитуду рассеяния вносятэлектроны глубоких уровней электронной оболочки атома.
Анализ показывает,что с ростом расстояния электронов от ядра их роль в рассеянии сильноубывает. Валентные электроны дают заметный вклад в амплитуду рассеяниятолько при очень малых углах рассеяния. Интенсивность, рассеянная атомом,имеющем точечный размер вообще не должна зависеть от угла рассеяния ибудет равна числу электронов в атоме. Если атом имеет конечные размеры, аэлектроны распределены в его объеме по определенному закону, рассеяннаяинтенсивность будет убывать с ростом величины sinθ/λ, причем, чем большедиаметр атома, тем круче будет спадать интенсивность.Рис.1.6.Вид зависимости атомной функциирассеяния от sinθ/λ для нейтральных атомов Znи Al.
(ZZn=30; ZAl=13).Оценки, сделанные выше, выполнены при условии, что электроны ватоме практически свободны и уравнение движениея электрона можно записатьв виде mr = eE . Реальная ситуация сложнее - электроны в атомах движутся посвоим орбитам и имеют собственные частоты колебаний и, следовательнонеобходимо рассматривать задачу движения связанного электрона под23действием внешней периодической возмущающей силы ридвижении электронаr + ω0 2r = eE .
И это еще не все. Необходимо также учесть затухание прит.е. mдвижении электронов. Тогда полное уравнение движения будет иметь видmr + kr + ω0 2r = eE . В этом случае амплитуда волны, рассеянной на связанномэлектроне, может быть записана в видеE = Ee ⋅ω2,ω 2 − ω0 2 − ikω(1.36)здесь E e - амплитуда рассеяния для свободного электрона, ω0 - собственнаячастота связанного электрона, k - коэффициент затухания, определяемый силойсвязи электрона в атоме. Если в атоме содержится n связанных электронов,необходимо просуммировать амплитуды рассеяния для всех n электронов.E = Ee ⋅ ∑nω2ω 2 − ω0 n 2 − ikωИз написанного соотношения видно, что, во-первых, амплитуда рассеянияпредставляется комплексным числом и, следовательно, появляетсядополнительное поглощение вблизи собственных резонансных частот, а, вовторых, - амплитуда сильно зависит от частоты падающей волны, т.е.
имеетсядисперсия. Корректный учет этих поправок проведен в работах Лоренца.Если длина волны падающего излучения достаточно далека от краяполосы поглощения, атомный фактор попросту равен f0 . Однако приприближении длины волны падающего излучения к краю полосы поглощенияатомный фактор становится комплексной величиной и его следует записать ввиде f = f 0 + Δf ′ + iΔf ′′ , где f0 является атомной функцией рассеяния,полученной в предположении свободных электронов атома, а Δf' и Δf" дисперсионные поправки, первая из которых учитывает дополнительноерассеяние, а вторая - дополнительное поглощение вблизи собственных частотколебаний электронов в атоме. Дисперсионные поправки зависят от длиныволны и практически не зависят от sinθ/λ.
А так как f0 уменьшается с ростомугла рассеяния, дисперсионные поправки начинают играть возрастающую рольпри больших углах рассеяния.Функции атомного рассеяния для случая свободных электронов в атоме взависимости от величины sinθ/λ и соответствующие дисперсионные поправки взависимости от длины волны для всех элементов таблицы Менделееваприводятся обычно в виде таблиц [25-27]. Наиболее точные значения этихвеличин даны в интернациональных таблицах [27].Амплитуда атомного рассеяния электронов.
В дифракционныхэкспериментах наряду с рентгеновским излучением используются электроны сэнергией от десятков до сотен кэв (электроны с энергией 50кэв имеют длинуволны 0.037Å). Путем несложных выкладок можно показать, что амплитудаатомного рассеяния для электронов связана с амплитудой атомного рассеяниярентгеновских лучей следующим выражениемbgf e sinθ / λ =bZ − f x sinθ / λbπ sinθ / λg2g(1.37)24Анализ написанного выражения показывает, что при болших углах рассеяния,гдеfx мало, feZ и уменьшается обратно пропорционально→e sinθ / λ j . В2электронографии и электронной микроскопии обычно используется величина,кратная амплитуде атомного рассеяния и входящая в первое Борновскоеприближение теории рассеяния электронов, а именноbgf fb sinθ / λ =2πme⋅ f e sinθ / λh2bg(1.38)Именно эта величина приводится обычно в справочниках [37-39].
Амплитудаэлектронного рассеяния, как видно из приведенных выше формул, на два-трипорядка выше амплитуды рассеяния рентгеновских лучей и более слабо зависитот атомного номера Z. На рис.1.7 для примера показаны амплитуды рассеяниярентгеновских лучей и электронов для случая атома водорода.25.020.015.010.0Рис.1.7.Видфункцийатомного рассеяния атомаводорода для рентгеновскихлучейиэлектронов,рассчитанныйвпервомБорновском приближении.5.00.00.00.20.40.60.81.0Оценкиамплитудатомного рассеяния электронов, сделанные выше, приводят к важнымособенностям в применении рассеяния электронов по сравнению срентгеновскими лучами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
