Часть 1 (1125035), страница 3
Текст из файла (страница 3)
пренебрегаемэффектами поглощения и многократного рассеяния. Наконец, рассматриваетсятолько дифракция Фраунгофера: на кристалл падает плоская волна, а точканаблюдения практически бесконечно удалена от кристалла. Каждый узелрешетки, попадая в поле падающей волны, становится источником вторичнойсферической волны. Задача таким образом сводится к поиску результирующейволны в любой точке пространства, находящейся на расстоянии, много большемразмеров кристалла [1-9].F IGH JK11Рассеяние рентгеновских лучей свободными электронами.d2xm ⋅ 2 = eEmx = eΕx = eE / m(1.27)E = E0 ⋅ exp ( iω t )dtx⋅Ee = H e = e⋅ sin ϕc R(1.28)2I (ϕ ) = E ⋅ E = I 0∗FG e IJH mc K22⋅2sin2ϕR2(1.29)I0 - интенсивность первичного пучка; R расстояние до точки наблюдения; e 2 / mc 2 -классический радиус электрона; ( e 2 / mc 2 ) - сечение рассеяния электрона2(множитель Томпсона).
В первом случае ϕ=90 I ⊥ = I 00F e IJ⋅GH mc K2221,R2⋅2⎛ e2 ⎞I ⊥ = I 0 ⋅ ⎜ 2 ⎟ во втором - учитывая, что ϕ = π − 2 θ ,⎜ mc ⎟2⎝⎠I= I0F e IJ⋅GH mc K222⋅cos2 2θ. Записывая среднее значение интесивности получаемR2I =I+I⊥2= I0F e IJ⋅GH mc K⎛ e2 ⎞Ie = I0 ⋅ ⎜ 2 ⎟⎝ mc ⎠2222⋅1 1 + cos2 2θ⋅2R2⎛ 1 + cos 2 2θ ⎞⋅⎜⎟2⎝⎠(1.30)1 + cos2 2 θполучил название поляризационного множителя.Множитель2Полное рассеяние излучения на одном электроне составляетFe IP = I ⋅GH mc JK2022F IGH JKze21 + cos2 2 θ⋅⋅ ds = I0 ⋅2mc2S2⋅8π3(1.31)2⎛ e2 ⎞Численное значение сечения рассеяния электрона составляет ⎜ 2 ⎟ ≈ 10−24 см 2 .⎝ mc ⎠Следовательно, один электрон рассеивает ничтожную долю падающегоизлучения. Однако, как показывает следующий пример, число электронов,принимающих участие в рассеянии, достаточно велико. Если принять, чторадиус атома составляет ≈ 1 .
5 ⋅ 10 −8 ñì , объем одного атома будет равен−834 3 4 ⋅ 3,14 ⋅1,5 ⋅ (10 )= 14,13 ⋅10−24 ñì 3 ,Va = π r =333облучаемыйобъемоколо10−3≈ 7 ⋅1019 , а−24Va 14,13 ⋅10число электронов в Z раз больше. Тогда доля рассеянной энергии в такомпримере составит ≈ 4 ⋅ 10 −5 ⋅ Z , т.е. 10 −5 ÷ 10 −3 от полной энергии падающего≈ 10 −3 ñì 3 , число атомов в таком объеме будет n =Vexp=12пучка. Ясно, что не все излучение рассеивается по упругому механизму.Некоторая его часть рассеивается за счет неупругих процессов с изменениемдлины волны излучения, поэтому эта доля не будет принимать участия винтерференции и пока рассматриваться не будет. Для протонов m p = 1840 ⋅ me ,поэтому доля рассеянной энергии будет существенно меньше.⎛ e 2 ⎞ E0⎛ e2 ⎞e2E0−12aEfEe =⋅θ=⋅⋅()⎜ 2⎟⎜ 2 ⎟ ≈ 102Rmc⎝ mc ⎠ R⎝ mc ⎠F IGH JKРассмотрим рассеяние излучения на правильной решетке.
Пусть накристаллсэлементарнойячейкой,определяемой трансляционными векторамиa, b, c и содержащей N3 одинаковых атомов(кристалл имеет форму параллелепипеда сребрами, параллельными векторам a, b, c , исодержат по N атомов вдоль каждого ребра),падает плоская волна с волновым вектором2πk (k =) в направлении, определяемомλединичным вектором s0E = E0 ⋅ e bi ωt −ϕg(1.3)Рис.1.2.Схема,иллюстрирующаяпроцессрассеяния на кристаллической решетке. A0, Aj узлы решетки; s0, s - единичные вектора,определяющие направление падающей волны; R,Rj - расстояния от точки наблюдения M досоответствующих узлов; rj - вектор решетки,соединяющий нулевой узел решетки с узлом j.Выберем начало координат в одном из узлов решетки, например A0. Легкопоказать, что плоская волна, распространяющаяся в кристалле, в узле Aj,находящемся на расстоянии r j от начала координат, будет иметь фазуϕ j = k ( s 0 , r j ) и, следовательно, возмущение, создаваемое этой волной в точке Aj,можно записать в виде()i ⎡ωt − k s0 ,r j ⎤⎦E = E0 ⋅ e ⎣,(1.4)здесь и далее k = k .
Вектор rj можно выразить через параметры элементарнойячейкиr j = am + bn + cp ,(1.5)где m,n,p - целые числа. Если точка наблюдения M (см.рис.1.2) находится надостаточно большом расстоянии R от начала координат, так что R>>rj (R многобольше размеров кристалла), в направлении, определяемом единичнымвектором s, вторичная сферическая волна, излучаемая атомом, находящимся вузле Aj, будет в точке M иметь дополнительную фазу ϕ M = kR j и следовательноамплитуда волны в точке M может быть записана как13Ej =E 0 i ωt − k d s0 , r j i − kR j⋅eRj(1.6)Здесь Rj - расстояние от точки наблюдения до узла Aj. Полагая в знаменателеамплитуды R j ≈ R , следует в то же время более точно учесть фазовый членkR j в экспоненте. С точностью до величин второго порядка малости, можноc hзаписать R j = R − s, r j .
Учитывая сказанное, выражение для вторичнойсферической волны, примет видi ωt − k d s0 ,r j i − d kR j i + k d s, r j iEEik d s− s0 , r j ii ωt − kR gEj = 0 ⋅e= 0 ⋅eb⋅eRjR(1.7)Чтобы вычислить результирующую волну возмущения в точке M,образующуюся в результате рассеяния первичной плоской волны всемиатомами кристалла, необходимо просуммировать выражение для Ej по всемузлам кристаллической решетки, т.е.Eik d s− s0 , r j ii ωt − kR g(1.8)E = 0 ⋅eb⋅ ∑eRjr j = am + bn + cpПодставляя значение вектораbgмножитель E t =и обозначая временнойE 0 i bωt − kR g⋅e, стоящий в начале формулы, получимRNNNE = E(t ) ⋅ ∑∑∑ eik ⎡⎣( s − s0 ),( am + bn + cp ) ⎤⎦m =0 n =0 p =03Nгде L ( s − s 0 ) = ∏ ∑ e= E(t ) ⋅ L(s − s 0 ) ,ikm[ ( s − s0 ),a ](1.9)(1.10)a ,b , c m = 0Функция L ( s − s0 ) впервые была введена в теорию рассеяния М.Лауэ.Выражения, стоящие под знаком суммы в выражении(1.10),представляют собой геометрические прогрессии, первый член которых равен 1,bg .
Введем следующие обозначения− ik s− s0 , aа знаменатель имеет вид q = ek⋅ ⎡( s − s 0 ) , a ⎤⎦2 ⎣kΨ b = ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , b ⎤⎦2kΨ c = ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , c ⎤⎦2Тогда для первой суммы можно записатьN1 − exp 2iN Ψaikm b s− s0 g, ae=∑1 − exp 2i Ψam= 0Ψa =bb g(1.11)g(1.12)и аналогично для других сомножителей. Суммарную интенсивностьрассеянного излучения в точке М легко получить, умножив выражение дляамплитуды (1.9) на комплексно сопряженное, и затем используя формулыЭйлера, после несложные тригонометрические преобразования получимокончательное выражение для интенсивности (см.
приложении 1)14⎛ E ⎞ 3 sin ( NΨ a ) ⎛ E ⎞ 2= ⎜ ⎟ ⋅ L (ψ a ,ψ b ,ψ c )(1.13)I = ⎜ ⎟ ⋅∏2⎝ R ⎠ a,b,c sin ( Ψ a ) ⎝ R ⎠Выражениестоящееподзнакомпроизведенияноситназваниеинтерференционной функции Лауэ. Анализ этой функции показывает, что онаимеет максимумы в точках Ψ a = π h, Ψ b = π k , Ψ c = π l , где h,k,l - целые числа.Эти максимумы носят название главных максимумов и имеют значения222F EI= G J ⋅e N j .H RK2Imax32Нарядусглавнымимаксимумами,вточках35,h ±, и т.д.
располагаются побочные максимумы, имеющие2N2Nсущественно меньшую амплитуду. Полуширина главных максимумов темменьше, чем больше число атомов N в кристалле. На рис.1.3 приведен видфункции Лауэ, вычисленный для нескольких значений N. Запишем еще разкоординаты главных максимумовπ⎧⎪ Ψ1 = λ ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , a ⎤⎦ = π h⎪π⎪(1.14)⎨Ψ 2 = ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , b ⎤⎦ = π kλ⎪π⎪⎪Ψ 2 = λ ⋅ ⎡⎣( s − s 0 ) , b ⎤⎦ = π k⎩Ψ1 = h ±I(x)10N=350048x121620I(x)40Рис.1.3.Видинтерференционнойфункции Лауэ, вычисленный для N=5;10; 15; 20; 30; 50.N=5200048x12I(x)1001620N=10500048x1240001620N=5020000048x121620Совершенно понятно, что это - условия дифракции на трехмерной решетке,которыеносятназваниеуравненийЛауэ.Графикодномернойинтерференционной функции Лауэ (один из сомножителей в тройномпроизведении (1.13.) представлен на рис 1.3.Из анализа функции понятно, что с увеличением числа рассеивающихцентров растут амплитуды главных дифракционных пиков и уменьшается ихширина, т.е.добротность резонансной системы растет.
С другой стороны15амплитуды попбочны максимумов уменьшается, а их число растет. Такимобразом для кристаллической решетки в единице объема которой имеетсяNA=6,0247 1023 моль-1 атомов ширина пиков будет очень маленькая, аF EI= G J ⋅e N j .H RK2амплитуда будет равна Imax321.2.2. ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯИНТЕРПРЕТАЦИЯ УСЛОВИЙ ДИФРАКЦИИВ дифракционных задачах физики твердого тела, оптики, структурногоанализа, электронной микроскопии и др. чрезвычайно полезным являетсявведение понятия обратной решетки и обратного пространства, сопряженных спрямой решеткой и прямым пространством.
Если прямая решетка определяетсявекторами элементарной ячейки a, b, c , и любой узел решетки может бытьзадан при помощи вектора трансляции T = ma + nb + pc , то вектораэлементарной ячейки обратной решетки определяются соотношениями111a∗ =bc , b∗ =ca , c∗ =ab ,(1.15)VVVгде V - объем элементарной ячейки V = a bc = b cd = c ab , причемc h c h c hcaa h = cbb h = ccc h = 1,cab h = cac h = cba h = cbc h = cca h = ccb h = 0 ,∗∗∗∗∗∗∗∗∗(1.16)а любой узел этой решетки задается вектором H = ha * + kb* + l c* , называемымвектором обратной решетки. Из определения следуют два важных свойстваобратной решетки: во-первых вектор обратной решетки H перпендикуляренплоскостям прямой решетки с индексами hkl; во-вторых абсолютная величинавектора H равна обратной величине межплоскостного расстояния d дляплоскостей с индексами hkl.
Учитывая сказанное выше, условия дифракции(1.14) можно записать в очень простой и компактной форме (Более подробнуюинформацию по свойствам обратной решетки можно прочитать в приложении2)s − s0(1.17)= H hkl , или K − K 0 = H hkl ,λпредставляющей закон Вульфа-Брегга, т.е.2 ⋅ sinθ = H hkl ⋅ λ, или 2 ⋅ d hkl ⋅ sinθ = λ(1.18)Введенное выше определение обратной решетки (1.15-1.16) позволяетиспользовать очень наглядное геометрическое представление условийдифракции, предложенное Эвальдом [4-9]. От нулевого узла обратной решеткиO в направлении, обратном S, отложим отрезок, равный 1/λ, и из полученнойточки P опишем сферу радиусом R=1/λ (см.рис.1.4). Если какой-либо узелобратной решетки, например Q с координатами h,k,l, попадает на эту сферу,называемую сферой отражения (сферой распространения или сферой Эвальда),то, как видно из рисунка1.4, для треугольника POQ удовлетворяется векторноеуравнениеss(1.19)= H hkl + 0 , или K = H hkl + K 0λλ16Рис.1.4.Схема геометрии Лауэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
