В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Равномерно сходящиеся степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать без изменения радиуса сходимости. Если ряд из производных равномерно сходится, а ряд сходитсяхотя бы в одной точке, то эта сходимость равномерна, ряд сходится к дифференцируемой функции, и производная суммы равна сумме производных.Из замечания уже должно быть понятно, что на границе круга сходимости может быть всё, что угодно.Теорема 4.3. Сумма степенного рядаf (z) =∞Xn=0cn (z − a)n(4)голоморфна в круге его сходимости. Пусть радиус сходимости R > 0, иначе нечего доказывать.
Напишем ряд производныхϕ(z) =∞Xn=1ncn (z − a)n−1(5)В силу формулы Коши – Адамара радиус сходимости этого ряда тоже равен R. На компактных подмножествах круга сходимости ряд (4) сходится равномерно, следовательно, функция ϕ непрерывна в нём и ряд можноинтегрировать по границе любого треугольника △, лежащего в круге:Z∂△ϕ dz =∞Xncnn=1Z(z − a)n−1 dx = 0(6)∂△(по Теореме Коши все интегралы в правой части равны нулю). Значит, у ϕ есть первообразнаяZ[a,z]ϕ(ζ) dζ =∞Xncnn=1Z[a,z](ζ − a)n−1 dζ =∞Xn=1cn (z − a)n =Следовательно f ′ (z) = ϕ(z).
17∞Xn=0cn (z − a)n − c0 = f (z) − c0(7)4.2. Голоморфные функции и их свойства4.2.1. Эквивалентные определения голоморфности. Теорема МорерыТеорема 4.4. Пусть f (z) непрерывна в области D. Следующие 4 условия эквивалентны:1. Для ∀ z ∈ D существует производная f ′ (z).H2. f (z) dz = 0 для любой замкнутой кривой γ, содержащейся вместе с внутренностью в D.γ3.
Для каждого простого замкнутого контура γ, содержащегося вместе с внутренностью в D и для ∀ z ∈∈ Int γ имеет место формула Коши (2.33).4. Для ∀ a ∈ D найдётся r > 0 такое, что в круге ∆(a, r) функция f (z) разлагается в рядf (z) =∞Xn=0cn (z − a)n .(8) 1 ⇒ 2 — по теореме Коши, 2 ⇒ 3 — по формуле Коши, 3 ⇒ 4 — по теореме о разложении в ряд.4 ⇒ 1: по соответствующей теореме ряд можно дифференцировать почленно, и радиус сходимости не изменится. Из матана известно, что у такого ряда существуют обе частные производные по x и по y. Вот они:∞Xn−1∂f=ncn (x + iy) − a,∂x n=1∞Xn−1∂f=incn (x + iy) − a.∂yn=1∂Мы видим, что они отличаются только множителем i.
Теперь вспомним, что ∂z= 12случае∂f1 ∂f∂f1 X 2 X 1 X X=+i=+i=−= 0,∂z2 ∂x∂y22(9)∂∂x∂+ i ∂y. Но в нашем(10)а это и означает голоморфность функции f . Замечание. Импликация 2 ⇒ 1 называется теоремой Мореры. Доказательство не требуется, так как попредыдущей теореме можно получить эту импликацию обходным путём: 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 1.4.2.2.
Множество голоморфных функций и его свойстваМножество функций, голоморфных на множестве D, будем обозначать O(D). Легко видеть, что это векторноепространство над полем C, а также коммутативное кольцо. Стало быть, это коммутативная алгебра.Определение. Сходимость в O(D) — это равномерная сходимость на компактных подмножествах.Задача 4.1. Задать топологию в O(D), соответствующую этой сходимости.Утверждение 4.5. Если f ∈ O(D), то f ∈ C∞ (D).
По доказанной выше теореме голоморфная функция представляется степенным рядом, производнаякоторого имеет тот же радиус сходимости. Значит, можно применить теорему к производному ряду, и сноваполучим тот же радиус, а значит, f ′ ∈ O(D), f ′′ ∈ O(D), и так далее. Утверждение 4.6. Если f голоморфна в окрестности точки z0 , то коэффициенты разложения в ряд по1 (n)степеням (z − z0 ) определяются по формулам cn = n!f (z0 ).∞P Имеем f (z) =cn (z − z0 )n . Дифференцируя ряд и подставляя z = z0 , получаем c1 = f ′ (z0 ), потомn=0дифференцируем еще раз, получаем c2 = 21 f ′′ (z0 ), и так далее. Замечание. Если в разложении голоморфной функции f в ряд все коэффициенты равны0, то f ≡ 0. Какмы знаем, для R-дифференцируемых функций это неверно: функция ϕ(x) := exp − x12 бесконечно дифференцируема, но при попытке разложения в ряд Тейлора в нуле получаются нулевые коэффициенты. И это неудивительно: у функции ϕ(z) = exp z12 нуль является существенно особой точкой.DDТеорема 4.7 (Вейерштрасса).
Если fn ∈ O(D) и fn ⇒ f , то f ∈ O(D), fn′ ⇒ f ′ иZZfn (z) dz → f (z) dzγγдля любого кусочно-гладкого контура γ ⊂ D.18(11) Так как γ — компакт,то сходимость интегралов следует из равномерной сходимости функцийRR на γ. Нотак как fn ∈ O(D), то fn dz = 0. Мы уже доказали, что интегралы сходятся равномерно. Значит, и f dz = 0.∆∆Непрерывность f очевидна. Значит, можно применить теорему Мореры, и таким образом f ∈ O(D).Теперь покажем, что fn′ ⇒ f ′ . Рассмотрим произвольный простой кусочно-гладкий контур внутри D и длянего запишем формулу Коши:Z1fn (ζ)dζ.(12)fn (z) =2πiζ −zγПо определению равномерной сходимости, нам нужно показать, что fn′ ⇒ f ′ на любом компактном подмножестве.
Рассмотрим какой-нибудь компакт K, не пересекающийся с γ (если он пересекается, возьмём другуюкривую γ). Возьмём точку z ∈ K. Поскольку кривая γ компактна, то расстояние от z до γ не равно нулю. Винтегральной формуле в знаменателе находится разность ζ − z, где ζ ∈ γ, но так как кривая не подходит очень1близко к компакту, то дробь ζ−zограничена, а значит, зависимость интеграла от параметра z равномерна.Поэтому интеграл можно продифференцировать по параметру z и переходить к пределу.
Имеем:ZZпо z 11fn (ζ)f (ζ)fn′ (z) =dζ⇒dζ = f ′ (z).(13)2πi(ζ − z)22πi (ζ − z)2γγТеорема Вейерштрасса показывает, что множество O(D) замкнуто относительно этой сходимости.4.2.3. Теорема единственности и её следствияТеорема 4.8 (единственности). Пусть f ∈ O(D), an ∈ D, an → a ∈ D и f (an ) = 0. Тогда f (z) ≡ 0.∞P Разложим f (z) в ряд в окрестности точки a: f (z) =cn (z − a)n . Пусть не все коэффициенты равныn=0нулю. Тогда найдётся номер k такой, чтоf (z) = ck (z − a)k (1 + eck+1 (z − a) + . . .).|{z}(14)ϕ(z)Ряд для ϕ(z) = eck+1 (z − a) + eck+2 (z − a)2 + .
. . сходится в таком же круге, как и исходный по формуле Коши –Адамара. Имеем ϕ(a) = 0, значит, (1 + ϕ(a)) = 1. В силу непрерывности (1 + ϕ(z)) 6= 0 в малой окрестноститочки a. Кроме того, множитель (z−a)k 6= 0 при z 6= a. Значит, нашлась такая (проколотая) окрестность точки a,в которой f (z) 6= 0. Это противоречит тому, что f (z) = 0 в точках an , находящихся в любой окрестности точки a.Таким образом, доказано, что если есть нули по некоторой последовательности, то будет тождественный нульв некоторой окрестности.
Докажем, что в любой точке b области D функцияравна нулю.D линейно Областьсвязна, поэтому точки a и b можно соединить кривой z(t). Пусть K := t ∈ [0, 1] : f z(t) = 0 . Оно, очевидно,не пусто (0 ∈ K), открыто (по доказанному) и замкнуто (по непрерывности f ), а значит, совпадает со всемотрезком [0, 1]. Таким образом, f (b) = f z(1) = 0. Следствие 4.1. Если f ∈ O(D) и f (z) ≡ 0 в некоторой окрестности, то f (z) ≡ 0 в D.Следствие 4.2. Если f ∈ O(D) и f (z) 6≡ 0, то все нули функции f изолированные.Следствие 4.3. Если функции f, g ∈ O(D) совпадают на последовательности точек an → a ∈ D, то f ≡ g. Рассмотрим разность ϕ = f − g и применим к ней теорему единственности. Теорема 4.9 (принцип максимума).
Пусть f (z) ∈ O(D) и a ∈ D. Если |f (z)| 6 |f (a)| при z ∈ U (a), тоf ≡ const.Если f (a) = 0, то f (z) ≡ 0 по теореме единственности. Пусть f (a) 6= 0.Разложим f (z) в ряд в окрестности точки a. Пусть f 6= const иf (z) = A + B(z − a)k 1 + (z − a)ϕ(z) ,(15)f (a)где B — первый ненулевой коэффициент при положительной степени (z − a).
Заметим,что A = f (a) 6= 0. Если z лежит достаточно близко к a, то выражение в скобках оченьблизко к 1, то есть его аргумент близок к нулю. Значит, при умножении B(z − a)kна скобку аргумент этого числа изменится совсем чуть-чуть. Теперь подберём число zтак, чтобы вектор B(z − a)k смотрел в ту же сторону, что и A. Пусть (z − a) = reiϕ .BУгол ϕ надо взять так, чтобы arg B + kϕ = arg A, то есть ϕ = arg A−arg.k190|f (a)|Рис. 7Из рисунка видно, что можно за счёт выбора числа r сделать круг, в котором бегает f (z), достаточномаленьким.
Значит, |f (z)| будет больше, чем |f (a)|. Умножение на скобку, которая «почти» равна 1, явно непомешает. Но по условию |f (z)| 6 |f (a)|. Противоречие, следовательно f = const. Следствие 4.4. Пусть D — ограниченная область, f ∈ O(D) ∩ C(D). Тогда |f | достигает максимума награнице области, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
