В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В. Шабат. Введение в комлексный анализ. — М.: Наука, 1985. 3-е изд.[2] А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Факториал, 2000.[3] Э. Б. Винберг. Курс алгебры. — М.: Факториал, 2002.41. Дифференцирование комплексных функций1.1. ВведениеВ процессе развития математики постепенно происходило расширение числовых множеств:N → Z → Q → R → C → H → CaБыло замечено, что комплексные числа — это очень хорошие числа, а комплексный анализ оказывается намного более красивым, нежели вещественный. Именно поэтому мы будем изучать комплекснозначные функции.Переход от R к C открывает неожиданную связь между элементарными функциями exp z, sin z, cos z, ln z,arcsin z.12Рассмотрим функцию f (x) = 1+x2 = 1 − x + .
. .. Её ряд сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1, но1она определена при ∀ x ∈ R. А теперь рассмотрим функцию f (z) = 1+z2 . При z = ±i имеем f = ∞.Рассмотрим функцию f : C → C. С вещественной точки зрения z = x + iy, и f (z) = u(x, y) + iv(x, y), т. е. xfu(x, y)7−→.yv(x, y)Все основные определения вещественного анализа — предел последовательности и функции, непрерывность,открытость, замкнутость, компактность, связность и односвязность — автоматически переносятся в комплексный анализ.Определение. Область — открытое связное множество.
Окрестностью точки называется произвольныйоткрытый шар, её содержащий.Утверждение 1.1. Открытое множество D ⊂ Cn связно тогда и только тогда, когда оно линейно связно. 1◦ Докажем, что из линейной связности следует связность. В самом деле, допустим, что множество Dлинейно связно и несвязно, т. е. разбивается на два открытых: D = A ⊔ B.
Пусть x ∈ A, а y ∈ B. Соединим этиточки непрерывной кривой γ : [0, 1] → D, причём γ(0) = x, а γ(1) = y. ПоложимtA := sup {t ∈ [0, 1] : γ(t) ∈ A} .(1)Если tA = 1, то получаем противоречие с тем, что y ∈ B, так как γ(tA ) = γ(1) = y. Значит, tA ∈ (0, 1). Посколькупрообраз открытого множества при непрерывном отображении γ открыт, то точка tA отображается в B вместесо своей окрестностью в [0, 1], т.
е. интервалом. Но это противоречит определению tA . Если же tA ∈ A, то поаналогичным соображениям получаем противоречие с тем, что tA есть точная верхняя грань.2◦ Теперь докажем в обратную сторону. Рассмотрим произвольные точки x и y в области D и докажем, что ихможно соединить кривой. Пусть E — множество тех точек, до которых можно дойти из x. Оно непусто, так какx ∈ E, и открыто, так как если z ∈ E, то U (z) ⊂ E, а окрестность линейно связна (это круг). По аналогичнымсоображениям множество D r E открыто и непусто.
Таким образом, мы разбили D на два непересекающихсяоткрытых множества, что противоречит связности области D. Замечание. Вообще говоря, из связности не следует линейная связность. Например, рассмотрим замыканиеграфика функции f (x) = sin x1 при x > 0. Оно связно, но не линейно связно (докажите это!)Замечание. Прямая и плоскость топологически неэквивалентны: если из прямой выкинуть точку, она распадается на два куска, а плоскость — нет.Замечание. Для комплексных функций теряет смысл понятие ±∞, ибо C — неупорядоченное поле.1.2.
Комплексная производная1.2.1. Определение комплексной производнойПусть функция f определена в некоторой окрестности точки z.Определение. Функция f называется C-дифференцируемой в точке z, если существует пределlim∆z→0f (z + ∆z) − f (z)=: f ′ (z).∆z(2)(z)Обозначим α(z, ∆z) := f (z+∆z)−f− f ′ (z), и ∆f := f (z + ∆z) − f (z). Дадим еще одно определение комплекс∆zной дифференцируемости:Определение. Функция f называется C-дифференцируемой в точке z, если∆f = f ′ (z)∆z + α(z, ∆z)∆z.5(3)Равносильность этих определений очевидна.Определение.
Функция f = u(x, y) + iv(x, y), определённая в окрестности точки z = x + iy, называетсяR-дифференцируемой в точке z, еслиq∂u∂u22(x, y)∆x +(x, y)∆y + ou(x + ∆x, y + ∆y) = u(x, y) +∆x + ∆y ,∂x∂yq∂v∂v(x, y)∆x +(x, y)∆y + o∆x2 + ∆y 2 .v(x + ∆x, y + ∆y) = v(x, y) +∂x∂yСкладывая первое равенство со вторым, умноженным на i, получаем∂u(z)∂v(z)∂u(z)∂v(z)f (z + ∆z) = f (z) ++i∆x ++i∆y + o (|∆z|) .∂x∂x∂y∂yВведём обозначения:∂f∂u∂v:=+i ,∂x∂x∂x∂f∂u∂v:=+i .∂y∂y∂y(4)(5)Тогда последнее равенство ввиду того, что o (|∆z|) = o (∆z), перепишется в видеf (z + ∆z) = f (z) +где ∆z = ∆x + i∆y.
Имеем ∆x =∆z+∆z2f (z + ∆z) = f (z) +12и ∆y =∂f (z)∂f (z)∆x +∆y + o(|∆z|),∂x∂y∆z−∆z.2i∂f (z)∂f (z)−i∂x∂yВведём обозначения:∂f1:=∂z2∂f∂f−i∂x∂yОпределение. Операторы∂∂zи∂∂z12∂f1:=∂z2Тогда приращение f запишется следующим образом:f (z + ∆z) = f (z) +Тогда∆z +,(6)∂f (z)∂f (z)∆z + o (|∆z|) .+i∂x∂y(7)(8)∂f∂f+i∂x∂y.∂f∂f(z)∆z +(z)∆z + o(|∆z|).∂z∂z(9)называются формальными частными производными.1.2.2. Условие Коши – РиманаПредложение 1.2. C-дифференцируемость функции f в точке z эквивалентна R-дифференцируемостипри условии ∂f∂z (z) = 0.Получается следующее правило дифференцирования: забыть, что z — это функция от z, и считать, что zи z — это две независимые буквы.Условие ∂f∂z (z) = 0 называется условием Коши – Римана.
Оно эквивалентно тому, что(∂u∂v1 ∂∂∂x =∂y ,(10)(u + iv) + i (u + iv) = 0, т. е. ∂u∂v2 ∂x∂y∂y = − ∂x .Задача 1.1. Пусть ∆z = reiϕ и пусть функция f является R-дифференцируемой в точке z. Запишемприращение в полярных координатах: ∆z = reiϕ . Доказать, что для любого ϕ существует пределh(ϕ) := limr→0f (z + ∆z) − f (z),∆z(11)а образом полуинтервала [0, 2π) при отображении h является окружность (которая может вырождаться вточку), и функция C-дифференцируема тогда и только тогда, когда образом h является одна точка.∂∂Операторы ∂zи ∂zлинейны и удовлетворяют правилу Лейбница, т.
е. L(f g) = (Lf )g + f (Lg).Все свойства производных (сумма, произведение, частное, сложная функция) сохраняются и доказываютсяаналогично вещественному случаю.Определение. Функция f , определённая в области D и имеющая C-производную в каждой точке области D,называется голоморфной (синонимы: аналитической, регулярной) в этой области.Как мы потом узнаем, дифференцируемые функции — это хорошие функции, и название «аналитические»дано не случайно.61.2.3. Примеры дифференцируемых функцийФункция f (z) = z — хорошая, z ′ = 1, а вот f (z) = |z|2 — плохая. Функция f (z) = z тоже плохая.∂fЗадача 1.2. Пусть ∃ f ′ (a), и ∂f∂x (a) = A. Чему равно ∂y (a)?Решение.
Вспомним условие Коши – Римана. Пусть A = X + iY , тогдаПримерами хороших функций являются:∂f∂y (a)= −Y + iX = iA. • Рациональная функция f ∈ C(z);• Дробно-линейная функция f (z) = az+bcz+d ;• Элементарные функции: ez , sin z, cos z, . . . , задаваемые рядами или формулой.Замечание. У элементарных комплексных функций есть и новые свойства. Например, неограниченность:sin z неограничен.Также возникает проблема с обратными функциями в силу эффекта многозначности (напри√мер, z или ln z).Задача 1.3.
Найдите, чему равно ii .Решение. Имеем ii = ei ln i = exp i ln 1 + iπ2+ 2πn= exp − π2 − 2πn . 1.3. Функции нескольких переменных1.3.1. C-дифференцируемость ФНПБудем рассматривать вектор-функции видаf (~z) = f (z1 , . . . , zn ) = f (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ).(12)Аналогично вещественному случаю,f (z + ∆z) = f (z1 + ∆z1 , . . . , zn + ∆zn ) = f (z1 , . . . , zn ) +ОбозначимnnXX∂f∂f∆zj +∆z j + o(∆z).∂z∂zjjj=1j=1nnXX∂∂∆z j ,∆zj , ∂f :=∂z∂zjjj=1j=1∂1∂∂∂1∂∂:=−i,:=+i, df = ∂f + ∂f.∂zj2 ∂xj∂yj∂z j2 ∂xj∂yj∂f :=(13)(14)(15)Как и в одномерном случае, комплексная дифференцируемость эквивалентна R-дифференцируемости приусловии ∂f = 0.
Если D — область в Cn , то голоморфность в D означает C-дифференцируемость в каждойточке области D, и то же самое для отображений f : Cn → Cm .1.3.2. Комплексная линейность. Теоремы о дифференцируемых отображенияхКак и в действительном анализе, верны теоремы о производной сложной функции (композиции отображений), обратном отображении и неявной функции. Сведём их доказательства к вещественному случаю вдвоебольшей размерности.Теорема 1.3 (О неявной функции). Пусть дана система голоморфных в окрестности точки (z0 , ω 0)iфункций Fi (z1 , . . . , zm , ω1 , .
. . , ωn ), i = 1, . . . , m, таких что в этой точке они равны нулю и ранг якобиана ∂F∂zjмаксимален. Тогда существуют голоморфные в окрестности точки ω0 функции zi (ω1 , . . . , ωn ), i = 1, . . . , m,такие что Fi (z1 (ω1 , . . . , ωn ), . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
