В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Следствия интегральной формулыТеорема 2.12 (о разложении в ряд). Пусть f (z) голоморфна в области D. Фиксируем точку a ∈ D.Пусть r < dist(a, ∂D). Тогда функция f (z) разлагается в степенной ряд∞X1f (z) =cn (z − a) , где cn =2πin=0nZ|ζ−a|=rf (ζ)dζ.(ζ − a)n+1(37)Этот ряд сходится абсолютно и равномерно при |z − a| < r.1 Представим дробь ζ−zв виде суммы геометрической прогрессии:n X∞ ∞X11111z−a(z − a)n==·=·=.ζ −z(ζ − a) − (z − a)ζ − a 1 − z−aζ − a n=0 ζ − a(ζ − a)n+1ζ−an=0(38)Обозначим через C окружность радиуса r с центром в точке a. Пусть |ζ−a| = r, т. е. ζ бегает по окружности C.|z−a|Если |z − a| < r, то |ζ−a|= |z−a|< 1.
Значит, в открытом круге радиуса r ряд сходится равномерно и его можноrпочленно интегрировать.Представим функцию f (z) формулой Коши, взяв в качестве контура окружность C, а затем подставим в1интеграл выражение для дроби ζ−z:f (z) =12πiZCf (ζ)1dζ =ζ−z2πiZ XZ∞∞ Xf (ζ)(z − a)n1f (ζ)dζ=dζ· (z − a)n .n+1n+1(ζ−a)2πi(ζ−a)n=0n=0CCОбозначая выражения в скобках через cn , получаем утверждение теоремы.
14(39)Следствие 2.5 (Неравенство Коши). Пусть выполнены условия теоремы, и Cr — окружность радиуса rс центром в точке a. Пусть max |f (z)| = M . Тогда |cn | 6 rMn .CrИмеемZ 1f (ζ) 6 1 · M · 2πr = M .|cn | = dζ 2π rn+1n+12πi(ζ − a)rn(40)CrСледствие 2.6 (Теорема Лиувилля). Если f (z) голоморфна в C и ограничена, тогда f (z) ≡ const. Пусть |f (z)| 6 M . Голоморфность в C означает голоморфность в круге сколь угодно большого радиуса R.По предыдущему следствию |cn | 6 RMn для ∀ R, значит, cn = 0 для ∀ n > 0. Следовательно, f = c0 . Следствие 2.7 (Основная теорема алгебры).
Любой многочлен P (z) ∈ C[z] положительной степениимеет в C хотя бы один корень.1 Допустим противное, т. е. P (z) 6= 0 для ∀ z. Тогда |P (z)| > m > 0. Тогда функция f (z) := P (z)всюду1определена, а значит, голоморфна в C и ограничена по модулю числом m . По теореме Лиувилля f (z) = const.Значит, P (z) = const. Противоречие. 3. Немного о конформных отображениях3.1. Дифференцируемость и конформность3.1.1. Геометрический смысл комплексной производнойРассмотрим произвольную функцию f (z), голоморфную в некоторой окрестности точки a. Пусть f (a) = b.Рассмотрим гладкую кривую z(t) : [−ε, ε] → C, такую, что z(0) = a.
Рассмотрим также образ этой кривойпри отображении f , то есть f z(t) . Обозначим через e касательный вектор к кривой z(t), т. е. e := dzdt (0). Поправилам дифференцирования сложной функцииdf z(t)(0) = df e.(1)dtaВ этой формуле все корректно: полный дифференциал есть комплексное число, и двумерный вектор — тожекомплексное число.Таким образом, мы получаем геометрический смысл комплексной производной (точнее, комплексного дифференциала): происходит гомотетия с коэффициентом |df | и поворот на угол arg df .
При этом сохраняются углыи ориентация.Определение. Линейное отображение, сохраняющее углы и ориентацию, называется конформным.3.1.2. Свойства конформных отображенийПредложение 3.1. Невырожденное линейное преобразование L : C → C сохраняет углы и ориентациютогда и только тогда, когда оно является комплексным умножением, то есть L(z) = λz, где λ 6= 0.Справа налево утверждение очевидно. Докажем, что из конформe′1 + e′2ности следует линейность.
Возьмём преобразование, удовлетворяющее этимe′2свойствам. Найдём такое комплексное умножение M , что M ◦ L = id, тоe1 + e2e2есть найдём обратное отображение, тогда само L будет комплексным умножением. Рассмотрим положительно ориентированный ортонормированныйe′1e1репер {e1 , e2 } и его образ e′1 , e′2 при отображении L. Образ также будет положительно ориентированным и ортогональным. Покажем, что длины обоихРис. 6векторов изменились в одинаковое число раз. Действительно, пусть один извекторов (для определённости e2 ) растянулся больше.
Имеем ∠(e1 , e1 + e2 ) = π4 . Если e′2 стал длиннее e′1 , то∠(e′1 , e′1 + e′2 ) 6= π4 , а углы должны сохраняться. Противоречие.Преобразованием вида λz можно добиться того, что e′1 7→ e1 . Тогда, очевидно, e′2 7→ e2 . Таким образом, мынашли обратное преобразование, являющееся умножением. Значит, L(z) = λ1 z. Как уже отмечалось выше, каждому комплексно-линейному преобразованию LC можно сопоставит вещественное преобразование LR : R2 → R2 , называемое овеществлением. Пусть LC (z) = λz, и λ = α + iβ.
ТогдаLC (x + iy) = (α + iβ)(x + iy) = (αx − βy) + i(βx + αy), а значит, матрица овеществления имеет видα −βMR =.(2)β α15Подытожим всё вышесказанное о конформных отображениях.Утверждение 3.2. Рассмотрим невырожденное линейное отображение L : R2 → R2 . Следующие утверждения эквивалентны:••••Матрица овеществления L имеет вид (2);L является комплексным умножением;L есть композиция гомотетии и поворота;L сохраняет углы и ориентацию.Определение. Отображение f (z) называется конформным, если существует его дифференциал df и он является конформным отображением. Говорят, что функция f : D1 → D2 осуществляет конформное отображениеобластей D1 и D2 , если она биективна и конформна в каждой точке.Замечание. Чтобы можно было говорить о сохранении углов при произвольном отображении, нужно требовать хотя бы R-дифференцируемости.
В определении явно не указано, какая дифференцируемость требуется.Однако следующее утверждение показывает, что R-дифференцируемости и конформности дифференциала хватает для того, чтобы обеспечить существование комплексной производной.Утверждение 3.3. Отображение f конформно в точке a тогда и только тогда, когда ∃ f ′ (a) и f ′ (a) 6= 0.
Если есть производная в точке a, и она не равна нулю, то есть и дифференциал, который являетсякомплексным умножением, а потому сохраняет углы. Значит, отображение конформно по определению.Наоборот: пусть отображение f конформно в точке a. Рассмотрим его вещественный дифференциал.
Поусловию он является конформным отображением, значит, по доказанному выше предложению он являетсяумножением на комплексное число, отличное от нуля. Значит, комплексная производная и будет равна этомучислу, т. е. мы установили голоморфность функции в точке a. Очевидно, что если имеется конформное отображение областей D1 7→ D2 , то обратное отображение такжебудет конформным: если f ′ (z) 6= 0 для ∀ z ∈ D1 , то производная обратной функции g ′ = f1′ будет вездеопределена и также не будет нигде обращаться в нуль. Значит, имеется отношение эквивалентности на множествеобластей: D1 ∼ D2 , если найдётся конформное отображение D1 на D2 .
Транзитивность следует из теоремы опроизводной сложной функции.3.2. Стереографическая проекция сферыМножество комплексных чисел обладает двумя недостатками: оно некомпактно и не имеет бесконечно удалённой точки, которая иногда оказывается очень полезной. Сейчас мы устраним оба недостатка с помощьюоперации, которую иногда называют проективизацией (или компактификацией).Рассмотрим стереографическую проекцию комплексной плоскости на двумерную сферу: кладём сферу наплоскость так, чтобы она касалась плоскости в нуле.
Через каждую точку z ∈ C проводим прямую, соединяющую её с северным полюсом N . Эта прямая проткнёт сферу в некоторой точке Φ(z). Чем больше модульчисла z, тем ближе к полюсу будет находиться Φ(z). Добавим к C еще одну точку (бесконечно удалённую)и положим Φ(∞) := N . Таким образом, мы получили биективное отображение множества C := C ∪ {∞} насферу S 2 . Введём топологиюна расширенном множестве: окрестностями ∞ будем называть множества точекU (∞) := z ∈ C : |z| > r .
В такой топологии отображение Φ будет непрерывным (так как прообраз открытогомножества открыт). Более того, очевидно, что это будет гомеоморфизм.Полученное множество представляет собой не что иное, как комплексную проективную прямую CP1 . Стереографическая проекция даёт возможность построить две карты CP1 , изоморфные обычной комплексной плоскости. А именно, рассмотрим проекции из северного и южного полюсов.
При проекции из северного полюсаточка ∞ оказывается несобственной по отношению к одной из карт, а при проекции из южного полюса рольбесконечно удалённой точки играет нуль. Легко поверить, что функции перехода между картами будут C-диффеоморфизмами. Тем самым мы показали, что C ∼= CP1 ∼= S 2 как гладкое компактное комплексное одномерноемногообразие.Задача 3.1. Докажите, что стереографическая проекция сферы на плоскость сохраняет углы.К конформным отображениям мы еще вернёмся, а пока займёмся рядами.
. .164. Степенные ряды и голоморфные функции4.1. Степенные ряды4.1.1. Напоминание некоторых фактов о рядах∞PРассмотрим степенные ряды видаcn (z − a)n . Сделав подходящую замену, можно всё свести к рядам видаn=0∞Xcn z n .(1)n=0Лемма 4.1 (Абеля). Рассмотрим ряд (1). Пусть |cn z0n | 6 M , где z0 6= 0. Тогда ∀ q ∈ (0, |z0 |) этот рядсходится абсолютно и равномерно при |z| 6 q. В самом деле, z n q n q n |cn z n | = cn z0n · 6 cn z0n · < M · .(2)z0z0z0 P q nM z0 сходится (геометрическая прогрессия). Далее применим признак Вейерштрасса. Если zq0 < 1, рядP zkЗамечание. Условие |z| 6 q < |z0 | существенно.
Рассмотрим рядk , z0 = 1. Допустим, что он сходитсяравномерно при всех z : |z| < 1 и запишем условие Коши: ∀ ε > 0 найдётся N : ∀ n, m > N, ∀ z : |z| < 1 имеемPPP1 n zk n 1<ε.Перейдёмкпределуприz→1.Тогдаkk 6 ε, а это противоречит расходимостиk.mmПо формуле Коши – Адамара радиус сходимости степенного ряда вычисляется так:R=1p.lim n |cn |(3)n→∞Как и в вещественном случае, справедливоУтверждение 4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
