В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. , zm (ω1 , . . . , ωn ), ω1 , . . . , ωn ) ≡ 0, i = 1, . . . , m. Применив «вещественную теорему», мы получим не обязательно голоморфные функции zi (ω1 , . . . , ωn ),i = 1, . . . , m, такие что Fi z1 (ω1 , . . . , ωn ), . . . , zm (ω1 , . . . , ωn ), ω1 , .
. . , ωn ≡ 0, i = 1, . . . , m. Проверим, что ониголоморфны. Заметим, что каждого i по формуле производной сложной функции0≡mmmk=1k=1k=1X ∂Fi ∂zk X ∂Fi ∂z kX ∂Fi ∂zk∂Fi∂Fi=++=∂ω j∂zk ∂ω j∂z k ∂ω j∂ωj∂zk ∂ω j(16)∂zkiв силу голоморфности Fi . Получаем, что произведение невырожденной матрицы ∂Fнастолбецнуле∂zj∂ω jвой.
Но это бывает только тогда, когда сам столбец нулевой. Но этого нам и надо. 7Определение. Пусть K — поле. Отображение f называется K-линейным, если f (a + b) = f (a) + f (b), иможно из под знака f выносить скаляры из K, то есть f (αx) = αf (x) для ∀ α ∈ K.Лемма 1.4. Любое R-линейное отображение f : C → C имеет вид(17)f (z) = az + bz. Пусть z = x + iy, тогда f (z) = xf (1) + yf (i).
Обозначим f (1) =: α и f (i) =: β. Положим a := 21 (α − iβ) иb := 12 (α + iβ). Тогда f (z) = az + bz. Лемма 1.5. Любая C-линейная функция имеет вид f (z) = az. Имеем z = z · 1. Тогда f (z) = zf (1). Остаётся обозначить a := f (1). Теорема 1.6. Функция f комплексно-линейна тогда и только тогда, когда она R-линейна, и f (iz) = if (z). Слева направо — очевидно (частный случай). Обратно: по первой лемме имеем f (z) = az + bz, следовательно, f (iz) = i(az − bz). С другой стороны, if (z) = i(az + bz).
По условию теоремы эти выражения должнысовпадать, значит, bz = 0 при любом z, следовательно, b = 0, что и означает C-линейность. Очевидно, композиция комплексно-линейных отображений будет комплексно-линейной, а обратное к невырожденному комплексно-линейному отображению будет также невырожденным и комплексно-линейным.Сопоставим произвольному комплексному отображению fC : Cn → Cn некоторое отображение fR : R2n → R2n .Пусть MC — матрица fC в базисе e1 , .
. . , en , тогда MC = A + iB, где A и B — некоторые вещественные матрицыразмера n × n. Рассмотрим матрицу MR размерности 2n × 2n следующего вида:A −BMR =.(18)BAЭто и будет матрица отображения fR в базисе e1 , . . . , en , ie1 , . . . , ien . Покажем, что такое сопоставление корректно.
Пусть det MC 6= 0. Докажем, что в этом случае и det MR 6= 0. Действительно,Adet MR = B −B A + iB=A B −B + iA A + iB= BA0 =A − iB 2= det(A + iB) det(A − iB) = det MC · det M C = |det MC | , (19)то есть определитель вещественной матрицы также отличен от нуля. Далее заметим, что наше сопоставлениебиективно, а кроме того, оно является гомоморфизмом, ибо произведению комплексных матриц соответствуетпроизведение соответствующих вещественных матриц специального вида. Стало быть, это изоморфизм.Замечание.
В теореме о неявной функции рассматриваются функции класса C1 . Позже мы узнаем, чтоесли функция голоморфна (т. е. дифференцируема хотя бы один раз), то она лежит в классе C∞ .2. Интегрирование комплексных функций2.1. Интеграл от комплексной функции и его простейшие свойства2.1.1. ПервообразныеОпределение. Функция F (z) называется первообразной по отношению к f (z), если F ′ (z) = f (z).Лемма 2.1. Пусть функция F1 — первообразная к f . Функция F2 является первообразной к f тогда итолько тогда, когда F2 = F1 + C. Справа налево — очевидно.
Обратно: положим Φ := F2 − F1 , тогда Φ′ ≡ 0. Пусть Φ = u + iv. Тогда имеем 1 ∂Φ − i ∂Φ = 0,2 ∂x∂y (1) 1 ∂Φ + i ∂Φ = 0.2∂x∂yЗначит, du = dv = 0, то есть∂u∂x=∂u∂y=0и∂v∂x=∂v∂y= 0. Следовательно, u = const и v = const. 2.1.2. Интеграл по кривойОпределение. Кривой называется непрерывное отображение γ : [a, b] → C. Говорят, что кривая кусочно-гладкая, если существует разбиение отрезка [a, b] такое, что на каждом интервале разбиения отображение γнепрерывно дифференцируемо, и в концах отрезков разбиения существуют односторонние пределы производной γ ′ (быть может, различные).8Определение.
Криволинейным интегралом второго рода (работой силы) называется интегралZP (x, y) dx + Q(x, y) dy :=γZb a dy dx(t) + Q x(t), y(t)(t) dt.P x(t), y(t)dtdtОпределение. Интегралом от комплекснозначной функции w(t) называется числоZZZw(t) dt := Re w(t) dt + i Im w(t) dt.(2)(3)Определение. Кривая называется простой, если она не имеет самопересечений. Кривая называется замкнутой, если γ(a) = γ(b).
Жордановой будем называть простую замкнутую кривую. Длину спрямляемой кривой γбудем обозначать через |γ|.Теорема 2.2 (Жордана). Любая плоская простая замкнутая кривая разбивает плоскость на 2 связныхкомпоненты и является границей каждой из них. Одна из компонент гомеоморфна (открытому) кругу.Доказательства этой теоремы в нашем курсе не будет.Замечание. В трёхмерном пространстве эта теорема неверна: существует пример (сфера Александера) —вложение двумерной сферы в R3 , при котором её образ разбивает пространство на две открытые области.
Однаиз этих областей гомеоморфна шару, а вторая не является односвязной.Теперь определим интеграл от комплексной функции по кривой.Определение. Пусть f (z) = u(x, y) + iv(x, y) — непрерывная функция, а γ = {z(t) | t ∈ [a, b]} — кусочно-гладкий путь. В силу кусочной гладкости достаточно дать определение для гладкой кривой.Zγf (z) dz :=Zγu(x, y) + iv(x, y) (dx + idy) =Zf (z) dz :=γZbaZγu(x, y) dx − v(x, y) dy + if z(t) z ′ (t) dt,Zγu(x, y) dy + v(x, y) dx .dz := z ′ (t) dt.(4)(5)2.1.3.
Свойства интеграла◦1 Линейность (следует из свойств вещественных интегралов):ZZZaf (z) + bg(z) dz = a f (z) dz + b g(z) dz.γγ(6)γ◦2 Аддитивность относительно кривой: если γ = γ1 ∪ γ2 , тоZZZf (z)dz = f (z) dz + f (z) dz.γ(7)γ2γ13◦ Независимость от параметризации: если γ = {z(t) | t ∈ [a, b]}, а t = ϕ(τ ) и γe = z ϕ(τ ) | τ ∈ [α, β] , гдеϕ — непрерывная функция, такая что ϕ(α) = a и ϕ(β) = b, тоZZf (z) dz = f (z) dz.(8)γγe4◦ Смена ориентации кривой (параметризация в обратном направлении) меняет знак интеграла.5◦ Оценка интеграла:Z ZbZb f (z) dz = f (z)z ′ (t) dt 6 max |f | |z ′ (t)| dt = max |f | · |γ|. γγaa|9{zдлина}(9)Пример 1.1.Z1 dz =γZz dz =γZbZbaz ′ (t) dt = z(b) − z(a),1z(t)z (t) dt =2′Zbaa′z 2 (b) − z 2 (a)z 2 (t) dt =.22.1.4.
Другой подход к определению интегралаОпределение. Пусть γ(t) — непрерывная кривая, соединяющая точки Aи B, а T — разбиение отрезка её параметризации a = t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn = b.Через λT обозначим диаметр разбиения T . Положим zj := γ(tj ). Рассмотриминтегральную суммуS(T ) :=nXj=1f γ(t∗j ) (zj − zj−1 ) ,znz0Рис. 1(10)где t∗j ∈ [tj−1 , tj ] и ζj = γ(t∗j ). Интегралом от функции f по кривой γ называется числоZf (z) dz := lim S(T ).(11)λT →0γОпределение. Кривая называется спрямляемой, если её длина конечна, т.
е. существует предел|γ| := supTnXj=1(12)|zj − zj−1 | .Напомним некоторые свойства спрямляемых кривых.Теорема 2.3 (критерий спрямляемости). Кривая γ = z(t) спрямляема тогда и только тогда, когда z(t) — функция ограниченной вариации.Теорема 2.4. Если кривая γ = z(t) спрямляема, то z(t) дифференцируема почти всюду.RУтверждение 2.5. Если функция f непрерывна, а кривая γ спрямляема, то f (z) dz существует.γЗадача 2.1. Докажите, что если γ — кусочно-гладкая кривая, то второе определение интеграла даёттот же ответ, что и исходное.RRКак в нашей ситуации реализуются интегралы вида f ds (интегралы II рода)? Это f (z)|dz|.
Дадим дваγэквивалентных определения.Определение.ZZβnXf (z)|dz| := f z(t) |z ′ (t)| dt = limf (ζj ) |zj − zj−1 | .γВ частности,RγλT →0αγ(13)j=1|dz| = |γ| и оценку интеграла можно записать так:Z Z f (z) dz 6 |f (z)||dz|.γ(14)γ2.2. Основные интегральные формулы и теоремы2.2.1. Краткая экскурсия в топологию: гомотопия кривыхОпределение. Пусть α, β — две кривые в области D на плоскости. Пустьα(0) = β(0) = A и α(1) = β(1) = B, т.
е. концы кривых совпадают. Будем говорить,что они гомотопны, если существует непрерывная деформация одной кривой вдругую, т. е. отображениеδ : [0, 1] × [0, 1] → Dδ(t, τ ) 7−→ z,10(15)α(t)BAβ(t)Рис. 2такое, что δ(t, 0) = α(t), а δ(t, 1) = β(t), и при этом δ(0, τ ) = A, δ(1, τ ) = B. Отображение δ называют гомотопией.Смысл последних условий ясен: в начале деформации кривая совпадает с α(t), а в конце — с β(t). При этомконцы кривых неподвижны.Будем теперь рассматривать гомотопии замкнутых кривых.DОпределение.
Область называется односвязной, если любая замкнутая кривая, целиком лежащая в ней, гомотопно стягивается в точку.На рисунке изображен пример неодносвязной области (гомеоморфной кольцу).Теперь фиксируем точку A в области D и рассмотрим отношение эквивалентностина множестве путей в этой области с началом и концом в точке A. Будем говорить, чтоα ∼ β, если существует гомотопия δ, деформирующая один путь в другой. Легко видеть,Рис. 3что это действительно отношение эквивалентности (оно симметрично, рефлексивно итранзитивно). Введём операцию умножения на множестве наших путей. Произведением путей α и β назовёмпуть αβ, являющийся объединением путей-множителей (пробегаемых последовательно с удвоенной скоростью —сначала бежим по α, потом по β).Утверждение 2.6.
Множество классов эквивалентных с точностью до гомотопии путей с заданнойоперацией образует группу. Через [α] будем обозначать класс эквивалентности пути α. У нас есть класс «единичных» путей [ε],который состоит из всех путей, стягивающихся в точку A. Ассоциативность умножения [α] [β][γ] = [α][β] [γ]очевидна, так как эти пути геометрически совпадают (а значит, легко предъявить гомотопию, переводящуюодин из них в другой). Умножение на [ε] с любой стороны, очевидно, даёт тот же класс эквивалентности. Такимобразом, все аксиомы группы проверены. Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
