В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324), страница 7
Текст из файла (страница 7)
е.max |f | = max |f |.(16)∂DDСледствие 4.5. Пусть D — ограниченная область, и f, g ∈ O(D) ∩ C(D). Если функции совпадают на границе области, то они совпадают и во всей области. В самом деле, рассмотрим модуль разности |f − g|. На границе он равен нулю, значит, max |f − g| = 0.DЗначит, |f − g| = 0, т. е. f = g. Теорема 4.10 (о среднем). Пусть f ∈ O(D). Значение функции f в центре круга (целиком лежащегов области D) равно среднему значению этой функции на окружности. Пусть функция f голоморфна в области D. Рассмотрим окружность Cr с центром в точке a и радиусом r,целиком лежащую в D.
По формуле КошиZ1f (ζ)f (a) =dζ.(17)2πiζ −aCrПараметризуем окружность углом θ, т. е. (ζ − a) = reiθ . Тогда1f (a) =2πiZ2π0Z2πf a + reiθ ireiθ1dθ =f a + reiθ dθ.reiθ2π(18)0Это и есть среднее значение функции на окружности. 4.3. Ряды Лорана4.3.1. Определения и свойстваРассмотрим так называемые ряды Лорана вида+∞Xn=−∞Определение. Сумма∞Pcn (z − a)n .cn (z−a)n называется регулярной частью ряда Лорана, а(19)−1P— главной частью.n=−∞n=0Сходимость лорановских рядов понимается как сходимость (по отдельности) главной и регулярной части.Регулярная часть — это обычный степенной ряд.
У него есть круг сходимости |z − a| < R. Главная часть1становится степенным рядом после замены ζ = z−a. Значит, он сходится вне некоторого круга |z − a| > r. Такимобразом, ряд Лорана имеет кольцо сходимости r < |z − a| < R. Если r > R, то кольцо сходимости пусто, а иначеимеется непустое кольцо сходимости 0 6 r < R 6 +∞ (крайние случаи возможны). Будем обозначать кольцосходимости через K(r, R).+∞PPИногда для красоты и краткости будем писатьвместо.n=−∞ZPУтверждение 4.11.
Пустьcn (z − a)n имеет непустое кольцо сходимости K(r, R), тогдаZ1. Сумма ряда для f (z) голоморфна в K(r, R);2. Если γ — кусочно-гладкий контур в K(r, R), то ряд можно почленно интегрировать;3. Ряд можно почленно дифференцировать. Это следует из соответствующего утверждения для степенных рядов, применённого к регулярной иглавной частям по отдельности. Наш ряд сходится в K(r, R) равномерно на компактных подмножествах и утверждение следует из теоремы Вейерштрасса. 204.3.2. Теорема Лорана и единственность разложенияТеорема 4.12 (Лорана).
Пусть K(a; r, R) — непустое кольцо, и f ∈ O(K). Пусть Cρ — окружностьрадиуса ρ ∈ (r, R) с центром в точке a. Тогда f представляется сходящимся в K рядом ЛоранаZX1f (ζ)dζ, n ∈ Z.(20)f (z) =cn (z − a)n , где cn =2πi(ζ − a)n+1ZCρВозьмём кольцо поменьше K′ (a; r′ , R′ ), где r < r′ < R′ < R. Через c′ и C ′ обозначимокружности радиусов r′ и R′ соответственно. Для z ∈ K′ имеет место формула Коши (длямногосвязной области!):ZZZf (ζ)1f (ζ)1f (ζ)1dζ =dζ −dζ =: I1 − I2 .(21)f (z) =2πiζ −z2πiζ −z2πiζ −zC′∂K′zac′Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности. Из I1 получим регулярную часть, а из I2 —Рис. 8главную.1◦ В первом интеграле ζ находится дальше от центра, чем z.
Представим дробь под интегралом в виде ряда:∞X1111(z − a)n==·.z−a =ζ −z(ζ − a) − (z − a)ζ − a 1 − ζ−a(ζ − a)n+1n=0(22)В силу равномерной сходимости этот ряд можно почленно интегрировать:I1 =12πiZC′f (ζ)1dζ =ζ −z2πiZ X∞∞ Zf (ζ)(z − a)n1 Xf (ζ)dζ=dζ · (z − a)n .n+1n+1(ζ−a)2πi(ζ−a)n=0n=0C′(23)C′Осталось обозначить интеграл в скобках через cn .2◦ Во втором слагаемом z находится дальше от центра, чем ζ, поэтому будем выносить множитель1z−a :∞X1111(ζ − a)n==·=.ζ−az−ζ(ζ − a) − (z − a)z − a 1 − z−a(z − a)n+1n=0(24)После почленного интегрирования получаем второе слагаемое:∞ Z1 X1f (ζ)(ζ − a)n dζ ·.I2 =2πi n=0(z − a)n+1(25)c′Обозначим m = −(n + 1).
Тогда, обозначая интегралы в скобках через cm , получим I2 =−1Pm=−∞cm (z − a)m .В силу того, что f ∈ O(K), радиусы R′ и r′ можно брать любыми в пределах от r до R. Следствие 4.6 (неравенство Коши). Пусть Cρ — окружность радиуса ρ с центром в точке a, и функPция f (z) представляется рядом Лорана: f (z) = cn (z −a)n . Тогда |cn | 6 M(ρ)ρn при n ∈ Z, где M (ρ) = max |f (z)|.CρZТеорема4.13 (единственностьразложения в ряд Лорана). Пусть f (z) имеет два представленияPPdn (z − a)n в непустом кольце K(a; r, R).
Тогда cn = dn для ∀ n ∈ Z.f (z) = cn (z − a)n =ZZP Покажем, что нулевая функция разлагается единственным образом. Пустьcn z n ≡ 0. РассмотримZокружность C радиуса ρ с центром в точке a, где ρ ∈ (r, R). Вспомним, что(Z0,n 6= −1;n(z − a) dz =2πi, n = −1.(26)CВ силу равномерной сходимости можно проинтегрировать ряд почленно. Из предыдущей формулы следует, чтовыживет только одно слагаемое с индексом −1:Z XX Zn0=cn (z − a) dz =cn (z − a)n dz = 2πi · c−1 .(27)CZZ21CЗначит, c−1 = 0. Домножая исходный ряд на (z − a) в подходящей степени, можно сдвинуть любой коэффициент ck на место коэффициента c−1 . От домножения на фиксированную степень область сходимости не изменится.Значит, повторяя ту же процедуру над «сдвинутым» рядом, получим, что все коэффициенты равны нулю. Пример 3.1.1ez =∞Xz −n,n!n=0r = 0,R = ∞;∞X111=− ·=−zn,z(z − 1)z 1−zn=−1111= 2·z(z − 1)z 1−1z=0 < |z| < 1;∞∞X1 X 11=,2nz n=0 zznn=−21 < |z| < ∞.4.4.
Изолированные особые точки голоморфных функций4.4.1. Классификация особых точекОпределение. Говорят, что точка a является изолированной особой точкой, если f (z) не определена в a, ноголоморфна в проколотой окрестности этой точки.Определение. Пусть точка a — изолированная особая точка функции f .
Рассмотрим проколотую окрестность U̇(a)радиусаRтакую,чтоf∈OU̇(a). Тогда в кольце K(a; 0, R) имеет место разложение в рядPf (z) = cn (z − a)n . При этом возможны три случая:Z(У) — главной части нет: cn = 0 при n < 0. Тогда говорят, что точка устранимая;1, т. е. число слагаемых в ней конечно (cn = 0 при n < −N ).(П) — главная часть является многочленом от z−aТогда точку называют полюсом, а старшую отрицательную степень — порядком полюса.(С) — главная часть бесконечна. В этом случае говорят, то это существенно особая точка.Если особая точка устранима, то ряд даёт её голоморфное продолжение в полную окрестность U (a).Теорема 4.14 (Классификация изолированных особых точек). Рассмотрим изолированную особуюточку a функции f (z).
Рассмотрим пределlim f (z).(28)z→aИмеет место соответствие между типом особой точки и наличием этого предела:(У) ⇔ предел конечен (или f (z) ограничена в некоторой окрестности точки a);(П) ⇔ предел равен ∞;(С) ⇔ предел не существует.У Если существует lim f (z), то доопределим f (z) в точке по непрерывности. Так как f ∈ O U̇(a) , тоz→aинтеграл по любому треугольнику в проколотой окрестности равен 0.
Но это значит, что интеграл по любомутреугольнику в полной окрестности тоже равен 0 (если бы это было не так, он был бы ненулевым и при маломшевелении треугольника). Следовательно, f ∈ O U (a) .Обратное очевидно: если главная часть нулевая, то f (z) представляется степенным рядом, а это и означаетголоморфность.Покажем, что для устранимости достаточно ограниченности функции. По неравенству Коши |cn | 6 ρMn .Значит, при n < 0 имеем cn = 0 (устремляем ρ к нулю, тогда cn → 0).1. Тогда lim g(z) = 0.
Значит, g(z) ограничена в некоторойП Пусть lim f (z) = ∞. Положим g(z) := f (z)z→az→aокрестности точки a. Тогда точкаa является устранимой для g(z), поэтому g(z) разлагается в ряд Тейлора.1Пусть g(z) = (z − a)k 1 + ϕ(z) , причём в некоторой окрестности 1 + ϕ(z) 6= 0. Тогда 1+ϕ(z)разлагается в рядТейлора. Следовательно,∞∞XX111nf (z) =·=·cn (z − a) =cn (z − a)n .(z − a)k 1 + ϕ(z)(z − a)k n=0n=−kНо это и означает, что a есть полюс для f (z).22(29)Наоборот: f (z) = P1z−a+∞Pn=0cn (z − a)n , где P ∈ C[z]. Второе слагаемое голоморфно, а P → ∞ при z → a.С Это единственная оставшаяся возможность. Для существенных особых точек имеет место более сильное утверждение.Теорема 4.15 (Ю. В.
Сохоцкого). Если a — существенно особая точка, то для любого A ∈ C существуетпоследовательность zn → a такая, что f (zn ) → A при n → ∞. Пусть при некотором конечном A утверждение неверно, то есть найдётся такое A и его окрестностьU (A), что в эту окрестность не попадает ни одной точки из образа сколь угодно малой окрестности точки a при1отображении f . Тогда функция g(z) := f (z)−Aбудет голоморфной в U (a), так как f (z) − A 6= 0. Тогда точка aбудет устранимой для g(z), и по соображениям, аналогичным доказательству пункта «П» предыдущей теоремы1для функции f (z) = A + g(z)точка a будет либо устранимой, либо полюсом.
Противоречие.Теперь рассмотрим случай A = ∞. Функция f , как следует из первого утверждения теоремы классификации,не может быть ограниченной в окрестности точки A. Значит, найдётся последовательность zn → a такая, что|f (zn )| > n. Стало быть, f (zn ) → ∞. Замечание. На самом деле верно ещё более сильное утверждение (теорема Пикара): в любой окрестностисущественно особой точки функция обязана принимать все значения, за исключением, может быть, одного.4.4.2. Кратности нулей и полюсовОпределение.
Пусть f (z) ∈ O(D) и f 6≡ 0. Пусть a ∈ D. Точка a называется нулём кратности k, еслиf (a) = f ′ (a) = . . . = f (k−1) (a) = 0, а f (k) (a) 6= 0. Эквивалентная формулировка: f (z) = (z − a)k ϕ(z), где ϕ(a) 6= 0.ϕ(z)Если f ≡ 0, то говорят, что кратность бесконечна. Точка a называется полюсом кратности k, если f (z) = (z−a)k,причём ϕ(a) 6= 0.Определение. Пусть f (z) = (z − a)m ϕ(z), где ϕ(a) 6= 0. Число orda f := m называют порядком точки a.Определение.
Если функция f голоморфна в области D за исключением конечного множества особыхточек, среди которых нет существенных особенностей, то она называется мероморфной в D.Утверждение 4.16. Пусть функция f (z) мероморфна в окрестности точки a. Порядок точки a равен nтогда и только тогда, когда f (z) = (z − a)n ϕ(z) где ϕ(a) 6= 0. Если n > 0, то f (z) = cn (z − a)n + cn+1 (z − a)n+1 . . . = (z − a)n ϕ(z), где cn — первый отличный от 011коэффициент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
