В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций покомплексному анализуЛектор — Валерий Константинович БелошапкаIII курс, 5 семестр, поток математиковМосква, 2005 г.Оглавление1.2.3.4.Дифференцирование комплексных функций1.1. Введение . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Комплексная производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Определение комплексной производной . . . . . . . . . .1.2.2. Условие Коши – Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Примеры дифференцируемых функций . . . . . . . . . .1.3. Функции нескольких переменных . . . . . .

. . . . . . . . . . . .1.3.1. C-дифференцируемость ФНП . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2. Комплексная линейность. Теоремы о дифференцируемых. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .отображениях........................................................................................555567777Интегрирование комплексных функций2.1. Интеграл от комплексной функции и его простейшие свойства .2.1.1.

Первообразные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Интеграл по кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3. Свойства интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.4. Другой подход к определению интеграла . . .

. . . . . .2.2. Основные интегральные формулы и теоремы . . . . . . . . . . .2.2.1. Краткая экскурсия в топологию: гомотопия кривых . . .2.2.2. Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3. Лемма Гурса и её следствия . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Интегральная формула Коши и её следствия . . . . . . . .

. . .2.3.1. Формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Следствия интегральной формулы . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................................................................................................888891010101111131314Немного о конформных отображениях3.1. Дифференцируемость и конформность . . .

. . . . . . . .3.1.1. Геометрический смысл комплексной производной .3.1.2. Свойства конформных отображений . . . . . . . .3.2. Стереографическая проекция сферы . . . . . . . . . . . .................................................................................1515151516Степенные ряды и голоморфные функции4.1. Степенные ряды .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1. Напоминание некоторых фактов о рядах . . . . . . . . . . . . .4.2. Голоморфные функции и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1. Эквивалентные определения голоморфности. Теорема Мореры4.2.2. Множество голоморфных функций и его свойства . . . .

. . .4.2.3. Теорема единственности и её следствия . . . . . . . . . . . . .4.3. Ряды Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1. Определения и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.2.

Теорема Лорана и единственность разложения . . . . . . . . .4.4. Изолированные особые точки голоморфных функций . . . . . . . . .4.4.1. Классификация особых точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.2. Кратности нулей и полюсов . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.3. Куча примеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.4. Голоморфные функции на многообразиях . . . . . . . . . . . .4.4.5. Целые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.

Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.1. Понятие вычета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.2. Нахождение вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6. Принцип аргумента . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6.1. Связь количества нулей с количеством полюсов . . . . . . . .4.6.2. Теорема Руше и принцип открытости. Теорема Гурвица . . . ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................171717181818192020212222232424242525252626272................5.6.Конформные отображения5.1. Формулировка теоремы Римана . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.1. Ещё одно свойство однолистных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.2. Группа конформных автоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.3. Теорема Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Вычисление групп Aut(C), Aut(C) и Aut(∆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.1. Автоморфизмы сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.2. Автоморфизмы плоскости . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.3. Лемма Шварца. Автоморфизмы единичного круга . . . . . . . . . . . . . . .5.3. Доказательство теоремы Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.1. Принцип компактности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.2. Доказательство теоремы Римана . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4. Нормировка конформных отображений. Теорема Каратеодори . . . . . . . . . . . .5.4.1. Нормировка конформного отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4.2. Теорема Каратеодори. Соответствие границ при конформном отображении5.5. Принцип симметрии . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5.1. Вспомогательные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5.2. Доказательство принципа симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................282828292929293030313132333333343435Аналитическое продолжение6.1.

Росток функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1.1. Многозначные функции. Понятие ростка и аналитического6.1.2. Теорема о монодромии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Римановы поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2.1. Конструкция римановой поверхности . . . . . . . . . . . . .6.2.2. Свойства римановой поверхности . . .

. . . . . . . . . . . .6.3. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.1. Классификация изолированных точек и её корректность .6.3.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4. Алгебраические особые точки и алгебраические функции . . . . .6.4.1. Ряды Пюизо. Алгебраические особые точки . . . . . . .

. .6.4.2. Критерий алгебраичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4.3. Формула Римана – Гурвица . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................35353536373737373738383838393. . . . .

. . . .продолжения. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ..............ПредисловиеЭтот документ представляет собой переработанный курс лекций по комплексному анализу, первоначально набранный одним из студентов МехМата. В оригинальном варианте не было иллюстраций, что осложняловосприятие материала, а кроме того, имелось отличное от нуля количество опечаток и прочих глюков типографского характера. Данный вариант был создан на основе авторских лекций, и, естественно, не без посторонней помощи.

Огромное, бесконечномерное спасибо Алисе Домбровской и Анастасии Тимофеевой за конспектылекций и замечания об ошибках. Также благодарность за обнаружение большого количества ошибок выносится Александру Веремьёву, Алексею Прянишникову и Анастасии Абрашитовой, а особенно Илье Питерскому,Алексею Басалаеву и Кириллу Никитину.В 2005 году текст был отредактирован Сергеем Шашковым.Порядок изложения материала наиболее соответствует курсу 2004 г.Последняя компиляция: 26 января 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.Литература[1] Б.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций