В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324), страница 13
Текст из файла (страница 13)
[1, стр. 195].6.4. Алгебраические особые точки и алгебраические функции6.4.1. Ряды Пюизо. Алгебраические особые точкиПоймём, откуда берутся точки ветвления конечного порядка. Пусть a — точка ветвления порядка n функцииf (z). Сделаем замену переменной z = a + ζ n . Пусть точка ζ бегает по достаточно малой окружности радиусаρ. Тогда при одном обороте ζ точка z накрутит n оборотов вокруг точки a. Но так как точка a имеет порядокветвления n, то после n оборотов мы приходим к тому же ростку, с которого и начали.
Значит, точка a будетоднозначной точкой относительно переменной ζ. Но отсюда следует, что в проколотой окрестности ζ = 0 имеетместо представление рядом Лорана:Xf (ζ) =ck ζ k .(3)ZПереходя к переменной z, получаем представление функции f (z) в виде так называемого ряда Пюизо́:Xk X√kf (z) =ck n z − a =ck (z − a) n .(4)ZZОпределение. Если разложение функции в ряд Пюизо содержит конечное число отрицательных членов,то соответствующая особая точка называется алгебраической.Определение. Полная аналитическая функция называется алгебраической, если она конечнозначна и имеетконечное число особых точек, причём все они алгебраические.Пусть A = {a1 , .
. . , an } — особые точки некоторой алгебраической функции. Тогда над каждой точкой C r Aимеется одно и то же число ростков («листов»). В самом деле, пусть нашлись две точки z1 и z2 , над которымивисит разное число листов, и для определённости над z1 их больше.
Теорема единственности не позволяетросткам склеиваться, поэтому при продолжении их вдоль пути из точки z1 мы не получим меньшее их число.Определение. Число «листов» называется порядком алгебраической функции.6.4.2. Критерий алгебраичностиТеорема 6.6. Значения алгебраической функции порядка n удовлетворяют уравнениюp0 (z)wn + p1 (z)wn−1 + . . . + pn (z) = 0,причём многочлены pi взаимно просты.38pi ∈ C[z],(5) 1◦ Частный случай n = 1 мы уже знаем: у однозначной алгебраической функции особенностями могутбыть лишь полюсы в конечном числе, а тогда она рациональна, то есть является отношением двух многочленов:w = − pp21 (z)(z) , что после умножения на знаменатель и даст искомый вид.2◦ При n > 1 фиксируем точку z ∈ C r A. Тогда функция в этой точке принимает значения f1 (z), .
. . , fn (z),причём функции fi аналитически продолжаются по любому пути, не проходящему через особые точки. Посмотрим, что будет при обходе особой точки. Каждая из функций fi может, вообще говоря, изменить своё значение.Но так как число листов конечно и склеиваться они не могут,значения функций могут лишь переставляться,т. е. набор {f1 (z), . . . , fn (z)} перейдёт в некоторый набор fσ(1) (z), . . . , fσ(n) (z) , где σ ∈ Sn . Значит, базисныесимметрические функцииσ1 := f1 + . . . + fn ,σ2 := f1 f2 + . . . + fn−1 fn ,...σn := f1 · .
. . · fnне изменятся ни при каком обходе. Значит, они являются однозначными и по первому пункту рациональны.Формулы Виета говорят, что значения f1 (z), . . . , fn (z) суть корни уравненияwn − σ1 (z)wn−1 + . . . + (−1)n σn (z) = 0.(6)Каждая функция σi есть отношение многочленов, поэтому домножая на наименьшее общее кратное знаменателей, получаем уравнение нужного нам вида, а заодно завершаем доказательство теоремы. На самом деле теорема верна и в обратную сторону: решения всякого неприводимого многочлена указанноговида (относительно w) есть значения некоторой алгебраической функции (см. [1, гл.
IV, §11]).6.4.3. Формула Римана – ГурвицаПусть у нас имеется некоторое (конечное) число особых точек. Рассмотрим триангуляцию сферы, такую,что вершины треугольников попадут в особые точки. Теперь такое же разбиение сделаем и для римановойповерхности, которая висит над сферой, так, чтобы вершины разбиения на поверхности висели над вершинамиграфа на сфере, а рёбра разбиения поверхности проектировались в рёбра разбиения сферы. Будем считать ихколичество. Пусть В, Р и Г — числа вершин, рёбер и граней (на поверхности) соответственно, а в, р и г —соответствующие числа для графа на плоскости.Пусть функция m-значна.
Тогда количество граней «вверху» равно количеству граней «внизу», умноженномуна m, и для рёбер — то же самое.PА вот для вершин соотношение нарушается (листы-то склеиваются), и приподсчёте мы ошибёмся на число (kj − 1), где kj — индекс (порядок)ветвления, т. е. количество склеенныхPлистов. Таким образом, имеем Р = m · р, Г = m · г и В = m · в − (kj − 1).Определение. Число χ(M ) := В − Р + Г называется эйлеровой характеристикой графа M .Утверждение 6.7.
Эйлерова характеристика2 «хорошего» многообразия (двумерной поверхности) χ(M )равна 2 − 2g, где g — число ручек на многообразии. Мы приведём только идею доказательства. Мы будем использовать тот факт, что χ(M ) совпадает сэйлеровой характеристикой произвольного связного графа на этом многообразии (но доказывать его не будем).Вначале покажем, что эйлерова характеристика сферы равна 2. Рассмотрим произвольный граф и начнём егопреобразовывать, следя за количеством вершин, рёбер и граней.
Расплющим сферу так, чтобы она превратиласьв два блина, склеенных по краям. Сотрём одно ребро, тогда количество рёбер уменьшится на 1, и количествограней тоже уменьшится на 1. Число В − Р + Г не поменяется. Аналогично, если к вершине идёт 2 ребра, можностереть вершину и эти ребра, а вместо них поставить одно длинное («убрать излом»). При этом тоже ничего непоменяется. Рано или поздно останется два треугольника со склеенными сторонами. Для них χ(S 2 ) = 3 − 3 + 2 == 2, что и требовалось.Если на многообразии имеются ручки, то легко видеть, каждая ручка уменьшает χ на 2.
Это легко понятьна примере двумерного тора S 1 × S 1 , который есть не что иное, как сфера с одной ручкой, и потому егохарактеристика равна нулю. Таким образом, мы получаем формулу Римана – Гурвица:(в − р + г = 2,1X⇒ Ф.Р – Г: g =(kj − 1) − (m − 1).(7)2В − Р + Г = 2 − 2g.2 Иногдаона именно так и определяется. В общем случае она равнаnP(−1)k H k (M n , R), где H k — k -я группа когомологий.k=039.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
