В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Введёмотношение эквивалентности: (f1 , V1 ) ∼ (f2 , V2 ), если функции совпадают в некоторой окрестности U ⊂ V1 ∩ V2точки a. Ростком функции в точке a называется класс функций [f ]a по этому отношению.У голоморфных функций есть канонический представитель ростка — степенной ряд. Каждая функция,определённая в окрестности V , порождает некоторый росток и является его представителем.Определение. Пусть γ : [α, β] → C — непрерывная кривая, и γ(α) = a, γ(β)= b. Росток [f ]b являетсяпродолжением ростка [f ]a вдоль γ, если существует семейство ростков [ϕ]γ(t) таких, что для любой точкиt0 ∈ [α, β] найдётся δ такое, что для ∀ t ∈ Uδ (t0 ) ростки этого семейства порождены некоторой одной функцией35F , т.
е. ∃ (F, V ) : росток [ϕ]γ(t) порождается парой (F, V ), и выполнено условие[ϕ]γ(α) = [f ]a ,[ϕ]γ(β) = [f ]b .(1)Применительно к голоморфным функциям это определение переформулируется так:Определение.Росток [f ]b является аналитическим продолжением ростка [f ]a , если существует семейство [ϕ]γ(t) ростков голоморфных функций, локально порождаемых некоторой голоморфной функцией F ивыполняется условие (1).Утверждение 6.1.
Аналитическое продолжение вдоль заданной кривой γ единственно, то есть если имеется два продолжения [f1 ]b и [f2 ]b ростка [f ]a функции f , то они совпадают. Пусть [ϕ1 ]γ(t) и [ϕ2 ]γ(t) — семейства ростков, породившие продолжения [f1 ]b и [f2 ]b соответственно.Рассмотрим множествоE := t ∈ [0, 1] : [ϕ1 ]γ(t) = [ϕ2 ]γ(t) .(2)Оно не пусто, так как 0 ∈ E. Оно открыто, так как если ростки совпадают в точке γ(t0 ), то их представителилокально совпадают в окрестности точки γ(t0 ).
Значит, точки из U (t0 ) также принадлежат множеству E. Номножество замкнуто, так как в силу теоремы единственности, если функции совпадают на последовательноститочек, стремящихся к γ(t0 ), то они совпадают и в самой точке γ(t0 ). Следовательно, E = [0, 1]. 6.1.2. Теорема о монодромииКак только дано определение аналитического продолжения, сразу может возникнуть вопрос: а зависит лионо от кривой, по которой мы осуществляем продолжение? Следующая теорема даёт на него ответ.Теорема 6.2 (о монодромии). Пусть D — область, и a, b ∈ D. Если две кривые с фиксированнымиконцами a и b гомотопны (в области D), то аналитическое продолжение ростка [f ]a определено однозначно.
Пусть гомотопия задана как отображение γ = γ(t, τ ) ∈ C([0, 1]2 ), где t — параметр кривой, а τ — параметр деформации. Пусть [f1 ]b и [f2 ]b — два продолжения ростка [f ]a . Достаточно доказать, что они совпадаютпри малом изменении параметра τ (так как из того, что функция локально не изменилась, будет следовать, чтоона не изменилась при всех τ ). Будем действовать аналогично доказательству предыдущего утверждения, нотеперь в качестве параметра будет выступать τ . Из каждой точки кривой γ(t) осуществим аналитическое продолжение вдоль кривой γ(t0 , τ ) при каждом фиксированном t0 .
Так как продолжение вдоль кривой единственно,то найдётся система достаточно малых кружочков — окрестностей каждой точки t0 ∈ γ(t, 0), таких, что в любойточке, лежащей в их объединении, продолженная функция совпадает с исходной. Но если параметр гомотопиидостаточно мал (τ 6 δ, где δ > 0), то кривая γ(t, τ ) лежит в объединении кружочков, так как кривая компактна.
Значит, при τ 6 δ аналитическое продолжение совпадает с исходной функцией на кривой γτ (t) = γ(t, τ ).Продолжая делать маленькие шаги по параметру τ , дойдём до τ = 1 (снова пользуемся компактностью). Определение. Полной аналитической функцией (ПАФ), порождённой ростком [f ]a , называется совокупность ростков, полученных при продолжениях по всевозможным путям.Замечание.
Во всех проведённых выше рассуждениях совершенно не важно, где всё происходит: на плоскости или на сфере.Теорема 6.3 (Вольтерра). Множество ростков одной ПАФ в фиксированной точке не более, чем счётно. Кривые, вдоль которых мы осуществляем продолжение, можно заменить на ломаные с вершинами врациональных точках. Их счётное число. Значит, и ростков не более, чем счётное число. Определение. Рассмотрим область D и точку a ∈ D. Если росток [f ]a можно продолжить по любому путив D, тогда говорим, что данная ПАФ аналитична в D. При этом совокупность полученных ростков называетсяветвью ПАФ f в D.Следствие 6.1 (теоремы о монодромии). Если область D односвязна, то совокупность ростков ветвипорождена f ∈ O(D)Тогда говорят, что ПАФ допускает выделение в D односвязной ветви.Следствие 6.2. В односвязной области у многозначной функции можно выделить однозначную ветвь,так как все пути гомотопны и продолжение по любому пути даст одну и ту же голоморфную функцию.Но если область не односвязна, то это ещё не значит, что всё так плохо.
Подтвердим это примером:√Пример 1.1. Рассмотрим область с разрезом от 0 до ∞ и функции z и ln z. Эта область не являетсяодносвязной, а однозначную ветвь выделить можно.366.2. Римановы поверхности6.2.1. Конструкция римановой поверхностиМногие комплексные функции, если их рассматривать как отображения f : C → C, являются многозначными.Это плохо. Мы хотим построить некоторое множество, такое, чтобы отображение на нём было однозначным.Это множество мы и назовём римановой поверхностью.Напомним, что одномерное комплексное многообразие — это хаусдорфово сепарабельное топологическое пространство, локальное гомеоморфное некоторой области в C.
Функции перехода между картами — конформныеотображения.Определение. Римановой поверхностью голоморфной функции f будем называть топологическое пространство X, точками которого являются пары (a, [f ]a ), где a ∈ C. Топология вводится следующим образом:ε-окрестностью точки (a, [f ]a ) назовём такие пары (z, [f ]z ), что z ∈ Uε (a) и росток функции [f ]b является непосредственным продолжением ростка [f ]a .Можно определить проекцию пространства π : X → C очевидным образом: π (z, [f ]z ) = z.Фактически, риманова поверхность локально ничем не отличается от множества C, разве что у каждой точкиесть дополнительный «атрибут» — номер листа поверхности, определяемый ростком функции.Далее мы будем рассматривать следующую ситуацию: имеется ПАФ, которая имеет в C лишь точки ветвления конечного порядка и конечное число значений в каждой точке.6.2.2.
Свойства римановой поверхностиТеорема 6.4. Риманова поверхность является одномерным комплексным многообразием. Проекция π, определённая выше, очевидно, есть локальный гомеоморфизм. Стало быть, он отображаеткруговую окрестность точки на римановой поверхности на некоторый круг в C. Тогда функции перехода будеттождественными отображениями (так как проекции пересечения двух окрестностей просто наложатся друг надруга). Следствие 6.3. Риманова поверхность X — это сфера с ручками. То, что это комплексное многообразие, уже доказано. Теорема классификации двумерных, замкнутых,компактных связных гладких вещественных многообразий гласит, что любое такое многообразие, если оно, вдобавок ко всему, ориентируемо, гомеоморфно сфере с некоторым количеством ручек (см.
[2, гл. 4, § 5, п. 3]).Покажем, что риманова поверхность ориентируема и компактна. В самом деле, матрица овеществления комплексной производной (то есть матрицы Якоби для случая dimC X = 1) имеет положительный определитель(см. 3.1.2). Значит, наша поверхность (как вещественное многообразие) двумерно и ориентируемо.Докажем, что риманова поверхность компктна.
Рассмотрим произвольную последовательность точек zn ∈ Xи их проекций π(zn ). В силу компактности сферы из последовательности πzn можно выделить сходящуюся подпоследовательность πznk . Но тогда прообразы точек этой последовательности «прыгают» по конечному множеству листов, и из них, очевидно, тоже можно выделить сходящуюся (в топологии X) подпоследовательность.6.3.
Изолированные особые точки6.3.1. Классификация изолированных точек и её корректностьОпределение. Точка a называется изолированной особой точкой аналитической функции f , если в некоторой проколотой окрестности V этой точки некоторый росток [f ]a продолжается по всем путям, в окрестности V .Иными словами, найдётся такая окрестность точки a, что кроме самой точки a там никаких особых точекнет и аналитическое продолжение возможно.Определение. Рассмотрим замкнутый путь γ вокруг изолированной особой точки и продолжим функциюпо нему.
При этом возможно три случая:1. После однократного обхода мы возвращается в тот же класс эквивалентности (тот же росток);2. После n оборотов мы возвращается к тому же ростку, т. е. получается n (неэквивалентных) ростков;3. При очередном обходе точки каждый раз получаются новые ростки.Соответственно, эти случаи называются так: точка однозначного характера, точка ветвления порядка n илогарифмическая особая точка.Утверждение 6.5. Данное выше определение корректно, то есть тип точки не зависит от:• выбора направления обхода кривой;37• выбора представителя в классе гомотопных кривых;• выбора точки на кривой, с которой начинается продолжение.
В самом деле, если γ + и γ − — одна и та же кривая, но с противоположными направлениями обхода, токривая (γ + ◦ γ − ) гомотопна нулю. Поэтому первое и второе утверждение следует из теоремы о монодромии. Чтокасается третьего то оно тоже из неё следует, так как можно «сдвинуть» параметризацию кривой так, чтобыпроизвольная точка на кривой оказалась в начале (то есть соответствует значению t = 0), а такие кривыегомотопны.
Название точки третьего типа объясняется тем, что у функции ln z нуль является особой точкой именнотакого типа.6.3.2. Примеры√Пример 3.1. У функции z имеется две изолированных точки: 0 и ∞. Они являются точками ветвлениявторого порядка.p√√ √ Пример 3.2. Рассмотрим функцию 1 − z. Имеем Var arg 1 − (+ z) = 2π и Var arg 1 − (− z) = 0.Значит, точка z = 1 является особой не для всех ветвей.Пример 3.3. У функции√sin√ zzнуль — однозначная точка. Если взять ветвь корня со знаком «минус», то√z√− z⇒√sin z√z√√− sin zsin z√= √ ,− zzто есть вернулись к той же функции.Риманову поверхность для логарифма нарисуем позже. Пока см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
