В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Запишем теорему о вычетах для логарифмической производной:Z ′1f (z)dz = N − P.2πif (z)(46)∂DРазобьём границу области на маленькие последовательные куски γ1 , . . . , γnтак, что на каждом из них можно выделить однозначную ветвь функции ln f (z),и пусть αi и βi — левые и правые концы кусочков γi соответственно. Тогда интеграл по каждому маленькому кусочку можно вычислять по формуле Ньютона –Лейбница:Z ′f (z)dz = ln f (βi ) − ln f (αi ).(47)f (z)γγia2Теперь вспомним, что ln f = ln |f | + i Arg f . Функция ln |f | однозначна, поэтому достаточно выделить ветвь Arg f , непрерывно меняющуюся вдоль границыобласти.
ПоэтомуZ ′f (z)dz = ln f (βi ) − ln f (αi ) = Var ln fγif (z)a1Рис. 11(48)γiСледовательно,ZγnXf ′ (z)dz =Var ln f = Var(i Arg f ).γiγf (z)i=1(49)Если γ — замкнутый контур (или набор контуров), то Var ln |f | = 0.γОпределение. Число оборотов вектора w = f (z) при обходе точкой zзамкнутого контура γ называется индексом пути γ относительно точки w = 0.w = f (z)0Следствие 4.8 (принцип аргумента). Пусть выполнены условия теоремы, N и P — количества нулей и полюсов функции f . Тогда1N −P =Var Arg f = ind0 (γ).2π ∂D(50)wzРис.
12 Действительно, если приращение аргумента поделить на 2π, получится как раз количество оборотоввектора f (z), если z пробегает по пути γ. 4.6.2. Теорема Руше и принцип открытости. Теорема ГурвицаБудем через Nf обозначать количество нулей функции f (с учетом кратности!).Теорема 4.24 (Руше́). Пусть область D — как в теореме о вычетах, функции F и g голоморфны вокрестности D, причём |F (z)| > |g(z)| на границе ∂D. Тогда F + g имеет столько же нулей, что и F :NF +g = NF .27(51)В силу условия |F (z)| > |g(z)| у суммы F +g также нет нулей на границе области. По принципу аргументаh 11g i11gVar Arg(F + g) =Var Arg F 1 +=Var Arg F +Var Arg 1 += NF ,(52)2π ∂D2π ∂DF2π ∂D2π ∂DF так как Fg < 1, а потому Var Arg 1 + Fg = 0 (функция 1 + Fg не может сделать «оборота вокруг нуля», поэтомуNF +g =∂Dаргумент может получить только нулевое приращение).
Теорема 4.25 (принцип открытости (сохранения области)). Голоморфная функция всегда осуществляет открытое отображение, то есть если D — область, f ∈ O(D) и f 6= const, то f (D) — область. Связность образа следует из непрерывности f . Надо доказать открытость образа. Пусть b ∈ f (D), тоесть существует a ∈ D такая, что f (a) = b. Поскольку f 6= const, то a — изолированная точка, то есть найдётсяε > 0 такое, что |f (z) − b| =6 0, если z ∈ Uε (a) (если бы такой окрестности не нашлось, это означало бы, чтоf (z) = b при z → a, а тогда по теореме единственности f (z) ≡ b). Значит, µ := min |f (z) − b| > 0.
Рассмотримкруг радиусаµ2∂Uε (a)с центром в точке b. Пусть w лежит в этом круге. Представим функцию f (z) − w в видеf (z) − w = (f (z) − b) + (b| −{zw}).| {z }(53)gFВозьмём такое w, что |b − w| < µ. Тогда по теореме Руше (для функций F (z) = f (z) − b, g(z) = b − w и этогокруга) Nf −w = Nf −b > 0, то есть функция f (z) − w имеет хотя бы один нуль, и найдётся z такое, что f (z) = w.То есть у каждой точки круга есть прообраз. Замечание. Число прообразов в малом круге равно ord [F (z) − F (a)].
Из этой теоремы легко следует принцип максимума, доказанный ранее.Определение. Функция f называется однолистной, если f (z1 ) 6= f (z2 ) для ∀ z1 6= z2 .Теорема 4.26 (Гурвица). Если функции fn ∈ O(D) однолистны, и fn ⇒ f , то либо функция f однолистна,либо f ≡ const. Предположим противное: пусть предельная функция не постоянна и у точки b есть много прообразов ai ,т. е. f (ai ) = b. Тогда полный прообраз {ai } точки b — дискретное множество (все точки изолированные).
Значит,найдутся окрестности Ui (ai ) такие, что на их границах функция f (z) − b не обращается в нуль. Тогдаµ := min |f (z) − b| > 0.∂Ui (ai )Имеемfn (z) − b = f (z) − b + fn (z) − f (z) .| {z }|{z}(54)(55)gFµ2по модулю в силу равномерной сходимости.Начиная с некоторого номера n вторая скобка станет меньшеТогда у функции F + g = fn (z) − b нулей должно быть столько же, сколько и у F , а у неё нулей столько же,сколько прообразов ai . Это противоречит однолистности функций fn . 5.
Конформные отображенияМы уже кое-что знаем о конформных отображениях. Настало время доказать про них нечто содержательное.5.1. Формулировка теоремы Римана5.1.1. Ещё одно свойство однолистных функцийКак мы знаем, конформность отображения f в точке a равносильна существованию производной в этойточке, причём f ′ (a) 6= 0.e осуществляет конформное отобраОпределение. Будем говорить, что голоморфная функция f : D → Deeжение области D на область D, если функция f однолистна в D и f (D) = D.Утверждение 5.1. Производная голоморфной однолистной функции не обращается в нуль ни в одной точ-ке.
Будем действовать аналогично доказательству принципа открытости. Допустим, f ′ (a) = 0. Тогда покажем, что у точки b := f (a) будет несколько прообразов, и тем самым придём к противоречию с однолистностью.Возьмём такую окрестность точки a, в которой нет других нулей производной, кроме самой точки a. Так как28(f (a) − b) = (f (a) − b)′ = f ′ (a) = 0, то по определению функция f (z) − b имеет нуль как минимум второйкратности. Но это и означает, что у точки b будет более одного прообраза.
Пример 1.1. Рассмотрим функцию f (z) = z k . Она имеет нуль кратности k, а в окрестности нуля имеетсяровно k прообразов.5.1.2. Группа конформных автоморфизмовЧерез Aut(D) будем обозначать множество конформных отображений области D на себя. Очевидно, этомножество имеет структуру группы с операцией композиции. Наличие обратного элемента гарантируется однолистностью: в силу биективности можно рассмотреть формальное (или, как еще говорят, алгебраическое)′обратное отображение — сопоставить каждой точке w её прообраз z, но так как f ′ (z) 6= 0, то и f −1 (w) 6= 0,поэтому обратное отображение также голоморфно и однолистно. Композиция однолистных отображений такжеоднолистна, так что определение Aut(D) корректно.e конформно эквивалентны, если существует конформное отобОпределение.
Говорят, что области D и Deeражение D на D. Обозначение: D ∼ D.e то Aut(D) ∼e В самом деле, пусть f : D → De — конформное отображение,Очевидно, что если D ∼ D,= Aut(D).−1eи h ∈ Aut(D). Изоморфизм задаётся так: h 7→ f ◦ h ◦ f =: eh ∈ Aut(D).5.1.3. Теорема РиманаТеорема Римана утверждает, что все односвязные области D на сфере распадаются на три класса эквивалентности относительно конформных преобразований:• D ∼ C — вся сфера;• D ∼ C — плоскость;• D ∼ ∆ := {z : |z| < 1} — единичный круг (будем использовать это обозначение в дальнейшем).Докажем мы её немного позже, а пока займёмся вычислением групп автоморфизмов этих трёх классов.Эти классы можно различать по мощности множества точек границы. Первому классу соответствует случай∂D = ∅, второму — Card ∂D = 1, а третьему — Card ∂D > 1 (на самом деле, если точек на границе не меньшедвух, то их континуум: если из сферы выбросить лишь конечное число точек, граница будет несвязной, и мыне получим односвязной области).Замечание.
Сфера C неэквивалентна двум другим классам и с топологической точки зрения: множество Cкомпактно, а ∆ и C — нет.Утверждение 5.2. Множества C и ∆ конформно не эквивалентны. Пусть существует конформное отображение ϕ плоскости на круг. Тогда оно голоморфно на всей плоскости и ограничено, ибо |ϕ(z)| < 1.
Тогда по теореме Лиувилля оно постоянно, то есть является отображениемне на весь круг, а в точку. Противоречие. 5.2. Вычисление групп Aut(C), Aut(C) и Aut(∆)5.2.1. Автоморфизмы сферыРассмотрим группу дробно-линейных преобразованийaz + bG0 := T (z) =.cz + d(1)Мы уже знаем, что они конформно отображают сферу на себя.Теорема 5.3. Aut(C) ∼= G0 . Пусть ϕ : C → C — произвольный автоморфизм сферы. Пусть ϕ переводит ∞ в некоторую конечнуюточку.
Тогда найдётся такое дробно-линейное преобразование T ∈ G0 , которое возвращает ∞ на место, то есть(T ◦ ϕ)(∞) = ∞. Обозначим Φ := T ◦ ϕ. Покажем, что Φ является линейным отображением. Так как Φ(∞) = ∞,то можно рассматривать Φ как отображение Φ : C → C. Это голоморфная функция без особых точек. Поэтому,если z → ∞, то Φ(z) → ∞, то есть функция Φ является целой и имеет полюс на бесконечности.
Но мы-тознаем, что все такие функции — это обычные многочлены, а кроме того, степень не выше кратности полюса,которая равна единице в силу однозначности Φ. Значит, Φ = az + b. Таким образом, функция ϕ = T −1 ◦ Φ естькомпозиция линейной и дробно-линейной функции. Значит, она сама является дробно-линейной. 295.2.2. Автоморфизмы плоскостиКак видно из формул, дробно-линейные преобразования, переводящие бесконечность в себя, являются насамом деле линейными. Однако из этого мы пока не можем сделать вывод о том, что и все конформные автоморфизмы плоскости тоже линейные: тут нельзя пользоваться непрерывностью на бесконечности.
Однако этонам не помешает.Обозначим через G1 группу линейных преобразований плоскости:G1 := {T (z) = az + b} .(2)∼ G1 .Теорема 5.4. Aut(C) = Пусть ϕ : C → C — автоморфизм плоскости, тогда ∞ — изолированная особая точка. Она не может бытьустранимой, ибо в этом случае функция ϕ была бы голоморфной на сфере, и по теореме Лиувилля ϕ ≡ const.Покажем, что она не может быть существенно особой точкой. Рассмотрим любую точку a 6= ∞ и её образb = ϕ(a). Тогда в силу конформности точка a отображается в b вместе с некоторой окрестностью:ϕU (a) 7−→ U (b),ϕC r U (a) 7−→ C r U (b).(3)Но теорема Сохоцкого говорит о том, что если ∞ — существенная особая точка, то найдётся последовательность αn → ∞ такая, что ϕ(αn ) → b. Получается, что в окрестность U (b) могут попасть точки из окрестностибесконечности, что противоречит (3): туда должны попадать только точки из окрестности U (a).Таким образом, бесконечность является полюсом, а ϕ — линейной функцией. 5.2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
