В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Построенная группа называется фундаментальной группой (или первой гомотопическойгруппой) области D и обозначается π1 (D).Можно показать, что π1 (D) не зависит от выбора точки A в области D.2.2.2. Формула Ньютона – ЛейбницаТеорема 2.7 (формула Ньютона – Лейбница). Пусть f непрерывна в области D, и существует1 первообразная F к f в области D; γ = {z(t) | t ∈ [a, b]} — кусочно-гладкая кривая в D, соединяющая точки A и B.ТогдаZf (z) dz = F (B) − F (A).(16)γZf (z) dz =γZbaf z(t) z ′ (t) dt =Zbad F z(t) dt = F z(b) − F z(a) = F (B) − F (A).dt(17)Следствие 2.1. Если первообразная в односвязной области существует, то интеграл по замкнутому контуру, целиком лежащему в этой области, равен нулю.Пример 2.1. Покажем, что односвязность важна:Z|z|=rdz=zZ2π0ireitdt = 2πi 6= 0.reit(18)2.2.3.
Лемма Гурса и её следствияУтверждение 2.8. Если интеграл от непрерывной функции f по любому замкнутому контуру в области D равен нулю, то f обладает первообразной.H Пусть f (z) dz = 0 для ∀ γ. Рассмотрим функциюγF (z) :=Zza1 Тоесть существует однозначная функция F .11f (ζ) dζ.(19)Интеграл здесь понимается как интеграл по кривой из точки a в точку z. Покажем, что такое задание функциикорректно, т. е.
не зависит от выбора пути интегрирования. Пусть мы пошли другим путём γe из z в a. Тогдаинтеграл по контуру γ ∪ eγ , т. е. по γ (от a до z), а потом по γe (от z до a) будет равен нулю. Но это и значит, что(γ)Zzaf (ζ) dζ = −(eγ)Zaf (ζ) dζ = (eγ)zZz(20)f (ζ) dζ.aТаким образом, в качестве пути интегрирования можно выбрать отрезок прямой.Теперь покажем, что F является первообразной для f . Пусть ∆z столь мало, что z + ∆z не вылезает запределы области. Имеем z+∆z z z+∆zZZZ1F (z + ∆z) − F (z)1 =− f (ζ) dζ =f (ζ) dζ = (∗).(21)∆z∆z∆zaazТак как f непрерывна, то f (ζ) = f (z) + α(ζ).
Тогда данное равенство преобразуется к виду z+∆zz+∆zz+∆zZZZ1 1(∗) =f (z) dζ +α(ζ) dζ = f (z) +α(ζ) dζ.∆z∆zzz(22)zПокажем, что второе слагаемое есть o(1) при ∆z → 0. По оценочному свойству интеграла оно не превосходитдлины пути интегрирования (т.
е. |∆z|), умноженной на max |α|. Но оба множителя стремятся к нулю при ∆z → 0.Значит, F ′ (z) = f (z). Лемма 2.9 (E. Goursat). Пусть △ — треугольник, лежащий в области D вместе с внутренностью, и fголоморфна в окрестности △. ТогдаZf (z) dz = 0.(23)△Обозначим △0 := △, P0 — периметр △0 , аZI0 := f (z) dz .(24)△Поделив стороны △0 пополам и соединив между собой точки деления, получим ещёчетыре треугольника. Интеграл по всему контуру равен сумме интегралов по всем четырём треугольникам. Значит, хотя бы одно слагаемое не меньше четверти интеграла I0 .Обозначим его I1 , а соответствующий контур — через △1 . Итак, имеемZ I0I1 := f (z) dz > .(25)4△1Продолжая процесс, получим последовательность вложенных треугольников △0 ⊃ △1 ⊃.
. . ⊃ △n → a, где a — некоторая точка в треугольнике, причёмIn >I0.4nРис. 4(26)Имеем f (z) = f (a) + f ′ (a)(z − a) + o(z − a) = f (a) + f ′ (a)(z − a) + α(z)(z − a). У линейной функции f ′ (a)(z − a)есть первообразная, поэтому её интеграл по △n равен нулю. Значит, вклад в интеграл может дать тольконелинейное слагаемое o(. . . ). Далее заметим, что (z − a) не превосходит периметра треугольника, по которомумы интегрируем. Учитывая это, имеемZ Z P PI0 006I=o(z−a)dz=α(z)(z−a)dz(27) 6 n · n max |α(z)| → 0.n4n22 △n△n△nУмножая неравенство на 4 , получаем I0 6 P02 · max |α(z)| → 0.
Значит, I0 = 0. n△nСледствие 2.2. Если D — односвязная область, а f (z) голоморфна в D и γ — замкнутая ломаная в D, тоZf (z) dz = 0.(28)γ12 Разобьём многоугольник, образованный ломаной, на треугольники. По лемме Гурса интеграл по каждому из них равен нулю, но ориентации на «стыках» разные, поэтому суммарный интеграл равен нулю. Следствие 2.3. Если область D односвязна, f голоморфна в D, то у f существует первообразная в D. Покажем, что интеграл по любому кусочно-гладкому контуру равен нулю.
Рассмотрим произвольнуюзамкнутую кривую в области, аппроксимируем её звеньями ломаных. Для замкнутой ломаной по первому следствию интеграл равен нулю. Значит, для кривой он тоже равен нулю. Следствие 2.4 (интегральная теорема Коши). Если D — односвязная область, и f (z) голоморфна в D,а γ — кусочно-гладкий контур в D, тоZf (z) dz = 0.(29)γЕсли потребовать несколько большего, то подобное утверждение можно доказать и прямым использованиемформулы Грина (в комплексном случае она доказывается путём разбиения интеграла на мнимую и действительную части).
Напомним формулировку теоремы Грина: если D — область с кусочно-гладкой границей, ифункции P (x, y), Q(x, y) ∈ C1 , то для формы ω := P (x, y) dx + Q(x, y) dy выполняется равенствоZZω = dω.(30)D∂DСформулируем ещё один вариант интегральной теоремы Коши:Теорема 2.10 (Коши). Пусть D — ограниченная область c кусочно-гладкой границей; функция f (z) голоморфна в D и f ∈ C1 (D). ТогдаZ(31)f (z) dz = 0.∂DЗамечание.
Компоненты границы имеют согласованную ориентацию: при обходе вдоль границы областьостаётся слева. По формуле (30) имеемZZf (z) dz = d f (z) dz .(32)D∂D∂f∂fРаспишем подробнее дифференциал: df = ∂f= 0, то есть∂z dz + ∂z dz. Так как функция голоморфна, тоR ∂z∂f′df = ∂z dz. Значит, d f (z) dz = f (z) · dz ∧ dz = 0, так как dz ∧ dz = 0. Отсюда следует, чтоω = 0. ∂DЗамечание. Условия теоремы заведомо выполнены, если f (z) голоморфна в окрестности D.2.3. Интегральная формула Коши и её следствия2.3.1. Формула КошиТеорема 2.11 (Интегральная формула Коши).
Пусть D — область с кусочно-гладкой границей γ, иf (z) голоморфна в D и f ∈ C1 (D). ТогдаZ1f (ζ)f (z) =dζ.(33)2πiζ −z∂D Пусть пока область D односвязна. Фиксируем точку z ∈ D. Рассмотрим область Dε := D r С ε , где Сε —(ζ)круговая окрестность точки z радиуса ε. Рассмотрим функцию g(ζ) := fζ−z. Она будет голоморфной в окрестности Dε как частное двух голоморфных функций, так как мы исключили z из области рассмотрения.Граница Cε ориентирована по-другому, значит,ZZZg dζ =g dζ −g dζ.(34)∂Dε∂D∂CεТак как функция g голоморфна в Dε , то применима обычная теорема Коши, и следовательно, левая частьобращается в нуль.13Имеем f (ζ) = f (z) + α(ζ), следовательно,ZZZZf (ζ)f (ζ)f (z)α(ζ)dζ =dζ =dζ +dζ.ζ −zζ−zζ −zζ −z∂DПервое слагаемое равно f (z) ·∂CεR∂Cε1ζ−z∂Cε(35)∂Cεdζ = f (z) · 2πi.
Отметим, что оно не зависит от ε. Покажем, что второеслагаемое стремится к 0 при ε → 0. Функция α(ζ) является бесконечно малой при ε → 0, а длина контураинтегрирования равна 2πε. Поэтому имеем Z α(ζ) dζ = O(ε) → 0.(36)ζ −z∂CεКак было замечено,предельный переход не испортит первого слагаемого, так как в нем никакого ε нет.R f (ζ)Таким образом,ζ−z dζ = f (z) · 2πi, что и требовалось.
∂DА теперь обобщим теорему на случай неодносвязной области, граница которой состоит из конечного числа замкнутых кривых. Идея доказательства проста: перейти от многосвязного контура к односвязному, сделавдостаточное количество «разрезов». На берегах разрезов ориентация противоположная, поэтому значение интеграла по границе не изменится.Определение. Пусть граница области состоит из конечного числа замкнутых кривых γ0 , . . . , γn . Пустьвнешняя граница γ0 ориентирована против часовой стрелки, а все остальные — по часовой стрелке, то есть приобходе контура область остаётся слева. Такую границу мы будем называть ориентированной.Докажем индукцией по числу компонент γi . Покажем, как можно уменьшить их число, не изменив значение интеграла.
Фиксируем точку X на границе γ0 и точку Y награнице γ1 . Как мы уже знаем, область линейно связна. Поэтому существует путь източки X в точку Y внутри области. Выкинем из области этот путь вместе с маленьким«каналом» сколь угодно малой ширины, тогда число компонент границы уменьшится.Рис. 5Теперь посмотрим, что будет с интегралом. У нас добавится две кривые: от X до Y поодной стороне канала, и от Y до X по другой. Направление обхода на них противоположное, поэтому никакого суммарного вклада в интеграл они не дадут.
Продолжая далее разрезать область, придём к односвязномуконтуру, для которого теорема верна.Замечание. Конечно, «дырок» в области может быть много больше, чем на рисунке, да и разрез можетбыть существенно кривее. Но суть дела от этого не поменяется.2.3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
