В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если n < 0, то f (z)= (z − a)−n ψ(z), т. е. f (z) = (z − a)n ψ(z).Порядок точки является аналогом степени многочлена, о чём свидетельствуетЛемма 4.17. Имеет место формула orda (f · g) = orda f + orda g. В самом деле, пусть f (z) = (z − a)n ϕ(z), а g(z) = (z − a)m ψ(z). Тогда f (z)g(z) = (z − a)m+n ϕ(z)ψ(z). Теперь посмотрим, как можно определить тип особой точки ∞. Рассмотрим функцию g(z) = f z1 в окрестности нуля. Если в ней она ограничена, то можно доопределить,и тем самым бесконечность будет устранимой.Как связаны ряды Лорана для функций f (w) и f z1 ? Проколотая окрестность ∞ на плоскости w — это|w| > R или 0 < |z| < R1 на плоскости z.
Пусть f 1z разлагается в проколотой окрестности нуля в ряд Лорана: X1f=cn z n .(30)zZКак этот ряд связан с лорановским разложением f (w) в кольце |w| > R? Очень просто:Xf (w) =c−n wn ,(31)Zто есть меняются местами главная и регулярная части.Замечание. С точки зрения проективной геометрии, точка ∞ ничем не отличается от любой другой точкиC∼= CP1 . Если выбрать другую карту (например, сделаем стереографическую проекцию из южного полюса),то на ней она станет обыкновенной точкой.
Преобразование z1 как раз и осуществляет замену карты.Таким образом, можно дать обобщённое определение порядка нуля и полюса.Определение. Пусть a — устранимая особая точка или полюс. Тогда порядок точки a равен либо кратности1нуля f (z), если a — устранимая особая точка f (z), либо кратности нуля f (z), если a — полюс f (z).У мероморфной функции f (z) порядок определён для любой точки. Если orda f > 0, то a — устранимаяособая точка f (z), а если orda f < 0, то a — полюс f (z), и число (− orda f ) есть кратность полюса.Совокупность мероморфных в D функций обозначается M(D).
Легко видеть, что это поле. Определимсходимость в M(D) следующим образом:23Определение. Пусть fn ∈ M(D). Будем говорить, что ряд∞Pn=1fn сходится в M(D), если для любогокомпакта K ⊂ D найдётся такое N , что для любого n > N функции fn не имеют полюсов на K, причём∞Pfn сходится равномерно.n=N +1Задача 4.2. Сформулировать и доказать теорему Вейерштрасса для M(D).4.4.3.
Куча примеровПример 4.1. Функция f (z) = голоморфна в ∞, так как f 1z = z, и в нуле эта функция хорошая.Пример 4.2. Функция f (z) = z имеет полюс в ∞, так как f z1 = z1 , и в нуле она имеет полюс.1zПример 4.3. Полином степени n имеет в ∞ полюс порядка n, а для ez бесконечность будет существенноособой точкой, так как ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y), и если идти по последовательностям zn → ∞ с разнымизначениями мнимой части z, то получим разные значения пределов.sin zПример 4.4. Функция 1+z2 имеет три особых точки: {±i, ∞}. Очевидно, что ±i — полюса первого порядка,а бесконечность — существенная, так как если пойти по вещественной оси, то синус будет бегать по отрезку[−1, 1] и предела не будет.Пример 4.5.
Функция tg z имеет счётное число однократных полюсов, являющихся нулями функции cos z,те π2 + πk . Бесконечность — неизолированная особая точка, так как полюса неограниченно близко подходятк ней.zПример 4.6. Функция eze+1 имеет полюса первого порядка в точках 2πik +πi. Бесконечность изолированнойне является (к ней стремится последовательность полюсов).4.4.4. Голоморфные функции на многообразияхОпределение.
Хаусдорфово топологическое пространство X называется n-мерным комплексным многообразием, если каждая точка x ∈ X содержится в некоторой окрестности U ⊂ X , гомеоморфной некоторойобласти V пространства Cn . Атласом многообразия X называется множество троек (Uα , Vα , ϕα ), где Uα ⊂ X ,Vα ⊂ Cn , а ϕα : Uα → Vα — гомеоморфизмы. Пусть какие-то две карты Uα и Uβ пересекаются, и U = Uα ∩Uβ 6= ∅.Функцией перехода называется отображение ψ : ϕα (U ) → ϕβ (U ), заданное формулой ψ = ϕβ ◦ϕ−1α . МногообразиеX называется комплексно-аналитическим, если все функции перехода конформны.Определение. Пусть X — одномерное комплексное многообразие. Говорят, что функция f голоморфна(мероморфна) на X , если она голоморфна (мероморфна) в любой карте X .Аналогично определяется голоморфное отображение f : X1 → X2 .На многообразия почти автоматически переносятся теорема единственности, принцип максимума модуля иклассификация особых точек.
Так как одномерное многообразие локально гомеоморфно C, то все доказательствадословно повторятся.Для того, чтобы показать корректность классификации, докажем лемму.Лемма 4.18. Пусть a — изолированная особая точка функции f (z), а ϕ(z) голоморфна в окрестноститочки a, ϕ(a) = a и ϕ′ (a) 6= 0, тогда a — изолированная особая точка того же типа для функции f ϕ(z) , иесли a является устранимой особой точкой либо полюсом, то orda f (ϕ) = orda f . Первое утверждение следует из непрерывности ϕ и из теоремы о классификации изолированных особыхточек.
Второе утверждение очевидно. Следствие 4.7. Тип изолированной особой точки и её порядок не зависят от карты.4.4.5. Целые функцииОпределение. Функция, голоморфная в C, называется целой. (Целая функция имеет на C только однуособую точку — бесконечность).Утверждение 4.19. Пусть функция f (z) целая. Бесконечность является устранимой особой точкой тогда и только тогда, когда f (z) ≡ const, и полюсом порядка n тогда и только тогда, когда f (z) — полиномстепени n. Если ∞ является устранимой для f (z), то она ограничена и по теореме Лиувилля f (z) ≡ const.
Обратноеочевидно. Если ∞ является полюсом порядка n, рассмотрим лорановское разложение в нуле. Главная часть уэтого разложения отсутствует, так как в нуле функция голоморфна, а регулярная часть является полиномомстепени n. Обратное очевидно. Напомним, что рациональной функцией называется функция, являющаяся отношением двух многочленов.24Утверждение 4.20. Функция f (z) мероморфна в C тогда и только тогда, когда она рациональна. Пусть функция мероморфна в C и {a1 , .
. . , an } — её полюса. Разложим её в ряд Лорана в каждой из1особых точек ai . В каждой из конечных точек ai главная часть имеет вид Pi z−a, а при разложении на ∞iглавная часть равна P (z) (по предыдущему утверждению), где Pi и P — многочлены. Рассмотрим функциюg(z) := f (z) −nXPii=11z − ai(32)− P (z).Она не имеет особых точек, а значит, голоморфна в C, по теореме Лиувилля она постоянна. Значит, и функция fбыла рациональной (как сумма рациональных). Обратное утверждение очевидно.
4.5. Вычеты4.5.1. Понятие вычетаОсобые точки обладают весьма противным свойством: они мешают применить формулу Коши. Пусть у функции f в ограниченной области D конечноечисло особых точек a1 , . . . , an , а на кусочно-гладкой границе ∂D их нет. Будемвырезать эти точки из области вместе с маленькими кругами Ci радиуса ε,получим область Dε . Тогда функция будет голоморфной в Dε и интегральнойформулой пользоваться можно.nSИмеем Dε = D rInt Cj .
Тогда по формуле Кошиi=10=Z∂DεПустьPZf (z) dz =Zf (z) dz −XZf (z) dz⇔Ci∂DZf (z) dz =∂DXZРис. 9(33)f (z) dz.Cicn (z − ai )n — лорановское разложение функции f (z) в точке ai . Этот ряд можно проинтегрироватьпочленно в силу равномерной сходимости. У всех степеней есть первообразная, кроме n = −1. Значит, получаемZf (z) dz = 2πic−1 .(34)СiОпределение. Лорановский коэффициент разложения функции f в изолированной особой точке a с номером −1 называется вычетом функции f в точке a и обозначается resa f .Сформулируем доказанную теорему:Теорема 4.21 (о вычетах). Пусть D — ограниченная область с кусочно-гладкой границей, и функция f (z)голоморфна в окрестности D за исключением особых точек a1 , . .
. , an ∈ D. ТогдаZnXf (z) dz = 2πires f.(35)i=1∂Dai4.5.2. Нахождение вычетов◦1 Если a — полюс первого порядка, тоf (z) = c−1 (z − a)−1 + c0 + c1 (z − a) + . . .⇒f (z)(z − a) = c−1 + c0 (z − a) + c1 (z − a)2 + . . .⇒(36)c−1 = lim [f (z)(z − a)] .z→a2◦ Если a — полюс порядка p, то по определениюf (z) =c−pc−1+ ...++ c0 + .
. .(z − a)pz−a⇒f (z)(z − a)p = c−p + . . . + c−1 (z − a)p−1 + . . .Так как функция голоморфна, продифференцируем её (p − 1) раз:dp−1[f (z)(z − a)p ] = (p − 1)! · c−1 + . . .dz p−125(37)Преобразовывая выражение, получаемc−1 =1dp−1lim p−1 [f (z)(z − a)p ] .(p − 1)! z→a dz(38)3◦ Если a — существенно особая точка, то нужно разложить функцию в ряд и явно найти коэффициент c−1 .Пример 5.1. Найдём вычет функции f (z) = z21+1 :resiПример 5.2.1(z − i)1= lim= .z 2 + 1 z→i (z − i)(z + i)2i 111 1sin= −+ ...zz3! z 3⇒ 1res sin= 1.0z(39)(40)Теорема о вычетах позволяет легко вычислять интегралы.Пример 5.3.resisin zsin i=,2z +12ires−isin zsin −isin i==2z +12(−i)2i⇒Z⇒|z|=2sin zsin zsin zdz = 2πi res 2+ res 2= 2π sin i.i z +1−i z + 1z2 + 1Следующий пример показывает, как с помощью вычетов можно находить несобственные интегралы от рациональных функций.Пример 5.4.
Вычислим интегралI :=+∞Z−∞P (x)dx, где deg P 6 deg Q − 2,Q(x)(41)и на вещественной оси знаменатель не обращается в нуль. Тогда условие на степени обеспечивает сходимостьP (z)интеграла, и остаётся понять, чему он равен. Пусть f (z) := Q(z). Рассмотрим контур γR слеCRдующего вида: верхняя полуокружность CR радиуса R, у которой концы соединены отрезкомпрямой. Имеем:ZZRZ−RRP (z)P (z)P (z)dz =dz +dz.Q(z)Q(z)Q(z)Рис. 10γR−RCRТеперь покажем, что второе слагаемое стремится к нулю при R → ∞. Длина этого контура равна πR. А таккак функцияна бесконечностидолжна убывать быстрее, чем x12 , то знаменатель убывает со скоростью R12 , аR P (z) потому Q(z) dz 6 M · πRR2 → 0.
Значит, наш интеграл равенCRI = 2πiXres f.aiIm ai >0(42)4.6. Принцип аргумента4.6.1. Связь количества нулей с количеством полюсовПусть функция f (z) голоморфна в проколотой окрестности точки a, а сама точка — не хуже, чем полюс, тоесть f ∈ M U (a) .Лемма 4.22. Если a — обычная точка или полюс для f (z), то ′fres= orda f.(43)af Пусть n = orda f . Тогда имеет место представление f (z) = (z − a)n ϕ(z), где ϕ(a) ∈ O U (a) . Продифференцируем: f ′ (z) = n(z − a)n−1 ϕ(z) + (z − a)n ϕ′ (z). Тогдаf ′ (z)n(z − a)n−1 ϕ(z) + (z − a)n ϕ′ (z)nϕ′ (z)==+.nf (z)(z − a) ϕ(z)z−aϕ(z)26(44)Так как ϕ(z) была голоморфной в полной окрестности точки a, и ϕ(a) 6= 0, тоЧислитель первого слагаемого в выражении дляЗамечание. Выражение′ffϕ′ (z)ϕ(z)также голоморфна.f′fи есть значение вычета.
Лемма доказана. ′′(z)есть логарифмическая производная функции f , ибо ln f (z) = ff (z).Замечание. Под количеством нулей или полюсов понимается их количество с учётом кратностей!Замечание. У логарифмической производной все полюса простые.В следующей теореме нам нужно будет работать с многозначными функциями. В связи с этим нам потребуется одно важное обозначение. Приращение непрерывной ветви многозначной функции ϕ на кривой γ будемобозначать Var ϕ.γТеорема 4.23. Пусть D — область из теоремы о вычетах, функция f (z) мероморфна в окрестности D,и на границе ∂D нулей и полюсов нет. ТогдаZ ′1f (z)dz = N − P,(45)2πif (z)∂Dгде N — число нулей, а P — число полюсов функции f .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
