В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1124324), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Лемма Шварца. Автоморфизмы единичного кругаЛемма 5.5 (Шварц). Пусть функция f : ∆ → ∆ голоморфна на ∆. Пусть f (0) = 0. Тогда |f (z)| 6 |z|,причём если существует точка z0 ∈ ∆ такая, что |f (z0 )| = |z0 |, то f (z) = eiθ z, θ ∈ R. Рассмотрим функцию ϕ(z) := f (z)z . Поскольку f (0) = 0, то нуль будет устранимой точкой для ϕ(z).Значит, ϕ голоморфна в круге ∆.Возьмём замкнутый круг радиуса ρ < 1.
По принципу максимума функция ϕ достигает своего максимумана границе этого круга. Но так как |f (z)| 6 1, то f (z) 16 .|ϕ(z)| = (4)z ρ 6 1, следовательно, |f (z)| 6 |z|.Устремляя ρ к единице, получаем f (z)zПусть теперь |f (z0 )| = |z0 | в некоторой точке z0 . Из доказанного выше следует, что |ϕ| 6 1. В точке z0функция |ϕ| достигает значения 1, а больше единицы быть не может. Значит, по принципу максимума ϕ = constи |ϕ| = 1, то есть ϕ(z) = eiθ .
Тогда f (z) = eiθ z — поворот на угол θ. Обозначим через G2 группу отображений следующего вида:iθ z − aG2 := T (z) = e, где |a| < 1, θ ∈ R.(5)1 − azТеорема 5.6. Aut(∆) ∼= G2 . Эта группа действует на ∆ транзитивно. Пусть ϕ : ∆ → ∆ — конформный автоморфизм круга. Пусть ϕ(0) = a.
Рассмотрим дробно-линейноеz−aпреобразование T ∈ G2 , заданное формулой T (z) = 1−az. Оно переводит точку a в нуль, то есть композицияΦ := T ◦ ϕ оставляет нуль на месте: Φ(0) = 0. Применим к отображению Φ лемму Шварца. Она утверждает, что|Φ(z)| 6 |z|.(6)|Φ−1 (w)| 6 |w|.(7)Теперь рассмотрим обратное отображение Φ−1 . Это тоже будет некоторый автоморфизм круга, сохраняющийнуль, и к нему тоже можно применить лемму Шварца, откудаПодставим в эту формулу Φ(z) вместо w. Так как Φ−1 ◦ Φ = id, то −1ΦΦ(z) 6 |Φ(z)| ⇒ |z| 6 |Φ(z)|.(8)Тем самым мы получили обратное неравенство к (6).
Значит, |Φ(z)| = |z| для любой точки z. По второмуутверждению леммы Шварца Φ(z) = eiθ z. Значит, ϕ = T −1 ◦ Φ — отображение, являющееся композициейнекоторого поворота и дробно-линейного отображения, т. е. ϕ ∈ G2 . Следовательно, Aut(∆) ∼= G2 .Транзитивность следует из того, что любую точку можно перевести в нуль соответствующим преобразованием, а затем с тем же успехом можно нуль отправить куда угодно. Найдём размерности групп автоморфизмов.301◦ dimR Aut(∆) = 3, так как отображение задаётся углом поворота θ (один вещественный параметр), а такжеточкой, которая едет в нуль, т. е.
имеется ещё два вещественных параметра.2◦ dimC Aut(C) = 2, ибо линейное комплексное преобразование f (z) = az + b задаётся числами a и b.3◦ Покажем, что dimC Aut(C) = 3. Дробно-линейное преобразование задаётся четырьмя числами {a, b, c, d}, ноэто не независимые параметры.Чтобы они однозначно задавали автоморфизм, нужно наложить условиеa bad − bc = 1, т.
е. матрица∈ SL2 . Значит, остаётся только три (независимых) параметра.c d5.3. Доказательство теоремы Римана5.3.1. Принцип компактностиОпределение. Семейство функций {fα } на области D называется локально равномерно ограниченным, еслидля любого компакта K ⋐ D найдётся константа MK такая, что |fα (z)| 6 MK для ∀ z ∈ K и ∀ α.Определение.
Семейство функций {fα } называется локально равностепенно непрерывным, если для ∀ ε > 0и любого компакта K ⋐ D найдётся δ такое, что при ∀ z1 , z2 ∈ K, для которых |z1 −z2 | < δ, выполняется условие|fα (z1 ) − fα (z2 )| < ε для любого α.Замечание. Слово «локально» мы далее писать не будем для краткости.Определение. Пусть K ⊂ C. Тогда ρ-раздутием множества K назовём множество[Kρ :=U ρ (z).(9)z∈KСмысл определения понятен: множество K раздувается на величину, не превосходящую ρ.Лемма 5.7. Если семейство функций {fα }, голоморфных в области D, равномерно ограничено, то оно иравностепенно непрерывно в ней. Очевидно, расстояние от любого компакта K до границы области больше нуля.
Тогда найдётся достаточно малое число ρ, при котором Kρ ⋐ D. В силу равномерной ограниченности найдётся число M , для которого|fα (z)| 6 M для ∀ z ∈ Kρ .Рассмотрим произвольные точки a, b ∈ K такие, что |a − b| < ρ. Тогда имеем Uρ (a) ⊂ Kρ по построению Kρ .Значит,|fα (z) − fα (a)| 6 |fα (z)| + |fα (a)| 6 2M(10)для любой точки z ∈ Uρ (a) и для ∀ α.
Теперь переведём этот круг в единичный круг ∆ с центром в нуле, тоесть сделаем линейную замену переменной ζ = ρ1 (z − a). Тогда функцияgα (ζ) :=1fα (a + ρζ) − fα (a)2M(11)будет удовлетворять условиям леммы Шварца, а значит, |gα (ζ)| 6 |ζ| для ∀ ζ ∈ ∆. Возвращаясь к функции fα ,получаем2M|fα (z) − fα (a)| 6|z − a| для ∀ z ∈ Uρ (a) и для ∀ α.(12)ρЗначит, выбирая достаточно малое δ, можно добиться того, чтобы выполнялось неравенство |f (a) − f (b)| 6 εερпри |a − b| < δ. Например, можно взять δ 6 min ρ, 2M.Из функционального анализа читателю, должно быть, известно следующееОпределение. Бесконечное множество функций называется компактным, если из любой его последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к функции из этого семейства, и предкомпактным,если его замыкание компактно.Теорема 5.8 (Принцип компактности, теорема Монтеля). Если семейство голоморфных функций fαлокально равномерно ограничено в области D, то оно предкомпактно в D.
Рассмотрим счётную всюду плотную в D последовательность точек {ap } (скажем, точки с рациональными координатами). Пусть {fn } ⊂ {fα } — произвольная последовательность функций. Рассмотрим числовуюпоследовательность{fn (a1 )}. Она ограничена, а потому содержит сходящуюся подпоследовательность. Пустьn(1) — подмножество её индексов. Далее, из этой последовательности выберем подпоследовательность, сходящуюся на точке a2 , и так далее. В итоге получатся последовательности функций fnk , сходящиеся на первых31k точках из множества {ap }:f11 , f21 , f31 , .
. .f12 , f22 , f32 , . . .f13 , f23 , f33 , . . .Тогда последовательность fnn сойдётся на всех этих точках. Для краткости обозначим её снова через fn .Остаётся показать, что наша последовательность сходится на самом деле во всех точках компакта. В силуравностепенной непрерывности найдётся такое δ, что |fn (z1 ) − fn (z2 )| < ε при |z1 − z2 | < δ.
Покроем компактK ⋐ D блинами ∆i радиуса 2δ и выделим конечное подпокрытие. Рассмотрим произвольную точку z в одном изблинов, тогда в силу равностепенной непрерывности для ∀ z1 , z2 ∈ ∆i будет выполняться |fn (z1 ) − f (z2 )| < ε.Запишем критерий Коши:|fm (z) − fn (z)| = |fm (z) − fm (aj ) + fm (aj ) − fn (aj ) + fn (aj ) − fn (z)| 66 |fm (z) − fm (aj )| + |fm (aj ) − fn (aj )| + |fn (aj ) − fn (z)|.Первое и третье слагаемое сколь угодно малы, так как точка z приближается точками aj ввиду их всюдуплотности. Второе же слагаемое тоже можно устремить к нулю, так как на точках aj имеется сходимость.Осталось заметить, что эта сходимость будет равномерной на K.
5.3.2. Доказательство теоремы РиманаТеорема 5.9 (Римана о конформных отображениях). Пусть D — односвязная область. Тогда онаконформно эквивалентна одному из следующих множеств:• Card ∂D = 0 ⇒ D ∼ C;• Card ∂D = 1 ⇒ D ∼ C;• Card ∂D > 1 ⇒ D ∼ ∆ := {z : |z| < 1}. В первом случае область D просто совпадает с C, и даже ничего отображать не надо, во втором доста1точно загнать единственную точку a границы в бесконечность преобразованием z−a, и мы получим C.
Осталсянетривиальный третий случай,когдаточекнаграницехотябыдве.Тогдазагонимих в точки 0 и ∞. Теперь√применим преобразование z. Так как точки 0 и ∞ не лежат в области, то отображение будет конформнымв силу того,√ что область D односвязна и по теореме о монодромии (см. главу «Аналитическое продолжение»)функция z допускает выделение двух однозначных ветвей ϕ1 и ϕ2 (отличающихся знаком). Значит, образыϕ1 (D) и ϕ2 (D) не пересекаются (предположим противное, тогда ϕ1 (z1 ) = ϕ2 (z2 ), а так как это ветви квадратного корня, то z1 = z2 и ϕ1 (z1 ) = −ϕ2 (z1 ), чего быть не может, так как ϕi (z) 6= 0 на области D). Далее,рассмотрим область ϕ2 (D), и так как она открыта, то содержит некоторый круг с центром в точке a.
Сделаемr2преобразование z−a(вывернем круг наизнанку), тогда образ ϕ1 (D) попадёт в этот круг. Таким образом, можносчитать, что область D исходно содержалась в некотором круге. Без ограничения общности можно считать, чтоэто единичный круг с центром в нуле.Теперь рассмотрим семейство S функций fα , однолистных в области D, причём таких, что |fα (z)| < 1 ∀ z ∈ D.Это множество не пусто. Найдём среди них функцию, у которой достигается максимум производной в нуле ипокажем, что это та самая функция, которая отображает область D на единичный круг.Пусть f ∈ S.
По неравенству Коши |f ′ (0)| 6 ρ1 , где ρ — ненулевой радиус сходимости ряда для f , а значит,множество |fα′ (0)| ограничено и имеет точную верхнюю грань. Пусть она достигается на некоторой последовательности {fn }. По теореме Монтеля наше семейство предкомпактно, а потому можно выделить сходящуюсяк некоторой (голоморфной) функции F подпоследовательность. Функция F не постоянна, так как f ′ (0) 6= 0(функции-то однолистные!).
Остаётся показать, что она осуществляет отображение на весь круг. Заметим сначала, что F (0) = 0. В самом деле, пусть F (0) = c 6= 0. Тогда рассмотрим функциюF (z) − c.1 − cF (z)(13)1· |F ′ (0)| > |F ′ (0)|.1 − |c|2(14)g(z) :=Имеем|g ′ (0)| =Это противоречит экстремальному свойству F , так как |F (z)| < 1 и стало быть, функция g также попадёт внаше семейство.32Пусть нашлась точка b в круге, для которой F (z) 6= b. Рассмотрим функциюsF (z) − bψ(z) :=.1 − bF (z)(15)Это композиция конформного автоморфизма, переводящего точку b в нуль, с корнем.
Так как «симметричное»к b значение b∗ = 1b функцией F не принимается (оно вообще вне круга лежит), то у функции ψ выделяетсяоднозначная ветвь. Она опять-таки лежит в семействе S. Пусть ψ(0) = d. Тогда функцияh(z) :=ψ(z) − d1 − dψ(z)(16)будет иметь производную в нуле побольше, чем у F :|h′ (0)| =1 + |b|√ · |F ′ (0)| > |F ′ (0)|,2 −b(17)√ ибо |b| < 1 и 1 + |b| > 2 −b. Получилось противоречие. Значит, F (D) = ∆. Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
