А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Два пути γ0 : I → D и γ1 : I → D с общими концамиγ0 (0) = γ1 (0) = a ,γ0 (1) = γ1 (1) = bназываются гомотопными в области D, если существует непрерывное отображение γ = γ(s, t) : I × I → D такое, чтоγ(0, t) ≡ γ0 (t), γ(1, t) ≡ γ1 (t),γ(s, 0) ≡ a, γ(s, 1) ≡ b,s∈I .t∈I ,Тем самым, при любом фиксированном s ∈ I отображениеγs (t) := γ(s, t) : I −→ Dзадает (непрерывный) путь в D с началом в точке a и концом в точке b.Приведем также вариант предыдущего определения для случая замкнутыхпутей.38Определение 2. Два замкнутых пути γ0 : I → D и γ1 : I → D называютсягомотопными в области D, если существует непрерывное отображениеγ = γ(s, t) : I × I → D такое, чтоγ(0, t) ≡ γ0 (t), γ(1, t) ≡ γ1 (t),γ(s, 0) = γ(s, 1),s∈I .t∈I ,Отношение гомотопности определяет отношение эквивалентности на множестве всех путей в области D, разбивающее это множество на классы гомотопных путей. Для нас особый интерес представляют замкнутые пути, гомотопные нулю, т.е.
эквивалентные “постоянному” пути γ : I → z0 ∈ D.Определение. Область D называется односвязной, если любой замкнутый путь в D гомотопен нулю.Например, единичный круг U = {z ∈ C | |z| < 1} односвязен: любой замкнутый путь γ0 : I → U стягивается в точку гомотопией γ(s, t) = (1 − s)γ0 (t).Напротив, кольцо {z ∈ C | α < |z| < β} неодносвязно, но доказательство этогомы отложим до п. 5.3.Задача. Покажите, что в односвязной области любые два пути с общими концамигомотопны.Теорема Коши о гомотопии. Если функция f голоморфна в области Dи пути γ0 , γ1 гомотопны в D, тоZf dz =γ0Zf dz .γ1Подчеркнем, что в формулировке теоремы не уточняется, в смысле какого издвух определений 1,2 гомотопны пути γ0 , γ1 — они могут быть гомотопнымикак пути с общими концами или как замкнутые пути — теорема справедливав обеих ситуациях. Кроме того, мы не требуем кусочной гладкости путей γ0 ,γ1 .
(Интегралы по путям, не являющимся кусочно-гладкими, понимаются всмысле замечания 8 из п. 4.5).Доказательство. Пусть семейство путейγs (t) = γ(s, t) : I → Dосуществляет гомотопию γ0 в γ1 . ПоложимJ(s) :=Zf dzγsдляs∈I .Нам нужно доказать, что J(1) = J(0). Для этого достаточно показать, чтофункция J(s) локально постоянна на I, т.е. каждая точка s0 ∈ I обладаетокрестностью v = v(s0 ) ⊂ I такой, что J(s) = J(s0 ) для всех s ∈ v.39Пусть Φ : I → C — произвольная первообразная функции f вдоль пути γs0 .Воспользуемся тем же приемом, что и при доказательстве теоремы о существовании первообразной вдоль пути (п. 4.5). А именно, рассмотрим разбиениеотрезка I точками0 = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = 1на отрезки Ij = [tj−1 , tj ], для которого найдутся:(1) круги Uj ⊂ D такие, что γs0 (Ij ) ⊂ Uj ;(2) первообразные Fj ∈ O(Uj ) функции f в Uj такие, чтоΦ = Fj ◦ γs0Ijнаj = 1, . .
. , n .при всехИз условия 2) вытекает, в частности, что Fj ≡ Fj−1 на Uj ∩ Uj−1 . Кроме того,в силу равномерной непрерывности γ(s, t) на I × I найдется окрестность v ⊂ Iточки s0 такая, что γ(v × Ij ) ⊂ Uj при всех j.Рассмотрим функцию Φs : I → C переменного t, зависящую от s ∈ v как отпараметра, полагая:Φs := Fj ◦ γsнаIjприj = 1, . . . , n .Тогда при каждом s ∈ v функция Φs непрерывна на I и совпадает в окрестностикаждой точки t0 ∈ I с F (γs (t)) для некоторой первообразной F функции f вокрестности точки γ(t0 ) (здесь важно, что Fj ≡ Fj−1 на Uj ∩Uj−1 !).
Тем самым,Φs является первообразной функции f вдоль пути γs .RПо формуле Ньютона–Лейбница (или по самому определению γs f dz длянепрерывных путей γs ) имеемZJ(s) :=f dz = Φs (1) − Φs (0) .γsДокажем, что эта функция не зависит от s ∈ v, откуда будет вытекать утверждение теоремы.Рассмотрим отдельно случаи путей с общими концами и замкнутых путей.1.
Если γ0 и γ1 гомотопны как пути с общими концами (так что γs (0) = aи γs (1) = b для всех s ∈ I), то числаΦs (0) = F1 (γs (0)) = F1 (a) иΦs (1) = Fn (γs (1)) = Fn (b)не зависят от s ∈ v. Следовательно, их разность J(s) принимает одно и то жезначение для всех s ∈ v.2. Если γ0 и γ1 гомотопны как замкнутые пути (так что γs (0) = γs (1) длявсех s ∈ I), то (не зависящие от s) функции F1 и Fn , как две первообразныефункции f в окрестности U1 ∩ Un точки zs := γs (0) = γs (1), отличаются на (независящую от s) константу:Fn (z) − F1 (z) = Cдля всехz ∈ U1 ∩ Un .ПоэтомуJ(s) = Fn (γs (1)) − F1 (γs (0)) = Fn (zs ) − F1 (zs ) = Cпринимает одно и то же значение для всех s ∈ v.Отметим два важных следствия из доказанной теоремы.40Следствие 1. Если функция f голоморфна в области D и путь γ : I → Dгомотопен нулю в этой области, тоZf dz = 0 .γВ частности, в односвязной области D интеграл от функции f ∈ O(D) полюбому замкнутому пути γ : I → D равен нулю.Доказательство.
Вытекает из теоремы о гомотопии с учетом того факта,что интеграл от функции f по постоянному пути γ(t) ≡ z0 равен нулю.Задача. Пользуясь этим следствием и примером 1 из п. 4.1, покажите, что при0 6 α < r < β 6 ∞ окружность |z| = r не гомотопна нулю в области D ={z ∈ C | α < |z| < β}. Тем самым, эта область не односвязна.Следствие 2. Пусть D ⊂ C — односвязная область. Тогда всякая функция f , голоморфная в D, имеет в этой области первообразную.Для случая, когда область D есть круг, это утверждение было установленоранее в п.
4.4.Доказательство. Фиксируем точку a ∈ D. Для каждой точки z ∈ Dвыберем кусочно-гладкий (или даже просто непрерывный) путь γ : I → D,соединяющий a с z, и положимZF (z) :=f (ζ) dζ .γЗначение F (z) не зависит от выбора γ. Действительно, если γ1 , γ2 — двапути указанного вида, то интеграл от f по замкнутому пути γ2− ∪ γ1 равеннулю по предыдущему следствию, т.е.ZZf (ζ) dζ −f (ζ) dζ = 0 .γ1γ2В частности, если z0 ∈ D — произвольная точка в D и U — произвольныйкруг с центром z0 , содержащийся в D, то для z ∈ U функцию F (z) можнобудет записать в видеZ zF (z) = F (z0 ) +f (ζ) dζ ,z0где интеграл берется по отрезку от z0 до z. По предложению 2 из п. 4.4получаем, что F дифференцируема в U иF ′ (z) = f (z) для всехz∈U .В силу произвольности z0 заключаем отсюда, что F есть первообразная функции f в области D.415.2. Теорема Коши для многосвязной области. Как уже отмечалось,в неодносвязной области может нарушаться как теорема о существовании первообразной, так и теорема об обращении в нуль интеграла по замкнутому контуру.
Тем не менее, теорема Коши все же допускает обобщение на некоторыенеодносвязные области.Напомним (см. п. 1.4), что ограниченная область D ⋐ C называется областью с простой границей, если ее граница ∂D есть объединение конечного числа непересекающихся кусочно-гладких замкнутых жордановых кривыхγ0 , γ1 , . . . , γn , где γ0 обозначает внешнюю границу D, а γ1 , . . . , γn – внутренниекомпоненты ∂D.Теорема Коши для многосвязной области. Пусть D ⋐ C – областьс простой границей и функция f голоморфна в некоторой области G ⊃ D.ТогдаZZn ZXf dz =f dz −f dz = 0 .∂Dγ0j=1γjДоказательство.
Первое из доказываемых равенствZf dz =∂DZγ0есть просто определение интегралаZf dz −n ZXj=1f dzγjf dz∂Dв соответствии с нашим соглашением об ориентации ∂D, принятом в п. 1.4.Таким образом, содержательная часть утверждения теоремы заключается вравенствеZf dz = 0 .∂DДадим идею его доказательства. Проведем в области D конечное число раз±резов λ±1 , . . .
, λn , связывающих компоненты границы γ0 , γ1 , . . . , γn между собойтак, чтобы замкнутая кривая Γ, составленная из отрезков границы ∂D и путей λ±j , как указано на рисунке, была гомотопна нулю в области G. Тогда потеореме Коши (точнее, по ее следствию 1) будем иметь0=Zf dz =ΓZf dz +∂Dn ZXj=1λ+jf dz +n ZXj=1f dz =λ−jZf dz ,∂D−так как интегралы по λ+j и λj в сумме дают нуль.Замечание 1. Чтобы довести приведенное выше рассуждение до строгого±доказательства, необходимо уточнить, как проводить разрезы λ±1 , .
. . , λn так,чтобы кривая Γ была гомотопна нулю в G. Это делается на основе следующихтопологических утверждений, которые мы приводим без доказательства.42A) Если D ⊂ C – область с простой границей, причем ее граница ∂D = γ0состоит только из одной связной компоненты, то кривая ∂D гомотопна нулюв любой области G ⊃ D.B) Пусть D ⊂ C – область с простой границей. Тогда для любых двухразличных точек z0 , z1 ∈ ∂D существует соединяющий их жорданов путь λ :I → C, лежащий в D за исключением концов, т.е. λ(0) = z0 , λ(1) = z1 иλ(t) ∈ D при 0 < t < 1.
При этом, если точки z0 , z1 принадлежат разнымсвязным компонентам ∂D, то открытое множество D \ λ(I) является связным,т.е. D \ λ(I) есть снова область с простой границей. Более того, справедливи ”параметрический” аналог этого утверждения. А именно, вместе с путем λуказанного вида найдется целая “лента”, заметаемая путями такого же типа.Точнее, существует гладкое вложение Λ : I × I → C такое, что(a) Λ(1/2, t) = λ(t) при всех t ∈ I ;(b) Λ(s, 0), Λ(s, 1) ∈ ∂D для всех s ∈ I ;(c) Λ(s, t) ∈ D при всех s ∈ I , 0 < t < 1 .При этом для каждого s > 0 множество D \ Λ([−s, s] × I) является областью спростой границей.Приняв на веру приведенные утверждения A) и B), можно закончить доказательство теоремы следующим образом. Для произвольных точек z0 ∈ γ0 ,z1 ∈ γ1 , .
. . , zn ∈ γn , пользуясь утверждением B), найдем по индукции непересекающиеся жордановы пути λj , j = 1, . . . , n, соединяющие zj−1 с zj , каждыйиз которых допускает расширение до “ленты” Λj : I × I → C с указанными вутверждении B) свойствами. Тогда при любом s > 0 множествоDs := D \n[j=1Λj ([−s, s] × I)есть область с простой границей, так что кривая Γs := ∂Ds гомотопна нулю вG по утверждению A). Но совокупность кривых Γs , 0 6 s 6 1, задает (непрерывную) гомотопию кривой Γ1 в кривую Γ, фигурирующую в доказательстветеоремы. Поэтому Γ также гомотопна нулю в G, что завершает доказательствотеоремы Коши для многосвязной области.Заметим еще, что утверждения A), B) достаточно проверить для областейD простого вида, а именно, для неконцентрических колец (т.е. для круга, изкоторого удален круг меньшего радиуса). Пользуясь этим частным случаемтеоремы Коши, можно доказать интегральную формулу Коши для круга (см.следующий параграф), а из нее, в свою очередь, вытекает бесконечная дифференцируемость голоморфных функций (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
